За формулами Крамера розв’язати систему

Розв’язання.Знаходимо визначники, причому можна знаходити іх різними способами,

Перевірка.

Відповідь:

Приклади. За формулами Крамера розв’язати системи рівнянь, у відповідь записати суму коренів.

Відповіді: 1. 8; 2. –2; 3. –6; 4. –2.

1.7.1. Визначники вищих порядків

Розглянемо записаний спочатку формально визначник 4-го порядку:

Викреслюючи в і-тий рядок іj-тий стовпець, на перетині яких міститься елемент , отримаємо визначник 3-го порядку, який називається мінором елементаі позначається. Тоді- алгебраїчне доповнення елемента. Визначник 4-го порядку, можна означити, як розклад за елементами, наприклад, першого стовпця

Нехай введено поняття визначника -го порядку, тоді визначник-го порядку:

можна зобразити, як розклад за елементами першого стовпця:

де - алгебраїчні доповнення, а- мінори елементів першого стовпця. Останні є визначниками-го порядку.

Зауваження. Всі властивості 1-8, а також теореми розглянуті для визначників 3-го порядку поширюються і на визначники вищих порядків.

Приклад.

Обчислити визначник

.

Розв'язання. Спочатку за допомогою властивості 8 із 1.3 перетворимо в нулі елементи 1-го стовпця, які належать до 2-го 3-го і 4-го рядків. Для цього додамо відповідні елементи 1-го і 2-го рядків. На місці елемента а₂₁ отримаємо 0 (1+(-1)), а₂₂=-2+3=1, а₂₃=(-1)+(-1)=-2, а₂₄=3+(-1)=2.

Щоб отримати 0 в 3-му рядку 1-го стовпця, домножимо на (-3) елементи 1-го рядка і додамо до відповідних елементів 3-го рядка:

а₃₁=1•(-3)+3=0, а₃₂=(-2)(-3)+(-8)=-2, а₃₃=(-1)(-3)+7=10,

а₃₄=3•(-3)+7=-2.

Домножимо елементи 1-го рядка на (-2) і додамо до відповідних елементів 4-го рядка. Маємо

а₄₁=1•(-2)+2=0, а₄₂=(-2)•(-2)+1=5, а₄₃=(-1)(-2)+(-10)=-8,

а₄₄=3(-2)+17=11.

Початковий визначник ∆ внаслідок зроблених перетворень має вигляд:

=.

Далі розкладаємо останній визначник за елементами 1-го стовпця. Оскільки а₁₁=1, а решта елементів 1-го стовпця нулі, то отримаємо один визначник 3-го порядку, до якого теж в подальшому застосуємо аналогічні перетворення. В результаті запишемо:

Зауваження. Виконані перетворення в нулі елементів 1-го стовпця, що відносились до 2-го – 4-го рядків, є по суті застосуванням правила прямокутника(див. в 1.1 ) при перетворенні 2-го – 4-го рядків початкового визначника з провідним елементом 1(1-й рядок, 1-й стовпець).

Приклади. Обчислити визначники.

1	2
3	4

Відповіді. 1. 3; 2. 28; 3. 12; 4. 84.

1.7.2. Обчислення визначників за правилом прямокутника

Наведемо ще один, як на нашу думку новий спосіб обчислення визначників, що ґрунтується на правилі прямокутника. Тут істотно застосовується властивість 8, що розглядалась в 1.3

Значення визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне і те ж число.

Особливо зручною стає ця властивість тоді, коли серед елементів рядка (стовпця), які множаться на число є такий, що дорівнює 1.

Цей елемент вважають провідним, тоді решту елементів рядка (стовпця), за допомогою властивості 8 можна перетворити в нулі, в результаті чого можна знизити порядок визначника.

Виклад суті згаданого способу почнемо з визначника ІІ-го порядку.

Отже, нехай дано

.

Домножимо елементи І-го рядка на і почленно додамо до ІІ-го рядка.

