302_toe / ТОЭ 3 / Лекция №53

6

ЛЕКЦИЯ №53

18.9. Применение теоремы Умова-Пойнтинга для определения

активного и внутреннего индуктивного сопротивлений

проводников при переменном токе

При протекании постоянного тока сопротивление R=l/γs.

При протекании переменного тока магнитное поле меняет распределение плотности тока и оказывает влияние, как на реактивную, так и на активную составляющие сопротивления.

Для определения активного и внутреннего реактивного сопротивлений проводников при протекании переменного тока используют теорему Умова-Пойнтинга в комплексной форме. Подсчитывается поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность проводника на длине в 1 метр и делят его на квадрат тока, протекающего по проводнику. В результате получают комплексное сопротивление проводника на единицу длины:

(18.38)

Рассмотрим влияние протекания переменного тока на сопротивление прямоугольного проводника.

Поток энергии на границе проводника определяется вектором Пойнтинга

С учетом ранее сделанных допущений (2a<<h, h<<l), а также, что при стремится к единице, получим Следовательно, .

Волновое сопротивление .

При этом вектор Пойнтинга

Тогда

Следовательно, полное сопротивление шины будет

(18.39)

Распределение протекающего тока показано на рис. 18.11.

Рис. 18.11. Распределение тока в толще проводника

Магнитное поле вытесняет ток на внешние поверхности проводника, увеличивая его сопротивление. Поэтому величину 2h∆ рассматривают как эквивалентное поперечное сечение проводника.

18.10. Экранирование в переменном магнитном поле

Явление затухания электромагнитной волны в поверхностном слое металла используют для экранирования в переменном электромагнитном поле.

Электромагнитные экраны представляют собой полые цилиндрические сферические или прямоугольные оболочки, внутрь которых помещено экранируемое устройство.

Экран выполняет две функции:

1. Защищает устройство, заключенное в экран от влияния внешнего по отношению к экрану электромагнитного поля;

2. Защищает внешнее по отношению к экрану пространство от электромагнитного поля, создаваемого устройством, заключенным в экране.

Поскольку на расстоянии, равном длине волны, электромагнитная волна в металле почти полностью затухает, то для хорошего экранирования толщина стенки экрана должна быть примерно равна длине волны в металле. Практически приходится учитывать и другие факторы (механическую прочность экрана, его стоимость и т.д.).

18.11. Высокочастотный нагрев металлических деталей

и несовершенных диэлектриков

Нагрев металлических деталей перед ковкой, штамповкой, сушку древесины, наплавку и реставрацию инструментов часто производят путем помещения этих предметов в электромагнитное поле сравнительно невысокой частоты (1-20 кГц). Стальные детали (валы, шестеренки) нередко подвергают поверхностной закалке при более высокой частоте (10-500 кГц).

Энергия, выделяющаяся в виде тепла в проводящем теле, равна Электромагнитная волна, проникающая в толщу металла, быстро затухает. Поэтому теплота выделяется практически лишь в относительно тонком поверхностном слое стального изделия.

Под действием теплоты, выделившейся в поверхностном слое, последний быстро разогревается до температуры, необходимой для поверхностной закалки.

Высокочастотные поля используют также для нагрева несовершенных диэлектриков (проводимость их хотя и мала, но не равна нулю). Так, частоты 1-30 МГц используются для высокочастотного нагрева пластмасс перед штамповкой, для термической обработки пищевых продуктов, вулканизации резины и т.д.

18.12. Распространение электромагнитных волн в однородном

и изотропном диэлектрике

Проводимость идеального диэлектрика равна нулю (γ=0). Уравнения Максвелла получают следующий вид:

(18.40)

Для однородных и изотропных диэлектриков μ_а=const и div=0; div=0.

Решим совместно первых два уравнения Максвелла

(18.41)

Произведение измеряется в с ²/м², т.е. имеет размерность, обратную размерности квадрата скорости. Примем =1/ν²:

(18.42)

Так как для плоской волны зависит только от координаты z, то можно записать:

(18.43)

Уравнению (18.43) соответствует характеристическое уравнение:

Корни этого уравнения:

Общее решение дифференциального уравнения

(18.44)

Первое слагаемое (18.44) представляет собой падающую волну, а второе – отраженную.

Постоянные интегрирования и можно представить в виде:

Напряженность электрического поля:

(18.45)

где

В плоской электромагнитной волне, распространяющейся в диэлектрике, как и для проводящей среды и взаимно перпендикулярны, направлено по оси y, – по оси x.

Мгновенные значения H и E для падающей волны:

(18.46)

По мере продвижения падающей волны вдоль оси z амплитуды E и H остаются неизменными, так как в диэлектрике нет токов проводимости и выделения энергии в виде теплоты.

Рис. 18.8. Падающие волны напряженностей электрического и магнитного полей

На рис. 18.8 изображены пространственные кривые E(z) и H(z). Вектор Пойнтинга падающей волны направлен вдоль оси z. Модуль вектора Пойнтинга изменяется по закону

(18.47)

Фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме:

Если волна рапространяется в вакууме ε_а=ε₀ и μ_а=μ₀, то ν=300 000 км/с, т.е. фазовая скорость равна скорости света.

Фазовая скорость электромагнитной волны в диэлектрике очень велика. Длина волны: l=v/f.

Самостоятельная работа

Расчет индуктивности коаксиального кабеля и двухпроводной линии. Исследование поля сферических заземлителей. Расчет вектора Умова-Пойнтинга для двухпроводной линии.

Контрольные вопросы

1. Определите переменное электромагнитное поле и запишите совокупность уравнений Максвелла.

2. Обоснуйте возможность моделирования электростатического поля полем постоянного тока в проводящей среде.

3. Взаимное соответствие электростатического и магнитного полей.

4. Теорема Умова-Пойнтинга для мгновенных значений и для величин в комплексной форме записи.