Лаб Раб № 8, 9, 10, 15, 16, 23

3) Индукция магнитного поля в центре кругового тока

B = µ20RµI ,

где: R - радиус окружности.

4) Индукция магнитного поля на оси кругового тока

B = µ0µpm ,

2πr3

где: pm = πR2I - магнитный момент кругового тока, h - расстояние от

центра окружности до точки наблюдения, r = R2 + h2 - рас-

стояние от кругового тока до точки наблюдения.

5) Индукция магнитного поля на оси соленоида конечных разме-

ров

B = µ0µIn (cos α1 −cos α2 ) , 2

где: n = Nl - число витков на еди-

нице длины соленоида, α1 и α2 - углы под которыми

видны концы соленоида.

6) Индукция магнитного поля на оси бесконечно длинного соленоида

B= µ0µIn .

7)Индукция магнитного поля на конце соленоида бесконечных размеров

1

B = 2 µ0µIn .

8) Индукция магнитного поля на оси тороида

B = µ0µIN ,

2πR

где: N - число витков в тороидальной катушке, R - радиус окружности, проведенной внутри тороида вокруг его оси АА.

Принцип суперпозиции. Индукция магнитного поля, созданного системой проводников с токами, равна векторной сумме индукций магнитных полей, созданных каждым проводником в отдельности

B = B1 + B2 + B3 + ...

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольного замкнутого контура равна сумме токов, проходящих через произвольную поверхность, ограниченную контуром

Физический смысл теоремы о циркуляции. Источниками магнитного поля являются электрические токи.

Теорема Гаусса для вектора индукции магнитного поля. Поток вектора индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю

∫ BdS = 0 .

S

Физический смысл теоремы Гаусса. В природе не существует магнитных зарядов. Силовые линии магнитного поля либо замкнуты, либо приходят из бесконечности и уходят в бесконечность.

2. Магнитные свойства вещества

По своим магнитным свойствам вещества делятся на слабомагнитные и сильномагнитные. К слабомагнитным веществам относятся диамагнетики и парамагнетики. К сильномагнитным веществам относятся ферромагнетики, антиферромагнетики, ферримагнетики и ферриты.

В классической физике предполагается, что электроны в атоме движутся по замкнутым орбитам (модель Резерфорда). Каждый электрон при своем движении создает замкнутый ток, который характеризуется орбитальным магнитным моментом. Более того каждый электрон сам по себе обладает собственным магнитным моментом.

Магнитный момент атома равен сумме орбитальных и собственных магнитных моментов всех его электронов.

Намагниченность вещества - это вектор, равный векторной сумме магнитных моментов атомов в единице объема вещества

где: pm,i - магнитный момент i-го атома. Суммирование проводится по

всем атомам в объеме V .

Напряженность магнитного поля - это вспомогательная характе-

ристика магнитного поля, равная

M - характеризует собственное магнитное поле вещества, H - характеризует внешнее магнитное поле,

B - характеризует результирующее магнитное поле в веществе.

Магнитная восприимчивость χ – это коэффициент пропорцио-

нальности между намагниченностью и напряженностью

M = χH .

Найдем связь между напряженностью и индукцией

B= µ0 (H + M) ,

M = χH ,

B = µ0 (H + χH) = µ0µH ,

где: µ = 1 + χ магнитная проницаемость вещества.

63

Магнитная проницаемость вещества показывает во сколько раз индукция магнитного поля в веществе больше чем в вакууме

µ = B ,

B0

где: B0 = µ0H - индукция магнитного поля в вакууме.

Строго говоря это утверждение справедливо только для однородного, изотропного, бесконечного магнетика, так как форма и размер магнетика существенно влияет на его намагниченность.

Диамагнетики - это вещества, у которых в отсутствие внешнего магнитного поля магнитные моменты атомов равны нулю и, следовательно, намагниченность также равна нулю. При включении внешнего магнитного поля атомы диамагнетика приобретают магнитный момент, направленный против внешнего поля. Намагниченность диамагнетиков направлена против внешнего магнитного поля и очень мала. Для диамагнетика

pm,i ↑↓ H , M ↑↓ H , χ < 0 , 0 < µ < 1 .

К диамагнетикам относятся инертные газы, N2, H2, Si, Ge, P, Bi, Zn, Cu, Au, Ag, ряд других элементов, а также многие органические (ацетон, глицерин, нафталин) и неорганические (вода, поваренная соль) соединения.

Парамагнетики - это вещества, у которых в отсутствие внешнего магнитного поля атомы обладают магнитным моментом, но эти магнитные моменты, вследствие теплового движения, направлены хаотично, поэтому в отсутствие внешнего магнитного поля намагниченность парамагнетиков равна нулю. Внешнее магнитное поле упорядочивает магнитные моменты атомов, появляется намагниченность, направленная по внешнему полю. Если диамагнетики немного ослабляют внешнее магнитное поле, то парамагнетики немного его усиливают

M ↑↑ H , χ > 0 , µ > 1 .

К парамагнетикам относятся Al, Li, Na, K, Ti, V, U, Pu, O2, NO, MnO, CuCl2, FeCl2, NiSO4.

Ферромагнетики - это вещества с недостроенными 3d оболочками (железо Fe, кобальт Co, никель Ni) и 4f оболочками (гадолиний Gd, тербий Tb, диспрозий Dy, гольмий Ho, эрбий Er, тулий Tm), а также их сплавы и соединения. В перечисленных выше металлах ферромагнетизм обусловлен магнитными моментами электронов на 3d или 4f соответственно оболочках, которые в результате обменного взаимодействия образуют упорядоченную структуру. Магнитные моменты атомов выстраиваются параллельно и образуются области спонтанной

64

намагниченности – домены. Ферромагнетики обладают большой магнитной проницаемостью µ >> 1. Например, у армко-железа (100% Fe)

500 < µ < 10000 . Каждый ферромагнетик имеет критическую температуру Кюри TC (точка Кюри). При температуре большей температуры

Кюри ферромагнетик превращается в парамагнетик. Например, для Fe

– TC = 1043 Ê , Co – TC = 1403 Ê , Ni – TC = 631 Ê .

Антиферромагнетики - это вещества, в которых ниже определенной температуры TN (температура или точка Нееля) установился ан-

тиферромагнитный порядок. Магнитные моменты соседних атомов ориентируются антипараллельно, и поэтому намагниченность в отсутствии внешнего магнитного поля равна нулю.

К антиферромагнетикам относится ряд редкоземельных металлов в интервале температур T1 < T < TN : Tb T1 = 219 К, TN = 230 К; Dy T1

= 85 К, TN = 179 К; Ho T1 = 20 К, TN = 133 К; Er T1 = 20 К, TN = 85 К; Tm T1 = 22 К, TN = 60 К. При температуре ниже T1 они становятся

ферромагнетиками. Число известных химических соединений, которые становятся ферромагнетиками, при определенных температурах, приближается к тысяче.

Ферримагнетики - это вещества у, которых ниже точки Кюри существует ферримагнитное упорядочение магнитных моментов ионов. Магнитные моменты ионов различного сорта образуют несколько магнитных подрешеток с магнитными моментами, направленными навстречу друг другу. Ферримагнетики обладают самопроизвольной намагниченностью. (Ферромагнетизм и антиферромагнетизм можно рассматривать как частный случай ферримагнетизма.) Значительная часть ферримагнетиков - это ферриты.

Ферриты - это сложные окислы, содержащие железо и другие элементы. Большинство ферритов являются ферримагнетиками и сочетают ферромагнитные и полупроводниковые или диэлектрические свойства, благодаря чему они получили широкое применение как магнитные материалы в радиотехнике, радиоэлектронике, СВЧ-технике, вычислительной технике.

Ферриты – шпинели имеют структуру минерала шпинели с общей формулой MeOFe2O3, где Me – Ni2+, Co2+, Fe2+, Mn2+, Mg2+, Li1+, Cu2+.

Ферриты – гранаты имеют кубическую структуру граната с общей

формулой R3Fe5O12, где R – Sm3+, Eu3+, Gd3+, Tb3+, Dy3+, Ho3+, Er3+, Tm3+, Yb3+, Lu3+, Y3+.

Ортоферриты имеют орторомбическую структуру минерала перовскита с общей формулой RFeO3, где R – редкоземельный элемент. При

65

не очень низких температурах ортоферриты являются антиферромагнетиками и обладают слабым ферромагнетизмом. Только при очень низких температурах (порядка несколько кельвинов и ниже) они становятся ферримагнетиками.

Гексаферриты имеют гексагональную структуру и представляют собой сложные окисные соединения, например BaFe12O19, Ba2Zn2Fe12O22 и др.

3. Граничные условия для векторов B и H

Рассмотрим границу раздела двух магнетиков. Пусть на границе раздела течет ток с ли-

нейной плотностью j . Разло-

жим векторы индукции и напряженности магнитного поля на две составляющие – перпендикулярную и параллельную границе раздела

B = Bn + Bτ , H = Hn + Hτ .

Линейную плотность тока разложим на две части j = jN + jt ,

где: jN Hτ - часть тока, перпендикулярная проекции вектора напря-

женности на границу раздела, jt Hτ - часть тока, параллельная проекции вектора напряженности на границу раздела.

Для нормальных составляющих векторов B и H выполняются граничные условия

Bn1 = Bn2 ,

µ1Hn1 = µ2Hn2 .

Нормальная составляющая вектора индукции остается непрерывной, а нормальная составляющая вектора напряженности испытывает скачок.

Для тангенциальных составляющих векторов B и H выполняются граничные условия

Hτ1 −Hτ2 = jN ,

Bτ1 − Bτ2 = jN .

µ1 µ2

66

Если поверхностного тока нет jN = 0 , то тангенциальная состав-

ляющая вектора напряженности остается непрерывной, а тангенциальная составляющая вектора индукции испытывает скачок

4. Сила Ампера. Сила Лоренца

Сила Ампера – это сила, действующая на проводник с током со стороны магнитного поля. Сила Ампера пропорциональна индукции магнитного поля, силе тока в проводнике, длине проводника и синусу угла между вектором индукции и направлением тока

FA = I[l ×B] ,

FA = IBl sin α .

Правило левой руки. Если четыре пальца левой руки расположить по направлению тока, так чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, то отогнутый на девяносто градусов большой палец укажет направление силы Ампера.

Сила Ампера всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат проводник и вектор магнитной индукции: FA l и FA B .

Сила Ампера возникает потому, что на каждую заряженную частицу, создающую ток, действует сила Лоренца

Сила Лоренца – это сила, действующая на заряженную частицу со стороны магнитного поля. Сила Лоренца пропорциональна индукции магнитного поля, заряду частицы, ее скорости и синусу угла между вектором индукции и вектором скорости

FË = q[v×B] ,

FË = qvBsin α.

Сила Лоренца всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат вектора индукции и скорости: FË v и FË B .

Так как сила Лоренца перпендикулярна скорости, то она работы не совершает и следовательно модуль скорости и кинетическая энергия частицы не меняются. Под действием силы Лоренца меняется только направление скорости.

67

5. Явление электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции. При изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром, в контуре возникает ЭДС индукции. Если контур проводящий, то в нем возникает индукционный ток.

Закон Фарадея. ЭДС индукции пропорциональна скорости изменения полного магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром

< Eèíä >= −N ∆∆Ôt - среднее значение ЭДС индукции за время ∆t ,

Eèíä = −N dÔdt - мгновенное значение ЭДС индукции,

где: ∆∆Ôt - средняя скорость изменения магнитного потока, dÔdt -

мгновенная скорость изменения магнитного потока, N - число витков провода в контуре.

Правило Ленца. Индукционный ток своим магнитным полем препятствует изменению полного магнитного потока.

Если магнитный поток через контур увеличивается (рис. 24а), то индукционный ток направ-

лен так, что создаваемое им магнитное поле BI направленно против внешнего магнитного поля

Bи стремится уменьшить магнитный поток. Если магнитный поток через контур умень-

шается (рис. 24б), то индукционный ток направлен так, что создаваемое им магнитное поле BI направленно так же как внешнее магнитное поле

Bи стремится увеличить магнитный поток.

ЭДС индукции имеет две природы.

1)Если проводник покоится в переменном магнитном поле, то вокруг переменного магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, которое создает ЭДС индукции. Среднее значение напряженности вихревого электрического поля можно найти по формуле

Eâèõð = Eèíäl ,

68

где: Eâèõð - напряженность вихревого электрического поля, Eèíä - ЭДС

индукции, l - длина контура.

2) Если проводник двигается в постоянном магнитном поле, то ЭДС индукции создает сила Лоренца, точнее та часть силы Лоренца, которая параллельна проводнику.

ЭДС индукции в движущемся проводнике

Eèíä = vBl sin α ,

где: v - скорость проводника, l - длина проводника, α - угол между скоростью и индукцией магнитного поля B .

6. Явление самоиндукции

Явление самоиндукции. Если по замкнутому проводнику идет ток, то вокруг проводника образуется магнитное поле. Если ток меняется, то меняется магнитное поле и следовательно меняется поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную проводником. По закону Фарадея в проводнике возникает ЭДС индукции. Эта ЭДС называется ЭДС самоиндукции, так как ее появление связано с изменением собственного магнитного поля проводника.

Индуктивность проводника - это коэффициент пропорциональности между током и полным магнитным потоком через поверхность ограниченную проводником

где: Ô1 - поток магнитной индукции через один виток провода, Ô -

полный поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную проводником, I - сила тока в проводнике, N - число витков провода, L - индуктивность проводника.

В СИ индуктивность измеряется в Генри

[L]=Ãí= ÂáÀ = ÂÀñ = Îì·ñ .

ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения силы тока и направлена так, чтобы препятствовать изменению тока

< Eñàì.èíä >= −L ∆∆It - среднее значение ЭДС самоиндукции,

Eñàì.èíä = −L dIdt - мгновенное значение ЭДС самоиндукции,

69

где: ∆∆It - средняя скорость изменения силы тока, dIdt - мгновенная

скорость изменения силы тока.

Если ток возрастает, то Eñàì.èíä < 0 и направлена против тока, если

ток убывает, то Eñàì.èíä > 0 и направлена так же, как ток. Индуктивность бесконечно длинного соленоида, т.е. катушки, у ко-

торой длина много больше ее поперечных размеров l >> S

соленоида.

Рассмотрим две катушки индуктивности с общим сердечником, тогда ЭДС индукции в каждой катушке зависит от скорости изменения силы тока в обоих катушках

где: L1 и L2 - индуктивности катушек, L12 - взаимная индуктивность

катушек.

Взаимная индуктивность двух бесконечно длинных катушек индуктивности с общим сердечником ( l >> S )

µ0µN1N2S ,

l

где: N1 - число витков провода первой катушки, N2 - число витков

провода второй катушки.

Если катушка индуктивности намотана на ферромагнитный сердечник, то индуктивность будет зависеть от силы тока, так как магнитная проницаемость ферромагнетика зависит от напряженности намагничивающего поля, которое в свою очередь также зависит от силы тока. В этом случае различают статический коэффициент самоиндукции и динамический коэффициент самоиндукции.

Статический коэффициент самоиндукции L – это коэффициент пропорциональности между силой тока и полным магнитным потоком

Ô = LI .

70

Динамический коэффициент самоиндукции L* – это коэффици-

ент пропорциональности между скоростью изменения силы тока и ЭДС самоиндукции

Eñàì.èíä = −L* dIdt .

Динамический и статический коэффициенты самоиндукции связаны между собой

L* = L + I dLdI .

Как видно из приведенной формулы в простейшем случае, когда можно пренебречь зависимостью индуктивности от силы тока

dLdI = 0 , динамический и статический коэффициенты самоиндукции

7. Работа и энергия магнитного поля

Магнитное поле обладает энергией и может совершать работу при перемещении проводников.

Элементарная работа магнитного поля dA = IdÔ ,

где: dA - элементарная работа магнитного поля, dÔ - изменение потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную проводником.

Если сила тока поддерживается постоянной, то работа магнитного поля равна

A = I∆Ô = I(Ô2 −Ô1 ) .

Если сила тока изменяется, то нужно интегрировать элементарную работу

Ô2

A = ∫ IdÔ .

Ô1

Работа внешних сил при перемещении проводника равна работе магнитного поля со знаком минус

A′ = −A

Проводник с током обладает энергией. Это энергия магнитного поля вокруг проводника, она может быть найдена как ( L = const )

W = LI22 .

71

Плотность энергии магнитного поля - это энергия магнитного поля в единице объема

где: µ0 - магнитная постоянная, µ - магнитная проницаемость среды.

8.Уравнения Максвелла

1)Первое уравнение Максвелла есть математическая формулировка закона электромагнитной индукции Фарадея

т.е. циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль произвольного замкнутого контура L равна скорости изменения потока магнитной индукции через поверхность S , ограниченную этим контуром, со знаком «минус».

Дифференциальная форма первого уравнения Максвелла

rotE = −∂∂Bt ,

т.е. ротор вектора напряженности электрического поля равен скорости изменения индукции магнитного поля со знаком «минус».

Физический смысл первого уравнения Максвелла. Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

2) Второе уравнение Максвелла есть обобщение на переменные поля закона Био-Савара-Лапласа

т.е. циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольного замкнутого контура L равна сумме тока проводимости и тока смещения через поверхность S , ограниченную этим контуром.

Ток проводимости и ток смещения

где: j - плотность тока проводимости, jñì = ∂∂Dt - плотность тока смещения.

72