де - знайдено за правилом прямокутника (див. 1.1). Таким чином, ми звели визначник до трикутної форми, і його значення дорівнює добутку діагональних елементів та коефіцієнта, тобто

(1)

Застосуємо подібні перетворення для обчислення визначників ІІІ-го порядку

Згідно з властивістю визначників 8 домножимо елементи І-го рядка на і додамо до відповідних елементів ІІ-го рядка. На місці елементаотримаємо. Аналогічно, знову домножимо елементи І-го рядка наі додамо до відповідних елементів ІІІ-го рядка. На місці- теж. Після цього співмножникзнову введемо в І-ий рядок, тоді

(2)

де елементи .- знайдені за правилом прямокутника (див. 1.1).

За співвідношенням (1) для мінора, що входить в останній визначник (2), маємо

де , при цьому вважається, що.

Отже, останній визначник із рівності (2) зводиться до трикутного вигляду, тобто в результаті маємо таку послідовність перетворень за правилом прямокутника

(3)

Для визначника 4-го порядку послідовність основних перетворень за правилом прямокутника має такий вигляд

(4)

Очевидно, що при переході до визначника вищого порядку, наприклад, 5-го, ми можемо за правилом прямокутника і властивістю 8 утворити в першому стовпці, крім , нулі і звести задачу до обчислення визначника 4-го порядку.

(5)

Тепер подамо алгоритм обчислення визначників за правилом прямокутника

1. Елемент вважаєтьсяпровідним і при цьому в супротивному випадку необхідно поміняти, із урахуванням знаку, стовпці або рядки місцями так, щоб елемент у першому рядку і першому стовпці був відмінним від нуля.

2. Перед визначником ставимо співмножник , де- порядок визначника, назвемо йогопоправочним коефіцієнтом. Значення показника степеня збігається з кількістю нулів, які будуть стояти в першому стовпці нижче елемента.

3. Елементи першого стовпця, що лежать нижче елемента , заміняємо нулями, а всі інші – перетворюємо за правилом прямокутника, в буквеному вигляді вони позначені одним штрихом.

4. Наступним провідним елементом вибираємо по діагоналі .

5. Вводимо в поправочний коефіцієнт співмножник - кількість нулів, що будуть післяу другому стовпці.

6. Замінюємо елементи ІІ-го стовпця, що лежать нижче нулями, а всі інші - перетворюємо за правилом прямокутника, в буквеному вигляді вони позначаються двома штрихами.

7. Процес перетворення продовжується поки не зведемо визначник до трикутної форми.

8. Знайдений добуток діагональних елементів скорочуємо з поправочними коефіцієнтами.

Зауваження. Описаний алгоритм у випадку дробових, або багатоцифрових елементів надійніше виконувати з застосуванням контролю, як це викладено в (1.1)

Приклад 1. Обчислити визначник: а) за алгоритмом; б) за допомогою обчислювальної таблиці з контролем.

а)

б) Обчислювальна таблиця

					Сума	Контроль
1	2	2	3	1	8
2	3	1	-1	4	7
3	1	2	3	-1	5
4	4	3	2	1	10
5		-4	-11	5	-10	-10
6		2	3	-3	2	2
7		-2	-8	-2	-12	-12
8			10	2	12	12
9			10	18	28	28
10				160	160	160

За даними таблиці отримуємо визначник трикутного вигляду разом з поправочним коефіцієнтом

Приклад 2. Обчислити визначник

Обчислювальна таблиця

N п/п						сума	Конт- роль
1	2	4	3	-2	5	12
2	3	-2	4	1	2	8
3	-2	4	5	6	3	16
4	4	5	2	3	6	20
5	5	6	3	2	1	17
6		-16	-1	8	-11	-20	-20
7		16	16	8	16	56	56
8		-6	-8	14	-8	-8	-8
9		-8	-9	14	-23	-26	-26
10			-240	-256	-80	-576	-576
11			122	-176	62	8	8
12			136	-160	280	256	256
13				73 472	-5 120	68 352	68 352
14				73 216	-56 320	168 896	168 896
15					-3 763 077 120	-3 763 077 120	-3 763 077 120

Приклади

Обчислити визначники:

. .

. .

Відповіді: