1.10. Множення матриць

Множення матриць розглянемо, починаючи з відомого вже прикладу 3, при підрахунку грошових затрат на виконання робіт по проходці в шахті (метро, тунелі). Нехай в рядках матриці

записані результати роботи за добу кожної із трьох змін: по виїмці породи (перший стовпець) і по кріпленню пройденої виробки (другий стовпець). Як вже згадувалось, при заданій площі поперечного перетину проходки результати робіт можуть вимірюватись в пройденних погонних метрах. Замовнику необхідно знати, яку суму грошей прийдеться виділяти на оплату праці робітників, а яку – на капітальні витрати. Існують норми розцінок на зарплату і капітальні витрати, які представимо у вигляді матриці розцінок

де перший стовпець – норми оплати праці робітників: за 1 погонний метр по виїмці породи і за 1 погонний метр по кріпленню відповідно. Другий стовпець:– відповідні капітальні затрати за 1 погонний метр виїмки і за 1 погонний метр кріплення.

Загальні затрати на зарплату для кожної із змін дорівнюють сумі добутків пройдених кількостей метрів по обох видах робіт на відповідні норми розцінок. Позначимо через сумму грошей зароблену-ю зміною. Аналогічно підраховуються капітальні затратидля-ої зміни по виїмці і кріпленню.

Отримаємо таблицю затрат

Зміни	Затрати на зарплату по виїмці і кріпленню	Капітальні затрати по виїмці і кріпленню
І-а зміна
ІІ-а зміна
ІІІ-я зміна

Ці дані запишемо у вигляді нової матриці затрат , що отримана з матрицьіза допомогою операції, яку називають множенням матриць, і позначають

Для множення матриці розміруна матрицюрозмірунеобхідна їхузгодженність, тобто, щоб число стовпців матриці (першого співмножника) збігалося з числом рядків матриці(другого співмножника). Так в наведеному прикладі матрицяузгоджується з матрицею(для кожного виду робіт є норми розцінок). Однак матрицяне є узгодженою з матрицею.

Означення 1. Добутком матриці розміруна матрицюрозміруназивається матрицярозміру, елементи якоїдорівнюють сумі добутків елементів-того рядка матриціна відповідні елементи-того стовпця матриці, тобто

.

Із структури елементів зрозуміло необхідність узгодженості матрицьі: кожному елементу в-тому рядку матриці(першого співмножника) повинен відповідати елемент в-тому стовпці матриці(другого співмножника). Число рядків матрицідорівнює числу рядків першого співмножника, а число стовпців- числу стовпців другого співмножника.

Приклад 1. Знайти добуток матриць і, якщо,.

Розв’язання. Матриця має розмір 2х2, розмір матриці- 2х3. Число стовпців матрицідорівнює 2 і збігається з числом рядків матриці. Отже, матриці узгоджені, тому можна множити матрицюна матрицю. В результаті отримаємо матрицюрозміром 2х3, тобто

.

Приклад 2. Переконатись, що для даних матриць

Звернути увагу, що в даному випадку .

Приклад 3. Переконатись, що для даних матриць

Звернути увагу, що добуток двох ненульових матриць може давати нульову матрицю, і, крім того, .

Означення 2. Матриці іназиваються переставними або комутативними, якщо .

Приклад 4.

Легко перевірити, що довільна квадратна і одинична матриці комутативні, і при цьому .

Приклад 5. Перевірити останню рівність, якщо

Можна показати, що множення матриць має такі властивості:

де – число;

.

Тут мається на увазі, що всі записані добутки матриць існують.

Приклад 6. Перевірити властивості 1-4, якщо число , а матрицітакі:

, , С=.

Розглянемо поняття степеня квадратної матриці.

Означення 3. Квадратом матриці (позначається) називається добуток, тобто.

Аналогічно вводиться .

Приклад 7. Для матриць і, де

, ,

довести, що , та знайти значення виразів.

Означення 4. Якщо - заданий многочлен ідеяка квадратна матриця, то вираз

де - одинична матриця, називається многочленною матрицею.

Приклад 8. Для матриці

Знайти

Обчислити степені квадратних матриць: