Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
129
Добавлен:
09.11.2013
Размер:
40.55 Кб
Скачать

Дифференциальные операции второго порядка

   

Обратимся вновь к понятиям градинта, дивергенции и ротора:

grad u = ∇ u ,     div A = ∇ A ,     rot A = ∇ × A.

Последовательным применением оператора набла, можно образовать шесть дифференциальных операций второго порядка:

2 u ,     ∇ × ∇ u ,     ∇2 A ,     ∇ (∇ A) ,     ∇ (∇ × A) ,     ∇ × (∇ × A).

При условии непрерывности функций и их производных второе и пятое выражения обращаются в нуль:

 ∇ × ∇ u = rot grad u = 0,  ∇ (∇ × A) = div rot A = 0.

Хотя эти два утверждения ранее уже были доказаны, представляется разумным проанализировать их с другой точки зрения.

Если чисто формально воспринимать векторный оператор  ∇  как просто вектор, то выражение  ∇ × ∇  представляет собой векторное произведение двух одинаковых векторов, которое всегда равно нулю.

С этих же позиций выражение  ∇ (∇ × A)  является смешанным произведением, содержащим два одинаковых вектора, что также всегда равняется нулю.

Однако алгебра операторов в некоторых отношениях совпадает с векторной алгеброй, но имеются и существенные различия между ними.

Действительно, рассмотрим вектор  ∇ × ∇ u , представив его в виде разложения по базису прямоугольной системы координат:

 

Координаты этого вектора обращаются в нуль, если смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, т.е. при условии непрерывности функций и их производных.

Таким образом, уравнение  ∇ × ∇ u = 0  не является тождеством, а удовлетворяется только для определенного класса функций.

Суммируя изложенное, представим результаты дифференциальных операций второго порядка в виде таблицы. 

2u = div grad u

ΔA = ∇2A

∇×∇u = rot grad u = 0

∇(∇A) = grad div A

∇(∇×A) = div rot A  = 0

∇×(∇× A) = rot rot A

rot rot A = grad div A – ∇2A

Опера́тор Лапла́са  — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции  он ставит в соответствие

функцию .

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля  в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа унитарен.

Формулы Грина

Формулы получаются непосредственно из теоремы о дивергенции

,

которая справедлива для любого векторного поля А, определённого в объёме V, ограниченном замкнутой поверхностью S. Пусть , где  и  — произвольные дважды непрерывно-дифференцируемые скалярные функции. Тогда

и

,

где  — нормальная производная на поверхности S (по направлению внешней нормали по отношению к объёму V). Подставляя (1) и (2) в теорему о дивергенции, мы придем к первой формуле Грина

.

Напишем такую же формулу, поменяв в ней местами  и , и вычтем её из (3). Тогда члены с произведением  сократятся и мы получим вторую формулу Грина, называемую иначе теоремой Грина:

.

Соседние файлы в папке FTF 2 semestr.MARTINOV