Физика

21

Fr = −gradП = −(ir ∂∂Пx + rj ∂∂Пy + kr ∂∂Пz ) ,

где ir, rj , kr – единичные векторы (орты).

•Потенциальная энергия упруго деформированного тела:

П = 12 kx2 ,

где k – коэффициент упругости.

• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух тел массами m1 и m2 , находящихся на расстоянии r друг от друга:

П = −G m1m2 . r

• Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести:

П = mgh ,

где h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии.

• Закон сохранения механической энергии системы, в которой действуют только консервативные силы:

T+ П = const .

•Закон сохранения момента импульса системы, для которой момент внешних сил относительно оси вращения z равен нулю:

Lz = const ,

Lz – момент импульса системы относительно оси z.

• Закон сохранения момента импульса для тела, момент инерции которого изменяется:

I z1ω1 = I z2ω2 ,

где Iz – момент инерции тела относительно оси z, ω – угловая скорость.

• Работа постоянного момента силы M, действующего на вращающееся тело:

22

A = Mϕ ,

где ϕ – угол поворота тела.

•Кинетическая энергия вращающегося тела:

T = Iω22 ,

где ω – угловая скорость, I – момент инерции тела.

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

T= m2υ2 + Iω22 .

1.2.Вопросы к теоретическому материалу

1.Что называется центром тяжести тела? центром масс (или

инерции)?

2.Что такое импульс тела, системы тел?

3.Какая система тел называется замкнутой?

4.Какие силы называются внутренними для данной системы тел? Какие силы называются внешними?

5.Как формулируется закон сохранения импульса?

6.Что называется элементарной работой?

7.В чем состоит физический смысл понятия «кинетическая энергия»? Какой вид имеет ее математическое выражение? Как можно изменить кинетическую энергию?

8.В чем состоит физический смысл понятия «потенциальная энергия»? От чего она зависит? Как можно изменить потенциальную энергию?

9.При каких условиях механическая энергия системы сохраняется? Как можно изменить полную механическую энергию системы?

23

10.Какой вид имеет математическое выражение потенциальной энергии тела, находящегося в поле силы тяжести; деформированного тела?

11.Какова работа силы тяжести при перемещении тела по замкнутому пути?

12.Какие силы называются консервативными и диссипативными? Что называется консервативной системой? диссипативной системой?

13.Что называется центральным ударом двух тел; абсолютно упругим ударом? Какие законы сохранения выполняются при этом ударе? Что называется неупругим ударом? Что происходит с кинетической энергией соударяющихся тел при неупругом ударе?

14.В чем состоит физический смысл понятия «момент импульса»; Как формулируется закон сохранения момента импульса?

15.Как выражается работа и мощность при вращении тела? Как выражается кинетическая энергия вращающегося тела?

16.Какова связь между работой момента силы, действующей на вращающееся тело, и изменением кинетической энергии вращающегося тела?

2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.Платформа в виде сплошного диска массой 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой 10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдёт на край платформы?

26

3.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.1.Снаряд массой m = 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость υ = 300 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой m1 = 3 кг полетел в

обратном направлении со скоростью υ1 = 100 м/с. Определить скорость υ2

второго, меньшего, осколка.

3.2.Платформа с песком общей массой М = 2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m = 8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда

υ= 450 м/с, а ее направление – сверху вниз под углом α = 30 ° к горизонту.

3.3.На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со

скоростью υ0 = 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием

М = 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой m = 10 кг вылетает из ствола под углом α = 60 ° к горизонту. Определить скорость υ снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в 2 раза.

3.4. Молекула массой m = 4,65·10-26 кг, летящая со скоростью

υ = 600 м/c, ударяется о стенку сосуда под углом α = 60 ° к нормали и под некоторым углом упруго отскакивает от нее. Найти импульс силы, получаемый стенкой за время удара.

3.5.Тело, падая с некоторой высоты, в момент соприкосновения с

Землей обладает импульсом p = 100 кг·м/с и кинетической энергией

Т= 500 Дж. Определить: 1) с какой высоты тело падало; 2) массу тела.

