FTF 2 semestr.MAVRODI / 44
.pdf
Формула Стокса
Формула Стокса связывает интеграл по поверхности ( ) с криволинейным интегралом по замкнутому контуру (l), ограничивающему эту поверхность, и имеет следующий вид:
(3)
В двумерном случае формула Стокса совпадает с формулой Грина:
За положительное направление нормали 
к поверхности ( ) берется такое направление, чтобы с
конца 
обход по контуру l, оставляющий поверхность слева, был виден против часовой стрелки
(Рис. 23).
, так как 
,
, (Рис. 24)
Потенциальные поля и их свойства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ПОЛЯ
Поле |
называется потенциальным векторным полем, если оно является градиентом некоторого |
||
скалярного поля |
: |
|
|
|
|
|
(1) |
При этом функция |
называется потенциалом векторного поля |
. |
|
Основные свойства потенциальных полей
1. 
— циркуляция потенциального поля равна нулю по любому замкнутому контуру 
.
Действительно, |
|
2. Если векторное поле |
задано в односвязной области D, то для его потенциальности |
необходимо и достаточно, чтобы его 
, то есть любое потенциальное поле является “безвихревым”.
Односвязная область – это такая область, граница которой может быть стянута в точку непрерывным образом, не выходя за пределы области.
Доказательство
Необходимость: если векторное поле |
потенциально, то есть |
, то |
|||
его |
|
. |
|
|
|
Достаточность: если |
, то все компоненты вектора |
равны 0, то есть |
|
||
, |
, |
. |
|
|
|
Докажем, что поле |
является потенциальным. |
|
|
|
|
Если переобозначить 
то получим: 
, 
, 
.
В этих |
равенствах легко |
узнать |
необходимые |
и достаточные |
условия для того, чтобы |
|
выражение |
|
|
было полным |
дифференциалом |
некоторой |
|
функции |
, то есть |
, |
, |
|
то есть поле |
является |
потенциальным, ч.т.д. |
|
|
|
|
|
|
Если вспомнить доказательство достаточных условий полного дифференциала (в двумерном случае – с
помощью формулы Грина), то становится понятно, что эти условия ( |
) должны выполняться во |
всех точках некоторой области, которая рассматривалась как односвязная область. |
|
Можно показать, что в случае области, которая не является односвязной, этих условий может оказаться
недостаточно для восстановления однозначной функции |
во всей области (см. Фихненгольц, т.III, §§ |
558-562, 601, 641). |
|
3. Если векторное поле 
потенциально, то его работа этого поля между двумя точками пространства не зависит от формы линии, которой соединяются эти точки, и равна разности значений потенциала поля в этих точках.
Доказательство
то есть работа равна разности значений потенциала и не зависит от формы перемещения 
4. Потенциал потенциального поля 
определяется с точностью до постоянного слагаемого.
Действительно, 
Найти потенциал векторного поля 
можно, например, с помощью криволинейного интеграла II
рода, вычисленного от фиксированной точки 
до переменной точки 
:
(2)
При этом удобно вычислять криволинейный интеграл как независящий от формы линии интегрирования, то есть по ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат.
Точки 
, 
и линия интегрирования должны оставаться в области существования этого криволинейного интеграла.
При этом координаты фиксированной точки 
можно положить равными конкретным числам – это упростит вычисление.
По методу своего решения задача нахождения потенциала потенциального векторного поля совпадает с задачей о восстановлении функции двух или трех переменных по ее полному дифференциалу (см. §9 данного конспекта).
Пример 1 (нахождение потненциала потенциального векторного поля)
Убедиться в том, что векторное поле 
потенциально, и найти его потенциал: 
Решение
— это необходимое и достаточное условие потенциальности поля 
. Вычисляем
поле |
является потенциальным. |
Ответ: