Законы сохранения в механике

Закон сохранения импульса: , т.е., если на систему не действуют силы, то импульс её остаётся постоянным. В частности, если проекция равнодействующей силы на вектор импульса равна нулю, то модуль импульса остаётся постоянным. Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства: в любой точке пространства физические явления будут протекать одинаково.

Закон сохранения момента импульса: , т.е., если на систему не действуют силы, то момент импульса её остаётся постоянным. В частности, если проекция момента равнодействующей силы равна нулю, то модуль момента импульса остаётся постоянным. Закон сохранения момента импульса связан с изотропностью пространства: после поворота системы на любой угол физические явления будут протекать одинаково.

Закон сохранения энергии: , т.е., если не действуют диссипативные силы, то суммарная механическая энергия остаётся постоянной. Закон сохранения энергии связан с однородностью времени: в любой момент физические явления будут протекать одинаково.

Механическая энергия и общие закономерности движения.

Потенциальная кривая – график зависимости .

Пусть на графике изображена потенциальная энергия некоторой системы.

Если энергия системы равна , то в точке А система двигаться не может, т.к. и , следовательно , т.е. .

Если энергия системы равна , то в точке E с система находится в неустойчивом равновесии: любое увеличение энергии «свалит» её либо к точке D, либо к точке F.

Если энергия системы равна , и система находится в точке B или D, то она будет совершать колебания от B к D, а если она находится в точке F, то будет двигаться в сторону + по оси x.

Если энергия системы равна C, то система не двигается.

BCD называется потенциальной ямой, а DEF – потенциальным барьером.

Точки A, C и E – точки останова, точка C- точка устойчивого равновесия, точка E – неустойчивого равновесия.

Фазовая плоскость – это плоскость, точки которой являются совокупностью значений координаты и импульса (, иногда ).

Совокупность фазовых точек – фазовая траектория.

Столкновение двух тел

Столкновение тел: взаимодействие двух или более тел, которые происходят в ограниченной области пространства и в ограниченный промежуток времени.

Удар – столкновение, при котором импульсы тел изменяются без изменения координат.

Если система тел изолирована, то исходя из законов сохранения , , .

Абсолютно упругий удар: удар, при котором сохраняется полная механическая энергия и импульс. После удара тела движутся с разными скоростями.

Абсолютно неупругий удар: удар, при котором сохраняется только импульс, а часть механической энергии переходит во внутреннюю. После удара тела движутся с одинаковыми скоростями в одном направлении («слипаются»).

Центральный удар: удар, происходящий вдоль прямой, соединяющий центры масс тел.

Пусть сталкиваются два тела, и при этом происходит абсолютно упругий удар. Массы тел и соответственно, скорости - и . Тогда , , т.е. , . Перейдём в систему центра масс и построим векторную диаграмму импульсов. . Аналогично . Теперь изобразим вектор отрезком AB, затем векторы и , каждый из которых представляет собой сумму двух векторов. Это построение справедливо вне зависимости от угла . Значит, точка C может находиться только на окружности радиуса с центром в точке O, которая делит отрезок AB на две части в отношении . Эта окружность есть геометрическое место положений вершины C треугольника импульсов ABC, стороны AC и CB которого представляют собой импульсы частиц после столкновения во внешней системе отсчёта. В зависимости от соотношения масс точка A может находиться как внутри, так и вне окружности. Тогда угол рассеяния налетающей частицы и угол разлёта частиц  будут такими:

,

где - предельный угол. Он определяется формулой . Кроме того, при под одним и тем же углом возможно рассеяние частицы как с импульсом , так и с импульсом , т.е. в этом случае решение неоднозначно.

Механика твердого тела

Абсолютно твёрдое тело – это протяжённое тело, расстояние между двумя точками которого неизменно.

В дискретной модели твёрдое тело представляется как большая совокупность точечных тел, находящихся на неизменных расстояниях друг от друга, а непрерывная модель рассматривает твёрдое тело как непрерывную среду, в которой можно пренебречь внутренней структурой.

Произвольное движение твёрдого тела можно представить как суперпозицию двух движений: поступательного центра масс и вращательного: .

