- •Лабораторная работа № 4 Геометрические преобразования
- •Системы координат и векторы
- •Уравнения прямой и плоскости
- •2 Аналитическое представление кривых и поверхностей
- •3 Пересечение луча с плоскостью и сферой
- •4 Интерполяция функций одной и двух переменных
- •5 Матрицы
- •6 Геометрические преобразования (перенос, масштабирование, вращение)
- •7 Переход в другую систему координат
- •8 Задача вращения относительно произвольной оси
- •Изучив теорию и методические указания к проведению лр, сформулировать и письменно ответить на вопросы для защиты данной лабораторной работы.
2 Аналитическое представление кривых и поверхностей
Пусть на плоскости задана декартова система координат.
Кривая на плоскости - это геометрическое место точек , удовлетворяющих уравнению
|
(4.10) |
где - функция двух переменных. Ясно, что далеко не каждая функция будет задавать линию. Так, например, уравнению
не удовлетворяет ни одна точка плоскости, а уравнению
удовлетворяет только одна точка .
Для аналитического представления кривой во многих случаях удобнее задавать кривую параметрическими уравнениями, используя вспомогательную переменную (параметр) :
|
(4.11) |
где и- непрерывные функции на заданном интервале изменения параметра. Если функциятакова, что можно выразитьчерез, то от параметрического представления кривой легко перейти к уравнению (4.10):
Систему уравнений (4.11) можно записать в векторном виде:
Отрезок прямой представляет собой частный случай кривой, причем параметрическое представление его может иметь вид
или
Окружность радиуса с центром в точкеможет быть представлена параметрическими уравнениями
Перейдем к трехмерному пространству с заданной декартовой системой координат.
Поверхность в пространстве - это геометрическое место точек , удовлетворяющих уравнению вида
|
(4.12) |
Так же как и в случае кривой на плоскости, не всякая функция описывает какую-либо поверхность. Например, уравнению
не удовлетворяет ни одна точка пространства. Поверхность также может быть задана в параметрическом виде, но в отличие от кривой для этого требуются две вспомогательные переменные (параметры):
|
(4.13) |
Например, сфера радиуса с центром в точкеможет быть задана уравнением
либо же параметрическими уравнениями
Кривую в пространстве можно описать как пересечение двух поверхностей, т.е. с помощью системы уравнений
|
(4.14) |
или параметрическими уравнениями вида
|
(4.15) |
3 Пересечение луча с плоскостью и сферой
Прямая на плоскости и в пространстве является бесконечной в обе стороны. Лучом называется полупрямая, т.е. множество всех точек прямой, лежащих по одну сторону от заданной ее точки, называемой началом луча. Луч будем задавать в параметрическом виде, как это было описано в одном из предыдущих разделов. Пусть - направляющий вектор прямой, а- начальная точка. Тогда координаты точек луча будут определяться формулами
|
(4.8) |
Будем считать, что направляющий вектор единичный, т.е. .
Сначала рассмотрим задачу о нахождении точки пересечения луча с плоскостью, заданной каноническими уравнением
|
(4.9) |
Вектор нормали тоже будем считать единичным. Сначала надо определить значение параметра t, при котором луч пересекает плоскость. Для этого подставим координаты из формулы (4.8) в уравнение (4.9) и получим
откуда легко определить, что луч пересекает плоскость в точке со значением
Очевидно, что такая точка существует только при условии . В свою очередь, эта величина обращается в нуль только в случае, когда векторыиортогональны друг другу.
Пусть теперь нам задана сфера с центром в точке и радиусом. Тогда уравнение сферы будет иметь вид
Подставив сюда координаты луча из уравнения (4.9), получим, что параметр, при котором луч пересекает сферу, должен удовлетворять квадратному уравнению
где . Определим корни этого уравнения. Если дискриминант, то корни существуют. Их может быть либо два, либо один. В первом случае имеем две точки пересечения, во втором - одну (луч касается сферы). Соответствующие значения параметра определяются соотношением