FTF 2 semestr.MARTINOV / 12

Криволине́йная систе́ма координа́т — система координат в евклидовом пространстве, или в области, содержащейся в нём. Криволинейные координаты противопоставляются прямолинейным: декартовым, а также косоугольным. Применяются обычно на плоскости (n=2) и в пространстве (n=3); число координат равно размерности пространства n. Наиболее известным примером криволинейной системы координат являются полярные координаты на плоскости.

Криволинейные системы координат 

Как видно из рассмотрения, определение понятия поля (скалярного, векторного), основных дифференциальных операций и характеристик полей было дано безотносительно к координатной системе. Однако, при решении конкретных задач приходится, тем не менее, использовать систему координат. При этом, в простейшем случае положение некоторой точки  в пространстве задавалось с помощью тройки чисел  так, что радиус-вектор (бескоординатное определение положения) представлялся в виде разложения по неподвижному декартовому ортонормированному базису , ,  с началом в фиксированной точке  в виде:

(183)

Тройка чисел  называется прямоугольными декартовыми координатами точки . Использование координат, таким образом, просто означает способ нумерации точек пространства и декартовая система координат в этом смысле не является уникальной. Кроме того, несмотря на свою простоту, эта система может сильно затруднить решение некоторых задач, требующих использования координатных систем. Поэтому во многих случаях бывает удобно определять положение точки в пространстве не числами , а какими-нибудь другими .

      Числа  называются криволинейными координатами точки. Тогда, радиус-вектор точки  должен быть, как и в случае декартовой системы координат, функцией криволинейных координат, т. е.  или в проекциях на декартовые оси координат

(184)

С другой стороны, задание тройки  также определяет положение точки в пространстве, поэтому ее криволинейные координаты должны быть функциями декартовых:

(185)

Если рассматривать (184) как систему уравнений, то из математического анализа известно, что ее решение, т. е. (185), можно получить в случае, если определитель (якобиан):

(186)

будет отличен от нуля. В дальнейшем будем предполагать, что обратное также выполняется:

(187)

и вместе (186)-(187) будут, таким образом, определять связь между декартовыми  и криволинейными  координатами.

Чтобы выяснить смысл криволинейных координат, рассмотрим одно из уравнений (185) в виде:

(188)

Const. Из аналитической геометрии известно, что это уравнение определяет в пространстве поверхность. Если  изменяется, тогда, соответственно, будет задано семейство поверхностей. Аналогично можно получить еще два таких семейства:

	(189)
	(190)

Если некоторая точка  имеет криволинейные координаты , то из (188) - (190) следует, что она расположена на пересечении поверхностей (188) - (190) (рис. 33).

Рис.33.

      Таким образом, положение точки в пространстве можно определить относительно семейства поверхностей (188)-(190), на каждой из которых соответствующая координата имеет постоянное значение. Поэтому, такие поверхности называются координатными. Попарные пересечения координатных поверхностей , ,  определяют пространственные кривые, вдоль которых изменяется только одна из координат, ,  или . Такие линии называются координатными линиями. Так как уравнения (188)-(190) в общем случае не обязательно задают плоскости, то и координатные линии также будут кривыми, что и определяет название криволинейная система координат.