FTF 1 semestr.SHECOLDIN / 22

Вынужденные колебания. Переходный режим. Амплитудная и фазовая резонансные кривые. Добротность.

Уравнение динамики колебаний, происходящих  под действием гармонической силы. Вынужденными называются колебания, которые система совершает под действием внешней силы. Характер движения зависит от особенностей внешней силы. Она может быть любой периодически изменяющей свое значение. Наиболее важным является случай гармонической внешней силы. Более сложные случаи ее изменения во времени сводятся к этому простейшему.

Будем считать, что внешняя сила действует на линейный гармонический осциллятор по следующему закону:

F = F₀·cos(·t).

Кроме внешней силы на осциллятор, по-прежнему, действуют квазиупругая сила и сила трения. Согласно II закону Ньютона уравнение движения имеет вид:

m·x'' + h·x' + k·x = F₀· cos(·t) или x'' + 2··x' + w₀²·x = F₀· cos(·t)/m.

Колебания, которые будут совершаться после затухания собственных колебаний, называются установившимися вынужденными колебаниями. Процесс установления этих колебаний называется переходным режимом.

Установившиеся колебания не зависят от начальных условий и описываются уравнением: 

х = A·cos(·t + ).

 Значение амплитуды вынужденных колебаний

A = (F₀/m)/((w_^ - ^)² + 4²·²)^1/2

Амплитудная резонансная кривая. Резонанс. Построим зависимостьА(), график которой называется амплитудной резонансной кривой. Вид этой кривой зависит от величины коэффициента затухания . Амплитуда, соответствующая значению частоты  = 0, называется статическим смещением. Т.к. F₀ = k·A_ст, то

А_ст = F₀/(m·w₀²) = F₀/k.    

Из графика видно, что при определенном значении частоты вынуждающей силы амплитуда осциллятора становится максимальной.

Явление, при котором  амплитуда колебаний системы достигает максимального значения, характерного для некоторого значении частоты вынуждающей силы называется резонансом. 

Частота вынуждающей силы, при которой наступает данное явление, называется резонансной. Приравнивая к нулю производную выражения A = (F₀/m)/((w_^ - ^)² + 4²·²)^1/2по частоте и пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим формулы для расчета резонансной частоты _рез и амплитуды А_рез:

_рез = (_² - 2²)^1/2;   А_рез = F₀/(2m··w₀).

При значении  = 0 амплитуда колебаний в резонансе стремится к бесконечности. 

Важной характеристикой осциллятора является отношение амплитуды его колебаний в резонансе к ее статическому значению. Из формул А_ст = F₀/(m·w₀²) = F₀/k и А_рез = F₀/(2m··w₀)следует, что это отношение равно добротности системы:

А_рез/А_ст = /d = Q, где d - логарифмический декремент затухания.

Добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы.

Рассмотрим качественно физическую картину вынужденных колебаний в различных областях частот.

а)  << w₀. В уравнении движения x'' + 2··x' + w₀²·x = F₀· cos(·t)/m слагаемые, пропорциональные ускорению и скорости, много больше слагаемого w_о²·х, связанного с упругой силой. Следовательно, уравнение движения сводится к следующему виду:

w_о²·х = F₀/m · cos(·t); x = F₀ cos(·t)/k = F(t)/k.

Таким образом каждый момент времени смещение являлось таким, каким оно должно было бы быть, если бы сила не изменялась со временем и равнялась своему мгновенному значению. Силы трения роли не играют. Смещение совпадает по фазе с внешней силой.

б)  >> w₀. При большой частоте вынуждающей силы слагаемое, обусловленное ускорением, много больше слагаемых, связанных со скоростью и упругой силой. Таким образом, силы упругости и силы трения не играют никакой роли в колебаниях. Внешняя сила действует на осциллятор так, как если бы этих сил не было. Поэтому уравнение движения имеет вид:

x'' = F₀/m · cos(·t).

Решение этого уравнения представляется формулой:

x = - F₀/(m·^) · cos(·t) = - F(t)/(m·^).

Смещение отстает от силы по фазе на .

в) Случай резонанса  = w₀. Слагаемое, связанное с ускорением, равно слагаемому, обусловленному упругой силой, т.е. x'' = - ^·x = - w_^·x. Это значит, что ускорение создается силой упругости, а внешняя сила и сила трения взаимно компенсируются. Уравнение движения имеет вид:

2·x' = F₀/m · cos(·t).

Решение этого уравнения представляется формулой:

x = F₀/(2·m·w_) · sin(w_·t).

Смещение отстает от силы по фазе на .

Фазовая резонансная кривая. Как следует из уравнения tg = - 2·/(w_^ - ^) ,сдвиг по фазе между силой и смещением зависит от соотношения частот собственной и вынуждающей силы, а также от значения коэффициента затухания .При значении  = ₀ смещение отстает от силы на /2. Это означает, что в момент, когда сила достигает своего максимального значения, смещение равно нулю, а когда сила равна нулю смещение максимально. С возрастанием частоты отставание смещения от силы растет и при очень больших частотах приближается к , т.е. сила и смещение колеблются в противофазе.

Фазовые соотношения между смещением и силой позволяют более глубоко понять сущность явления резонанса с точки зрения энергетических соображений. Пусть при  = ₀ сила и смещение подчиняются следующим законам:

F = F₀·cos(₀·t); x = A·sin(₀·t).

Тогда уравнение для скорости колеблющейся частицы (осциллятора) имеет вид:

x' =  = - A··cos(₀·t).

Из этих соотношений видно, что скорость и сила колеблются в фазе. Следовательно, мощность, сообщаемая осциллятору внешней силой, равна N = F· Ее значение положительно в любой момент времени, следовательно, работа внешней силы достигает своего максимального значения. Энергия в этом случае направлена на преодоление сил трения.

В случае  = _рез величина  по модулю несколько меньше, чем /2, но за счет большего, чем в случае  = ₀ значения скорости осциллятора интегральная величина работы за период колебаний максимальна и

резонанс характеризуется наличием максимально благоприятных условий для передачи энергии от источника внешней силы к осциллятору. 

Самые неблагоприятные условия передачи энергии при  << w₀ и  >> w₀, В этих случаях фазы силы и скорости отличаются почти на . Значит сила примерно половину времени направлена противоположно скорости и половину времени совпадает с ней. В среднем осциллятору от источника внешней силы передается незначительная энергия за период колебаний и поэтому амплитуда колебаний в этих случаях очень мала.