Физика

11

1.Как выглядит В случае равнозамедленного вращения уравнение

сколичеством оборотов N соотношением:

13

1.5. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = 4t2 ir+3t rj +2k . Определить: 1) вектор скорости υr; 2) вектор ускорения ar; 3) модуль скорости в момент времени t = 2 с.

1.6.Колесо вращается равнозамедленно. За время t = 2 мин частота вращения изменилась от 240 мин-1 до 60 мин-1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

1.7.Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается

уравнением ϕ = А+Вt+Сt2+Dt3 (B = 1 рад/с, С = 1рад/с2, D = 1 рад/с3). Определить для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение аτ; 2) нормальное ускорение аn;

3)полное ускорение а.

1.8.Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость

угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением ϕ = Аt2 (A = 0,1 рад/с2). Определить полное ускорение а точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если линейная скорость этой точки в этот момент V = 0,4 м/с.

1.9.Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону,

выраженному формулой ϕ = 10+20t–2t2. Найти модуль полного ускорения ar точки, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t0 = 4 с. Какой угол α составляет вектор ar с нормалью к траектории в этот момент времени?

1.10. Колесо, получившее начальную угловую скорость ω0 , сделав

N оборотов, остановилось вследствие трения. Считая вращение равнозамедленным, определить угловое ускорение ε.

4. ЛИТЕРАТУРА

[1, глава 1; 2, глава 1, §§ 1.1–1.4].

14

ТЕМА 2

ДИНАМИКА ЧАСТИЦ. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1.Основные формулы

•Второй закон Ньютона:

F = mar,

где F – равнодействующая сила, действующая на материальную точку массой m , ar – приобретаемое материальной точкой ускорение;

F = dpr/ dt ,

где pr – импульс материальной точки.

•Импульс материальной точки:

p = mυ ,

где υr – скорость точки.

•Сила трения скольжения:

Fтр = fN ,

где f – коэффициент трения скольжения, N – сила нормального давления.

•Радиус-вектор центра масс системы материальных точек:

где υi – скорость i-й материальной точки.

•Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси:

15

n

I = ∑mi ri 2 ,

i =1

где mi – масса i-й материальной точки, ri – расстояние от i-й

материальной точки до рассматриваемой оси. В случае однородного тела

I = ∫r 2dm = ρ∫r 2dV ,

где ρ – плотность тела.

•Теорема Штейнера:

I = I0 + ma2 ,

где I – момент инерции тела относительно заданной оси, I0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, параллельно заданной оси, а – расстояние между осями.

• Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z:

M z = Izε ,

где M z – момент силы относительно оси z, Iz – момент инерции тела относительно оси z, ε – угловое ускорение.

M z = dLz / dt ,

где Lz – момент импульса твердого тела относительно оси z.

Lz = Izω ,

где ω – угловая скорость тела.

1.2.Вопросы к теоретическому материалу

1.Какая система отсчета считается инерциальной, и какая неинерциальной? В каких системах отсчета выполняются законы Ньютона?

2.Сформулируйте первый закон Ньютона.

16

3.Какой физической величиной характеризуются изменение состояния покоя или равномерного движения?

4.Какая физическая величина служит мерой инертности тела?

5.Какие величины называют аддитивными? Какими опытами подтверждается аддитивность массы?

6.Какой смысл имеет понятие силы в ньютоновской механике? Какими способами можно измерить силу?

7.Сформулируйте второй закон Ньютона.

8.Сформулируйте третий закон Ньютона.

9.Что называется моментом силы (относительно точки; относительно оси)? Как строится вектор, изображающий момент силы?

10.Как выражается момент инерции материальной точки; тела? Каков физический смысл понятия «момент инерции»?

11.Через какую точку тела должна проходить ось, чтобы момент инерции тела относительно этой оси имел наименьшее значение?

12.В чем состоит основной закон динамики вращательного движения тела?

2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.Маховик в виде диска массой 50 кг и радиусом 20 см был раскручен до частоты 480 оборотов в минуту и затем предоставлен самому себе. Под влиянием трения маховик остановился через 50 с. Найти момент сил трения, действующих на маховик, считая его постоянным.

18

С учётом выражения для начальной угловой скорости ω0 уравнение (5) примет вид:

действующую на тело в конце первой секунды движения.

2.2.К нити подвешен груз массой 500 г. Определить силу

натяжения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2 м/с2;

2)опускать с ускорением 2 м/с2.

2.3.Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов равноускоренного движения, представляет собой два груза с неравными массами m1 и m2, которые подвешены на легкой нити,

перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) силу натяжения нити Т; 3) силу F, действующую на ось блока.

2.4. С вершины клина, длина которого L = 2 м и высота h = 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и

19

клином f = 0,15. Определить: 1) ускорение, с которым движется тело; 2) время прохождения тела вдоль клина; 3) скорость тела у основания клина.

2.5.По наклонной плоскости с углом α наклона к горизонту,

равным 30 °, скользит тело. Определить скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения f = 0,15.

2.6. Тело массой m = 2 кг падает вертикально с ускорением

а= 5 м/c2. Определить силу сопротивления при движении этого тела.

2.7.С вершины клина, длина которого L = 2 м и высота h = 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином f = 0,15. Определить: 1) ускорение, с которым движется тело.

2.8.Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого 150 кг·м2, вращается с частотой n = 240 об/мин. Через время t = 1 мин, после того как на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановился. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки.

2.9.Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг

оси симметрии согласно уравнению ϕ = А+Вt2+Ct3. Определить момент сил

Мдля t = 3 с. (В = 2 рад/с2, С = – 0,5 рад/с3).

2.10.Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами m1 = 0,35 кг и m2 = 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) отношение Т2/Т1 сил натяжения нити.

4. ЛИТЕРАТУРА

[1, глава 2, §§ 5 – 10, 16 – 18; 2, глава 2, §§ 2.1 – 2.7, глава 4, §§4.2, 4.3].

20

ТЕМА 3

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1.Основные формулы

•Закон сохранения импульса замкнутой системы:

∑N pri = const ,

i=1

где pri – импульс i-го тела, N – число тел, входящих в систему.

• Работа, совершаемая силой F на элементарном перемещении

drr:

dA = Fdrr = Fdrrcosα ,

где α – угол между направлениями векторов силы и перемещения.

•Работа, совершаемая переменной силой:

A = ∫F(r)cosαdr ,

L

где интегрирование ведется вдоль траектории.

•Мгновенная мощность:

N = dAdt или N = Fυcosα ,

где υ – мгновенная скорость тела.

•Средняя мощность:

N= ∆∆At .

•Кинетическая энергия поступательного движения:

действующей на тело в данной точке поля: