2. Задания

1. Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность или ложность:

1) Петербург – столица нашей Родины.

2) Собака – хищное животное.

3) Я поступил в университет.

4) Как твои дела?

5) Мы сегодня встретимся?

6) Летом я отдыхал на море.

2. Есть два простых высказывания:

A – «Число 10 – четное»;

B – «Волк – травоядное животное».

Составить из них все возможные составные высказывания и определите их истинность или ложность. Результаты сведите в таблицу:

A & B	A V B	¬A	¬B	A → B	A ↔ B

3. Постройте таблицу истинности для логического выражения

A & B V ¬A & ¬B.

4. Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению F = X & Y V ¬(Y V X). Вычислить значения выражения для

X = 1, Y = 0.

3 Вопросы к практическому занятию

1. Что такое логика, понятие, высказывание, умозаключение? Приведите примеры.

2. Дайте определения алгебре логики, логической переменной, логической операции, логическому выражению.

3. Назовите логические операции, их обозначение и приведите примеры.

4. Приведите таблицу истинности для логических операций.

5. Назовите последовательность построения логических схем.

Практическое занятие 6 логические законы и правила преобразования логических выражений

1 Теоретическое обоснование

Если логическое выражение содержит большое число операций, то составлять для него таблицу истинности достаточно сложно, так как приходится перебирать большое количество вариантов. В таких случаях формулы удобно привести к нормальной форме.

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при логических переменных.

Для приведения формулы к нормальной форме используют законы логики и правила логических преобразований (таблица 7).

Таблица 7 – Законы и правила логики

№ п.п.	Логические формулы	Запись в математике	Название закона или правила
1	2	3	4
1	A ≡ A	A = A	Закон тождества
2	A & ¬A = 0	A  ¬A = 0	Закон непротиворечия
3	A V ¬A = 1	A + ¬A = 1	Закон исключающего третьего
4	¬(¬A) = A		Закон двойного отрицания
5	A V 1 = 1 A & 1 = A	A + 1 = 1 A  1 = A
6	A V 0 = A A & 0 = 0	A + 0 = A A  0 = 0

Продолжение таблицы 7

1	2	3	4
7	A V A = A A & A = A	A + A = A A  A = A	Правило идемпотентности
8	A V B = B V A A & B = B & A	A + B = B + A A  B = B  A	Правило коммутативности
9	¬(A V B) = ¬A & ¬B ¬(A & B) = ¬A V ¬B		Законы Моргана
10	A & (A V B) = A A V A & B = A	A  (A + B) = A A + A  B = A	Законы поглощения
11	¬A & (A V B) = ¬A &B	¬A  (A + B) = ¬A  B
12	A V ¬A & B = A V B	A + ¬A  B = A + B
13	(AVB)VC = AV(B V C) (A&B)&C = A&(B&C)	(A+B)+C = A+(B + C) (A  B)  C = A  (B  C)	Правило ассоциативности
14	(AVB)&(AVC)=AV(B&C) (A&B)V(A&C)=A&(BVC)	(A+B)(A+C)=A+(BC) (AB)+(AC)=A(B+C)	Правило дистрибутивности
15	¬(A → B) = A & ¬B	¬(A → B) = A  ¬B
16	A → B = ¬A V B	A → B = ¬A + B
17	A≡ B = A & B V ¬(A & B) =(¬A V B) & (A V ¬B)	A≡B = A  B + ¬(A  B) =(¬A + B)  (A + ¬B)

Контрольный пример. Упростите логическое выражение:

F = ¬((A V B) → ¬ (B V C)).

Это логическое выражение необходимо привести к нормальной форме, т. к. в нем присутствует импликация и отрицание логической операции.

1. Избавимся от импликации и отрицания. Воспользуемся (15). Получится:

F = ¬((A V B) → ¬ (B V C)) = (A V B) & ¬ (¬ (B V C)).

2. Применим закон двойного отрицания (4):

(A V B) & (¬ ¬ (B V C)) = (A V B) & (B V C).

3. Применим правило дистрибутивности (14):

(A V B) & (B V C) = (A V B) & B V (A V B) & C.

4. Применим закон коммутативности (8) и дистрибутивности (14):

(A V B) & B V (A V B) & C = A & B V B & B V A & C V B & C.

5. Применим (7):

A & B V B & B V A & C V B & C = A & B V B V A & C V B & C.

6. Применим (14), т. е. вынесем за скобки B. Получим:

A & B V B V A & C V B & C = B & (A V 1) V A & C V B & C.

7. Применим (5):

B & (A V 1) V A & C V B & C = B V A & C V B & C.

8. Переставим местами слагаемые, сгруппируем и вынесем B за скобки:

B V A & C V B & C = B & (1 V C) V A & C.

9. Применим (5) и получим ответ:

B & (1 V C) V A & C = B V A & C.