FTF 1 semestr.SHECOLDIN / 23

Момент инерции относительно любой оси равен

 

Эта теорема называется теоремой о параллельном переносе оси. Доказывается она очень легко. Момент инерции относительно любой оси равен сумме масс, умноженных на сумму квадратов х и у, т. е. I = Σm_i(x²_i + y²_i). Пусть координата х есть расстояние данной частной точки от начала координат; посмотрим, однако, как все изменится, если мы будем измерять расстояние х` от центра масс вместо х от начала координат. Чтобы это выяснить, мы должны написать x<sub>i</sub> = x`_i + X_ц.м. Возводя это выражение в квадрат, находим x²_i = x`<sup>2</sup><sub>i</sub> + 2X<sub>ц.м.</sub>x`_i + X²_ц.м.

Что получится, если умножить его на m_i и просуммировать по всем r? Вынося постоянные величины за знак суммирования, находим

I_x = Σm_ix`<sup>2</sup><sub>i</sub> + 2X<sub>ц.м.</sub>Σm<sub>i</sub>x`_i + X2_ц.м.Σm_i

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера,: момент инерции тела  относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела  относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела  на квадрат расстояния  между осями:

где

 — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

 — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

 — масса тела,

 — расстояние между указанными осями.

Вывод

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор  можно расписать как разность двух векторов:

,

где  — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула: ,

где  — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.