ЛЕКЦИЯ №47
16.3. Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде
Так же, как и в электростатическом поле, напряженность электрического поля в проводящей среде:
В неизменном во времени поле:
Если среда однородна и изотропна, т.е. = const, то можно записать:
или
(16.9)
Поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа.
Это поле является
потенциальным, в нем в областях, не
занятых источниками
.
16.4. Переход тока из среды с проводимостью 1 в среду
с проводимостью 2. Граничные условия
Рис. 16.2. Поле на границе раздела двух сред
На рис.16.2 линия ОО есть граница раздела сред. Возьмем на границе раздела плоский замкнутый контур 1234. Составим циркуляцию вдоль этого контура. Стороны 12 и 34 его весьма малы по сравнению со сторонами 23 и 41, длину которых обозначим dl. Пренебрежем составляющими интеграла вдоль коротких сторон
,
.
(16.10)
Это соотношение совпадает с соотношением (13.23) на границе раздела двух диэлектриков.
На границе раздела равны нормальные составляющие плотностей токов.
а б
Рис. 16.3. Определение нормальной составляющей поля
Выделим на границе раздела сред сплющенный параллелепипед (рис. 16.3а).
Поток вектора
,
втекающий в объем через нижнюю грань,
равен
;
поток вектора
,
вытекающий из объема через верхнюю
грань –
.
Так как
,
то
(16.11)
Следовательно,
при переходе тока из среды с одной
проводимостью в среду с другой
проводимостью остаются непрерывными
тангенциальная составляющая вектора
напряженности поля
и нормальная составляющая плотности
тока
.
.
(16.12)
16.5. Аналогия между полем в проводящей среде
и электростатическим полем
По своей природе электростатическое поле и поле постоянного тока в проводящей среде различны. Электростатическое поле создается электрическими зарядами, неизменными во времени и неподвижными в пространстве. Электрическое поле в проводящей среде создается электрическими зарядами, которые имеют упорядоченное движение под действием внешнего источника. Однако между полями существует формальная аналогия.
Электростатическое
поле в областях, не занятых зарядами
удовлетворяет уравнению Лапласа. Этому
же уравнению удовлетворяет электрическое
поле постоянного тока в проводящей
среде вне сторонних источников. В обоих
случаях имеют дело с вектором напряженности
электрического поля
.
Диэлектрической проницаемости
соответствует проводимость .
С вектором электрического смещения
можно сопоставить вектор плотности
тока
.
С потоком вектора
–
можно сопоставить поток вектора плотности
электрического тока
.
Граничные условия на поверхности раздела двух диэлектриков:
Граничные условия
на поверхности раздела двух сред с
различной проводимостью
Учитывая вышесказанное, можно сделать вывод, что при одинаковой форме граничных поверхностей картина поля в обоих случаях будет одинаковой (совокупность силовых и эквипотенциальных линий).
16.6. Соотношение между проводимостью и емкостью
Если какие-либо электроды поместить в проводящую среду и присоединить к источнику ЭДС, то по проводящей среде идет ток. Проводимость между электродами равна
В свою очередь:
Проводимость
(16.13)
C другой стороны в электростатическом поле с электродами такой же конфигурации емкость между двумя частями электродов, на которых расположены одинаковые по величине и противоположные по знаку заряды Q равна:
(16.14)
Учтено, что
Если разделить (16.14) на (16.13), то можно получить:
(16.15)
Выражение (16.15) позволяет по известному выражению емкости между какими-либо телами получить выражение для проводимости и наоборот.
Так, например, емкость двухпроводной линии:
(16.16)
где: l – длина проводов, d – расстояние между осями, r – радиус провода.
Чтобы получить выражение для проводимости между двумя параллельными проводами, погруженными в среду с проводимостью , надо в (16.15) заменить a на :
(16.17)
16.7. Общая характеристика задач расчета электрического поля
в проводящей среде и методов их решения
Так же, как и задачи электростатики, задачи расчета электрического поля в проводящей среде можно классифицировать по характеру величины, которая определяется в результате расчета:
1. На задачи, у которых определяются точечные характеристики (плотность тока, потенциал).
2. На задачи, в которых находят интегральные характеристики поля, например, сопротивление между электродами или напряжение между какими-то точками.
В зависимости от того, что задано и что определяется, все задачи делятся на два типа:
1. В первом – заданы форма и расположение электродов (геометрия поля), свойства среды и интенсивность источников, создающих поле. Требуется найти либо точечные, либо интегральные характеристики поля.
2. Второй тип задачи является обратным по отношению к первому. Например: по заданной точечной характеристике поля, заданным форме, расположения электродов и свойствам среды найти интенсивность источников, создающих поле.
Задачи расчета электрического поля в проводящей среде могут быть решены:
1. Непосредственным интегрированием уравнений, описывающих поле.
2. Использованием аналитических решений для других статических невихревых полей.
3. Экспериментальным или графическим путем.
4. Методом зеркальных изображений.
5. Методом конформных преобразований.
17. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
17.1. Связь основных величин, характеризующих магнитное поле.
Механические силы в магнитном поле
Магнитное поле постоянного тока создается неизменными во времени токами, проходящими по проводящим телам, неподвижным в пространстве по отношению к наблюдателю. Электрическое поле постоянного тока не влияет на магнитное поле, и их можно рассматривать независимо.
Магнитное поле
характеризуется индукцией
,
намагниченностью
и напряженностью магнитного поля
.
Эти три величины связаны соотношением
(17.1)
где
Гн/м
– магнитная постоянная,
– абсолютная, а
– относительная магнитная проницаемость.
Одним из основных
проявлений магнитного поля является
воздействие его на проводник с током,
помещенный в это поле. Сила воздействия
на элемент проводника длиной
(17.2)
Эта сила
перпендикулярна индукции в данной точке
поля и перпендикулярна элементу с током
(рис 17.1).
Рис. 17.1. Взаимодействие проводника с током и магнитного поля
Если
и
параллельны, то элемент тока не испытывает
механического воздействия со стороны
магнитного поля.
Механические воздействия магнитного поля на ток можно пояснить, исходя из представлений о деформации силовых линий магнитного поля или из понятий о силах Лоренца.
Внешнее Собственно Результирующее
однородное поле провода поле
поле
Рис. 17.2. К пояснению воздействия магнитного поля на проводник с током
Результирующее поле слева от проводника разрежено, а справа – сгущено. Силовые линии стремятся выпрямиться, производя давление на провод справа налево.
При взаимно перпендикулярном расположении магнитного поля и провода с током направление действия силы определяется по правилу левой руки.