ответы на матстат / 8

Закон больших чисел. Теорема Чебышева

В широком смысле:

Закон больших чисел – общий принцип, согласно которому совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая.

Другими словами, при большом числе СВ их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

В узком смысле:

Закон больших чисел – ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным

теорема Чебышева

Если X₁, X₂, …, X_n – попарно независимые СВ, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа c), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число n СВ достаточно велико, то есть

.

Сущность теоремы Чебышева

Несмотря на то, что каждая из независимых СВ X_i может принять значение, далекое от математического ожидания M(X_i), среднее арифметическое достаточно большого числа СВ с большой вероятностью весьма близко к среднему арифметическому их математических ожиданий, следовательно, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых СВ (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер СВ.