Физика
.pdf
31
8.Выведите уравнение движения при сложении двух колебаний,
происходящих вдоль одной прямой и имеющих разные частоты (ω1 ≠ ω2), но одинаковые амплитуды. Начертите графики слагаемых колебаний и результирующего движения.
9.Какие колебания называются биениями? При каких условиях они получаются? Чему равна частота биений?
10.Какой вид имеет уравнение траектории точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с одинаковыми периодами? При каких условиях эта траектория является окружностью? Прямой?
2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.Материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания. Амплитуда ускорения точки равна 20 см/с2, наибольшее смещение точки 10 см. Найти циклическую частоту колебаний точки и максимальную скорость.
План решения |
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
||
|
|
Дано: |
|
|
СИ |
|
|
|
|||
Записать |
краткое |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
условие задачи. |
amax = 20 см/с2 |
|
0,2 м/с2 |
|
|
|
|||||
Перевести |
|
А = 10 см |
|
|
0,1 м |
|
|
|
|||
величины в систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ω – ? |
|
|
|
|
|
|
|||||
СИ. |
|
υmax – ? |
|
|
|
|
|
|
|||
Проанализировать |
В |
случае |
гармонических колебаний |
смещение |
х |
||||||
задачу: |
|
колеблющейся точки |
изменяется |
со |
временем |
по |
|||||
1. Какова |
|
||||||||||
|
гармоническому закону, например, по закону синуса: |
||||||||||
особенность |
|||||||||||
|
|
|
х = Asin ωt , |
|
|
(1) |
|||||
гармонических |
|
|
|
|
|
||||||
где |
A – |
амплитуда |
колебаний, |
ω |
– циклическая |
||||||
колебаний? |
|
||||||||||
|
частота. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
По определению мгновенной скорости |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Как определить максимальную скорость частицы, колеблющейся по гармоническому закону?
3. Как определить максимальное ускорение частицы, колеблющейся по гармоническому закону?
Составить уравнения.
Проверить единицы измерения. Провести вычисления.
32
υ = dxdt .
Взяв производную по времени от уравнения (1), получим
υ = |
d |
(Asin ωt)= Aωcosωt . |
(2) |
|
dt |
||||
|
|
|
Как следует из (2) скорость частицы также изменяется по гармоническому закону, а значит, максимального значения она достигает при cosωt =1, то есть
υmax = Аω. |
(3) |
По определению мгновенного ускорения a = ddtυ .
Взяв производную по времени от уравнения (2), получим
a = |
d |
(Aωcosωt)= −Aω2 sinωt . |
(4) |
|
dt |
||||
|
|
|
Как следует из (4) ускорение частицы изменяется по гармоническому закону, а значит модуль максимального значения ускорения
|
|
|
|
|
|
amax = Аω2 . |
(5) |
Из (5) |
|
|
|
|
|
|
|
ω = |
amax . |
|
|
||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
м/с |
2 |
|
1/2 |
|
|
[ω]= |
|
|
|
|
= с−1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = 0,2 = |
|
2 ≈1,4(c−1). |
|
||||
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
Подставляя полученное значение ω в (3), найдём |
|
||||||
υmax = 0,1 
2 ≈ 0,14(м/c).
33
2. Частица массой 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы 0,1 мДж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы, действующей на частицу.
План решения |
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|||
|
|
Дано: |
|
|
|
СИ |
|
|
|||
Записать |
краткое |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
условие задачи. |
m = 0,01 кг |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Перевести |
|
Т = 2 с |
|
|
|
|
|
|
|
||
величины в систему |
Е = 0,1 мДж |
|
|
|
10-4 Дж |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СИ. |
|
А – ? |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fmax – ? |
|
|
|
|
|
||||
Проанализировать |
В случае гармонических колебаний смещение |
||||||||||
задачу: |
|
колеблющейся точки изменяется со временем по |
|||||||||
1. Чем |
|
гармоническому закону, например, по закону синуса: |
|||||||||
определяется |
|
|
|
|
|
х = Asinω t , |
|
(1) |
|||
полная энергия |
где A – амплитуда колебаний, ω– циклическая частота. |
||||||||||
частицы, |
|
В этом случае полная энергия частицы может быть |
|||||||||
совершающей |
определена, например, как максимальная кинетическая |
||||||||||
гармонические |
энергия: |
|
|
|
|
|
|||||
колебания? |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = |
mυmax |
|
, |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
где m – масса частицы, νmax – максимальная скорость. |
|||||||||
2. Как определить |
По определению мгновенной скорости |
|
|||||||||
максимальную |
|
|
|
|
|
|
υ = dx . |
|
|||
скорость частицы, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|||
колеблющейся по |
Взяв производную по времени от уравнения (1), |
||||||||||
гармоническому |
получим |
|
|
|
|
|
|||||
закону? |
|
|
υ = |
d |
(Asinω t)= Aωcosω t . |
(3) |
|||||
|
|
|
dt |
||||||||
|
|
Как следует из (3) скорость частицы также изменяется |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Как определить циклическую частоту колебаний частицы?
