Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

лабы / Otchet_1

.docx
Скачиваний:
15
Добавлен:
11.06.2015
Размер:
46.48 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное АВТОНОМНОЕ образовательное

учреждение высшего профессионального образования

ОБНИНСКИЙ ИНСТИТУТ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ

филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

(ИАТЭ НИЯУ МИФИ)

Факультет естественных наук

Кафедра прикладной математики

Отчет

по лабораторной работе №1

«Интерполяция квадратичными сплайнами»

Студент

Малгарова М. И.

(подпись, дата)

(инициалы, фамилия)

Группа

М1-С10

(шифр группы)

Преподаватель:

Чепурко А. Н.

(подпись, дата)

(инициалы, фамилия)

Обнинск, 2013 г.

Постановка задачи:

Интерполировать квадратичными сплайнами заданную на промежутке функцию (), где = -2, = 2, () = x² + 2x - 1.

Описание метода:

Сплайн – это кусочно-заданная функция, состоящая из кусков, определённая на отрезке [a,b]. Функция принадлежит классу один раз непрерывно дифференцируемых функций.

Задаем сетку из +1 узлов на выбранном отрезке, для нее определены и , ; =, = . Необходимо построить сплайн , где [, ], который интерполирует функцию. Для решения задачи мы используем 2 алгоритма:

  1. с узлами в целых точках разбиения (т.е. узлы сплайна совпадают с узлами интерполяции);

  2. с узлами в полуцелых точках (т.е. узлы интерполяции лежат между узлами сплайна).

В первом алгоритме мы ищем функцию в виде, =1,…,, необходимо выполнение следующих условий:

1 2 ii+1 n

x0 x1 x2 …………….xi-1 xi xi+1………. xn-1 xn

n+1 – узлов;

n – кусков сплайна.

1). Равенство в узлах: = , =0,…, (+1 уравнение)

2). Непрерывность во внутренних точках:

( 0) =(+0), =1,…, ( уравнение)

3). Гладкость во внутренних точках:

( 0) = (+0), =1,…, ( уравнение)

Получаем уравнение для нахождения констант:

() = = =1,…, (1)

() = = ,=1,…, (2)

Считаем производную:

( 0) = (+0): + =, =1,…, (3)

Из (1) и (2) получаем следующее:

= =1,…, (4)

Добавляем дополнительное условие: ()=0 (угол наклона касательной = 0) (5)

Из (3) и (4) получаем:

=1,…, (6)

Из (4) и (5) следует, что , далее находим из (6) коэффициенты , затем из (4) коэффициенты , а коэффициенты из (1). Найдя эти коэффициенты, мы решили поставленную задачу.

1 2 ………..... n

x0 x0+(h1/2) x1 x1+(h2/2) ……………… xn

В алгоритме с узлами в полуцелых точках задаем также дополнительную сетку из узлов, где . Функцию ищем в виде , где

[, ]. Из 3) получаем (определяет сплайн). Т.е. имеет вид:

(7)

Из 2) получаем: ,=1,…, (8)

Также мы имеем равенство:

=1,…, (9)

Получим следующую систему уравнений:

Находим коэффициенты . Эту систему решаем методом прогонки. Далее определяем коэффициенты , и .

Результат:

  1. с узлами в целых точках

, = 0.2

  1. с узлами в полуцелых точках

, = 4.44089e-016

Соседние файлы в папке лабы