1 курс / Линейная алгебра / Линейная алгебра, ответы

1)

2)

3)

4) Пусть X — линейное пространство.

Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n+ 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.

Будем обозначать n –мерное линейное пространство X_n , где n = dimX_n — размерность пространства X_n .

Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.

Замечания.

Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.

Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения.

5)

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

6)в евклидовом пр-е ,если скалярное пр-ие (а,b)=0 (стрелки наверху)

7)

Пример-единичная матрица

8) Метод Гаусса

9) Каждой квадратной матрице n*n модет быть поставлено в соответсивие число !А!, наз-ое определителем.

• Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши)

10)

11) Ранг матрицы-наивысший порядок миноров, отличных от нуля.

12)

13)

14)

15)  Неизвестные коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называются базисными неизвестными, а остальные () – свободными неизвестными. Если ранг системы меньше числа неизвестных и система разрешима, то решений получится множество. Это множество решений принято описывать специальным образом. Например, пусть имеется 3 неизвестных, а независимых уравнений только 2. Одно из неизвестных можно перенести (вместе с его коэффициентом) в правую часть (с обратным знаком, конечно), и объявить это неизвестное "свободным". Ему можно произвольно задавать любые значения, а оставшиеся два неизвестных будут единственным образом выражаться через правые части. Эти два неизвестных называются "базисными". Пример: x+y+z=2, x-y+z+3; x+y=2-z, x-y=3-z; Здесь z - свободное неизвестное, x,y - базисные неизвестные;Ответ: x=5/2-z, y=1/2.

16)

17)

18) Теорема 5. Пусть  — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве  над полем . Для диагонализируемости  необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий:

1. все корни характеристического многочлена  лежат в ;

2. геометрическая кратность каждого собственного значения  совпадает с его алгебраической кратностью.

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

тремя точками,не лежащими на одной прямой;прямой и точкой;двумя пересекающимися прямыми;двумя параллельными прямыми;плоской фигурой;следами плоскости

31)

32)

33)

34)