лабы / Otchet_3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ОБНИНСКИЙ ИНСТИТУТ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ

филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

(ИАТЭ НИЯУ МИФИ)

Факультет естественных наук

Кафедра прикладной математики

Отчет

по лабораторной работе №3

«Численное решение первой краевой задачи для ОДУ-2»

Студент			Малгарова М.И.
		(подпись, дата)	(инициалы, фамилия)
Группа	М1-C10
	(шифр группы)
Преподаватель:
			Чепурко А. Н.
		(подпись, дата)	(инициалы, фамилия)

Обнинск, 2013

Постановка задачи:

Проинтегрировать дифференциальное уравнение:

Описание метода:

(1)

(2)

Задаем равномерную сетку на отрезке .

Разностный оператор аппроксимирует дифференциальный оператор относительно шага .

Получаем:

(1) y₀ = k_0*y₁ + l₀

(2) a_iy_i-1 – b_iy_i + c_iy_{i+1 =} f_i 1≤i≤N-1

(3) y_N= k_N*y_N-1 + l_N

где:

k₀=0, k_N=0, l₀= γ_0, l_N = γ₁

a_i = 1/h² – p_i/2h

b_i = 2/h² + q_i

c_i = 1/h² + p_i/2h

Полученную систему (1)(2)(3) решаем методом прогонки:

При i=1: a₁y₀ – b₁y₁ + c₁y_{2 =} f₁

Учитывая (1), получаем: a₁(k₀y₁ + l₀) – b₁y₁ + c₁y_{2 =} f₁

Откуда: y₁ = k₁y₂ + l₁

где k₁ = c₁/(b₁ – a₁k₀), l₁ = (a₁l₀ – f₁)/( b₁ – a₁k₀)

На i-ом шаге: y_i = k_iy_i+1 + l_i

где k_i = c_i/(b_i – a_ik_i-1), l_i = (a_il_i-1 – f_i)/( b_i – a_ik_i-1)

При i=N-1: y_N-1 = k_N-1y_N + l_N-1

Учитывая (3) и k_N = 0 : y_N= γ₁=l_N

На прямом ходе находим коэффициенты k_i, l_i , на обратном ходе - y_i

Аналитическое решение уравнения :

Константы находим из краевых условий:

Получим:

,

Результат:

n=10,