Теорема Эйлера: Произвольное мгновенное движение твёрдого тела можно представить как сумму мгновенных поступательного и вращательного движений тела в каждый момент времени.

Движение твёрдого тела, при котором одна из его точек остаётся неподвижной называется вращением вокруг неподвижной точки (центра). Это движение в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через неподвижную точку. Чтобы определить положение тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, в пространстве обычно пользуются тремя углами , которые называют углами Эйлера. Угол  называют углом чистого вращения, угол  - углом прецессии, угол  - углом нутации. Тогда проекции угловой скорости вращения на оси координат будут такие:

Таким образом, чтобы описать движение твёрдого тела достаточно описать движение трёх его точек, не лежащих на оной прямой.

Точка, скорость которой в рассматриваемом сечении тела равна 0, называется мгновенным центром скоростей.

Если при плоском движении твёрдого тела его угловая скорость отлична от нуля, то в каждый момент времени в рассматриваемом сечении тела имеется единственная точка, скорость которой равна 0. Скорости остальных точек определяются как скорости мгновенного вращательного движения относительно мгновенной оси вращения.

Найдём положение мгновенного центра скоростей относительно точки A.

, , . Помножив обе части уравнения на , получим: , .

Кинематика движений твёрдого тела с одной неподвижной точкой

Теорема Эйлера: Твёрдое тело, имеющее одну неподвижную точку, может быть переведено из начального положение в произвольное путём поворота вокруг оси, проведённой через эту точку.

При вращении тела на конечные углы результат зависит от последовательности поворотов, в отличие от бесконечно малых углов.

Пусть - вектор угла поворота, а - соответствующая хорда и пусть . Тогда (т.к. совпадает с ) и , т.е. .

Теорема о сложении угловых скоростей вращения твёрдого тела: Если тело вращается со скоростью , то это вращение можно представить как сумму двух вращений со скоростями и .

Тензор моментов инерции твёрдого тела

Моментом инерции материальной точки относительно какой-либо оси называется величина , где m – масса точки, а R – расстояние от неё до этой оси. Моментом инерции тела или системы тел относительной какой-либо оси вращения называется сумма моментов инерций всех материальных точек относительно этой оси: . Тогда момент импульса . Момент инерции тела относительно оси x прямоугольной декартовой системы координат . Центробежным моментом инерции для оси z называется величина .

Тензор инерции: .

Главные оси симметрии твёрдого тела – это оси, относительно которых тензор инерции твёрдого тела имеет диагональный вид, т.е. .

Если тело однородно, то . В декартовой системе координат , в цилиндрической , в сферической .

Главный момент инерции некоторых однородных тел простейшей формы (m – масса тела):

1. Прямолинейный тонкий стержень длиной l, расположенный вдоль оси Oz: , .

2. Прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b и c, параллельными соответственно Ox, Oy и Oz: , , .

3. Полый прямой круглый цилиндр высотой H и радиусами внешней и внутренней поверхностей, равными и ; Oz – ось цилиндра: , .

4. Полый шар с радиусами внешней и внутренней поверхностей, равными и : , для сплошного шара: , для тонкостенной сферы:, для шарового сектора (Oz – ось симметрии): , где h – высота шарового сегмента, принадлежащего шаровому сектору, для шарового сегмента (Oz – ось симметрии): .

5. Прямой круглый конус радиусом основания R высотой H (Oz – ось конуса): , , для боковой поверхности тонкостенного полого конуса: .

6. Усечённый прямой круглый конус высотой H и радиусами оснований и (Oz – ось конуса): , для боковой поверхности тонкостенного усечённого конуса: .

7. Прямая прямоугольная пирамида высотой H, стороны основания a и b параллельны соответственно осям Ox и Oy: , , .

8. Эллипсоид с полуосями a, b и c, параллельными соответственно осям Ox, Oy и Oz: , , .

9. Кольцо радиуса R с круглым поперечным сечением радиуса r (тор); ось Oz перпендикулярна к плоскости, в которой лежат центры поперечных сечений: , .