3.6.Гиря массой 10 кг падает с высоты 0,5 м на подставку, скрепленную с пружиной жесткостью 30 Н/см. Определить сжатие пружины.

Найти кинетические энергии этих тел.

3.8.Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной L = 2,5 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции I = 10 кг·м2 и вращается с частотой n1 = 12 мин-1. Определить частоту n2 вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение.

3.9.Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n1 = 10 мин-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определить, с какой частотой n2 будет тогда вращаться платформа.

3.10.Платформа массой М в виде однородного диска радиусом R может вращаться около вертикальной оси, проходящей через центр масс. По краю платформы начинает идти человек массой m и, обойдя ее, возвращается в исходную точку. Найти, на какой угол при этом повернется платформа. Человека принять за материальную точку.

4. ЛИТЕРАТУРА

[1 глава 2 § 5, глава 3 §§ 11 – 15; 2 глава 3 §§ 3.1 – 3.5, 5.1 – 5.3.].

28

ТЕМА 4

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1.Основные формулы

•Уравнение гармонических колебаний:

x = Asin(ωt +ϕ0 ) ,

где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия, A – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота, ϕ0 – начальная фаза колебаний, (ωt +ϕ0 ) – фаза колебаний в момент времени t.

•Циклическая частота колебаний:

ω = 2πv = 2Tπ ,

где v и T – частота и период колебаний.

•Проекция скорости точки, совершающей гармонические колебания, на ось x:

υx = dxdt =υmax cos(ω t +ϕ0 ) .

•Проекция ускорения точки, совершающей гармонические колебания, на ось x:

ax = d 2 x = −amax sin(ω t +ϕ0 ) , dt2

где υmax = Aω – амплитуда скорости; amax = Aω2 – амплитуда ускорения.

•Период колебаний математического маятника:

Т = 2π gl ,

где l – длина математического маятника, g – ускорение свободного падения.

•Период колебаний физического маятника:

где I – момент инерции маятника относительно оси колебаний; а – расстояние от центра масс маятника до оси колебаний; L – приведенная длина;

L = I / ma .

•Период колебаний тела, подвешенного на пружине:

где m – масса, k – жесткость пружины.

•Логарифмический декремент затухания:

ωрез = ω02 − 2δ 2 ,

где ω0 – собственная циклическая частота колебаний.

• Полная энергия материальной точки массой m , совершающей гармонические колебания:

E = mA2ω2 , 2

где А – амплитуда колебаний, ω –циклическая частота колебаний.

• Длина волны λ :

λ =υT =υ / v ,

где υ – скорость волны, T и v – период и частота колебаний соответственно.

•Разность фаз колебаний двух точек среды:

30

∆ϕ = (2πλ)∆x ,

где ∆x – расстояние между точками.

1.2.Вопросы к теоретическому материалу

1.Какие колебания называются гармоническими? Не гармоническими? Какие колебания называются свободными?

2.Какой вид имеет дифференциальное уравнение гармонических колебаний? Каков физический смысл величин, входящих в это уравнение?

3.Перечислите физические величины, характеризующие гармоническое колебательное движение. Что такое фаза колебания и что она определяет? Что определяет начальная фаза? Что такое частота колебания и что такое циклическая (круговая) частота? Как связаны между собой эти величины?

4.Каковы амплитуды скорости и ускорения материальной точки,

совершающей гармоническое колебание по следующему закону: x =8cos(02,π2 t + π6 ) . Как выражается энергия гармонического колебания?

5. Какой вид имеет уравнение колебания, полученного в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний? От чего зависит амплитуда результирующего колебания?

Чем отличаются эти колебания? Какова разность фаз между ними? Будет ли разность фаз равна разности начальных фаз?

7. Напишите общее выражение для амплитуды результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний одной частоты, совершающихся вдоль одной прямой. При каком условии амплитуда результирующего колебания будет равна сумме амплитуд составляющих колебаний? Модулю их разности?