4.Как определить силу, действующую на частицу?
5.Как определить максимальную силу, действующую на частицу?
6.Как определить коэффициент квазиупругой силы?
34
по гармоническому закону, а значит, максимального значения она достигает при сosωt =1, то есть
υmax = Aω.
Поэтому выражение (2) примет вид:
E = mА2ω2 , 2
откуда искомая амплитуда |
|
|
|
|
A = |
1 |
2E |
, |
(4) |
|
ω |
m |
|
|
Циклическую частоту колебаний частицы определим, зная период:
ω = 2Tπ .
Окончательно выражение (4) примет вид:
A = |
T |
2E . |
(5) |
|
2π |
m |
|
Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на неё, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением
F = −kx ,
где k – коэффициент квазиупругой силы. Максимальной сила будет при максимальном смещении х, которое, как следует из (1), будет равно амплитуде колебаний xmax = A , поэтому численное значение максимальной силы
Fmax = kA . |
(6) |
Коэффициент найдём, зная выражение для периода колебаний точки, колеблющейся под действием квазиупругой силы:
35
Составить уравнения.
Проверить единицы измерения.
Провести вычисления.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = 2π |
m , |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
4π 2 m |
. |
|
|
|
|
|
(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полученные выражения (5) и (7) подставим в (6) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
= |
4π 2m |
|
Т |
|
2E |
= |
2π |
2Em . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
T 2 |
|
2π |
|
m |
|
|
T |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
[А]= с |
Дж 1/2 |
|
Н м 1/2 |
|
|
кг м/с2 м 1/2 |
|
м |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= с |
|
|
|
|
= |
с |
|
|
|
|
|
= с |
|
= м. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
кг |
|
|
кг |
|
|
|
|
|
|
кг |
|
|
|
с |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
[F |
] |
= 1 |
Дж кг = 1 H м кг = 1 |
кг м c2 м кг = кг м = H. |
|||||||||||||||||||||
max |
|
c |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A = |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
10−4 |
= 0,045 (м) = 45 (мм) . |
|
|
|
|||||||||||||
2 |
3,14 |
|
0,01 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Fmax = 2 32,14 
2 10−4 0,01 ≈ 4,44 10−3(H)= 4,44(мН).
3.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
4.1.Частица совершает прямолинейные гармонические колебания. Амплитуда скорости частицы υmax = 22 cм/с. Амплитуда ее ускорения
amax = 77 см/с2. Найти амплитуду смещения А и циклическую частоту колебаний частицы.
4.2. Уравнение колебаний точки имеет вид x = 2sin 5t (см). Определить максимальные значения скорости и ускорения точки.
4.3.Материальная точка совершает гармонические колебания по закону синуса. Через какой промежуток времени после начала колебаний смещение точки из положения равновесия будет равно половине амплитуды? Период колебаний 24 с, начальная фаза колебаний равна нулю.
4.4.Материальная точка совершает гармонические колебания по закону синуса с периодом 2 с, амплитудой 50 мм и начальной фазой
36
равной нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда смещение точки из положения равновесия равно 25 мм.
4.5. Материальная точка массой 10 г колеблется по закону x = 0,05sin(0,6t + 0,8) (м). Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колебаний.
4.6.Материальная точка массой 5 г совершает гармонические колебания с частотой 0,5 Гц. Амплитуда колебаний 3 см. Определить максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колебаний.
4.7.Диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно к плоскости диска. Определить приведённую длину и период малых колебаний такого маятника.
4.8.Груз, неподвижно висящий на вертикальной пружине, удлиняет ее на 5 см. С каким периодом этот груз будет совершать колебания, если его вывести из положения равновесия?
4.9.Груз, подвешенный на пружине, совершает вертикальные колебания с амплитудой смещения А = 0,06 м. Максимальная кинетическая энергия груза 1,2 Дж. Найти коэффициент жесткости пружины. Массой пружины пренебречь.
4.10.Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 50 м/с. Период колебаний 0,05 с, расстояние между точками 50 см. Найти разность фаз колебаний в этих точках.
4. Литература
[1, глава 18 §§ 140, 141, 144, 145; 2, глава 27 §§ 27.1, 27.2, 27.4].
37
ТЕМА 5
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 1.1. Основные формулы
• Количество вещества:
ν = N = m ,
N A M
где ν – количество вещества, N – число молекул, NA – постоянная Авогадро, m – масса вещества, M – молярная масса.
•Уравнение Клапейрона – Менделеева:
pV =νRT ,
где p – давление, V – объем, R = 8,31 Дж/(моль·К) – молярная газовая постоянная, T – температура.
•Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов:
p = 23 n0 < Eпост >= 13 n0m0 <υкв>2 ,
где n0 – концентрация молекул, < Eпост >– средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, <υкв>– средняя квадратичная скорость, m0 – масса молекулы.
•Средняя кинетическая энергия молекулы:
<E >= 2i kT ,
где i – число степеней свободы, k – постоянная Больцмана.
•Внутренняя энергия идеального газа:
U = 2i νRT .
•Скорости молекул:
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
9 |
средняя квадратичная: <υкв >= |
3kT = |
3RT |
, |
|
|||
|
|
|
|
m0 |
|
M |
|
|
9 |
средняя арифметическая: <υ >= |
8kT |
= |
8RT |
, |
|||
|
|
|
|
πm |
|
πM |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
9 |
наиболее вероятная: υ = |
2kT |
= |
2RT . |
|
|
|
|
|
|
m |
|
M |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
•Средняя длина свободного пробега молекул:
< λ >= (
2πd 2n0 )−1 ,
где d – эффективный диаметр молекулы.
•Среднее число столкновений в единицу времени:
<z >= 
2πd 2n0 <υ >.
1.2.Вопросы к теоретическому материалу
1.Каковы основные положения термодинамического и молекулярно-кинетического методов изучения макроскопических систем?
2.Запишите уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона – Менделеева). Каковы физический смысл, размерность и численное значение универсальной газовой постоянной?
3.Дайте определение единицы вещества 1 моль. Сколько молекул содержится в моле любого вещества?
4. |
Получите соотношения |
p = nkT , < E > = |
3 |
kT. |
Каковы |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
физический смысл, числовое значение и единицы измерения постоянной Больцмана k.
5. Каково содержание одного из основных положений статистической физики о равнораспределении энергии по степеням свободы? Считая, что средняя энергия молекулы идеального газа
< E >= 2i kT , где i – сумма поступательных, вращательных и удвоенного
39 |
|
|
|
|
|
числа колебательных степеней свободы молекулы, получите |
для |
||||
внутренней энергии произвольной массы идеального газа: U = |
m i |
RT . |
|
||
|
|
|
|
||
M 2 |
|
||||
|
|
|
|||
6.При каких условиях выполняется закон распределения молекул по скоростям? Напишите аналитическое выражение этого закона и изобразите его графически.
7.Проанализируйте соотношения для скоростей молекул: наиболее вероятной υ; средней арифметической <υ>; средней
квадратичной <υкв>.
8.Что называется эффективным диаметром молекулы d; средней длиной пробега молекул λ; средним числом столкновений < z >молекул в единицу времени?
9.Каковы основные закономерности явлений переноса в газах?
2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. В баллоне объёмом V =10 л находится гелий под давлением р1 = 1 МПа и при температуре Т1 =300 К. После того, как из баллона было
взято m = 10 г гелия, |
температура в |
баллоне понизилась до Т2 = 290 К. |
||||
Определить давление гелия, оставшегося в баллоне. |
||||||
План решения |
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|||||
|
|
|
Дано: |
|
|
СИ |
Записать краткое |
|
|
||||
|
|
|
||||
условие задачи. |
|
|
V =10 л |
|
|
10−2 м3 |
Перевести |
|
|
|
|
||
|
|
р1 = 1 МПа |
|
|
106 Па |
|
величины в систему |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
СИ. |
|
|
Т1 =300 К |
|
|
|
|
|
|
m = 10 г |
|
|
10−2 кг |
|
|
|
Т2 = 290 К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р2 – ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проанализировать задачу:
1. Как определить давление идеального газа?
2. Как определить массу гелия, оставшегося в баллоне?
3. Как определить первоначальную массу гелия в баллоне?
Составить уравнение.
40
Для определения давления идеального газа воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа
p V = |
m2 |
RT , |
(1) |
|
|||
2 |
M |
2 |
|
|
|
|
где р2 – давление гелия, оставшегося в баллоне, m2 – масса гелия, оставшегося в баллоне,
М – молярная масса гелия,
R = 8,31 Дж/(моль·К) – молярная газовая постоянная. Из уравнения (1)
p2 |
= |
m2 |
|
RT2 |
. |
(2) |
M |
|
|||||
|
|
|
V |
|
||
Массу m2 гелия выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона
m2 = m1 −m. |
(3) |
Массу m1 гелия найдём из уравнения Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному состоянию газа
p1V = mM1 RT1,
m1 = p1VM . RT1
Подставляя полученное выражение для массы m1 в (3), а затем выражение m2 в (2), найдём
|
|
p1VM |
|
RT2 |
|
p2 |
|
|
|
||
= |
|
− m |
|
, |
|
RT |
MV |
||||
|
|
1 |
|
|
|
p2 = T2 p1 − m RT2 . T1 M V