лекцияТЭЦ_2частьИКТ_2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матрица A-параметров:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

1.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

99 /117

Аппроксимация рабочей передаточной функции по Баттерворту

Рабочая передаточная функция аппроксимируется полиномом Баттерворта в виде:

H 2 (W) =	1	=	1		.
	1+ e2j2 (W)			1+ e2W2n

С другой стороны модуль рабочей передаточной функции можно представить как:

H 2 (W) = H ( jW) H (- jW)

= H ( p ) H (- p )

p= jΩ

Таким образом:

H ( p ) H (- p ) =

, то есть H ( p) =

p 2n

e2V ( p)V (- p)

eV ( p)

1+ e

V ( p) – полином Гурвица.

Корни полинома Гурвица pk , располагающиеся в левой полуплоскости, определим из уравнения:

(-1) , - jpk =

1+ e2

= 0 , 1+ e2 (- jpk )

= 0 , - jpk = 2n

ej(2 k −1)π ,

(2k -1) p

- jpk

cos

+ jsin

, pk

-sin

+ jcos

n e

Аналитически рабочую передаточную функцию можно представить:

H ( p ) =	1	=	1		=	1	.
H ( p ) =	eV ( p)	=	n		=	e( p - p1 )( p - p2 )…( p - pn )	.
	eV ( p)		e∏( p	- pk )		e( p - p1 )( p - p2 )…( p - pn )
			k =1

Аналитическое выражение для частотной зависимости рабочей передаточной функции получаем заменой переменной p = jΩ .

H ( jW) =

, далее определим модуль:

H (W) =

H ( jW)

e∏( jW - pk )

k =1

Зная H (W) , получим аналитическое выражение для рабочего ослабления: A(W)=20 lg

[дБ].

H (W)

Аппроксимация частотных характеристик по Чебышёву

Функцию фильтрации представим в виде:

j(W) = eT (W) , где T (W) =

cos (n ×arccos (W)),

0 £ W £ 1

(n ×arch

(W)),

W > 1

– полином Чебышёва.

e = 100,1 A -1 – коэффициент неравномерности рабочего ослабления в полосе пропускания:

Рабочее ослабление определяется как: A(W) = 10 lg (1+ e2Tn2 (W)) .

T0 (W) = cos 0 = 1 , T1 (W) = cos (arccos (W)) = W , T2 (W) = cos (2 arccos (W)) = 2W2 -1 .

Так как T2 (W) = 2WT1 (W) -T0 (W) , то Tn+1 (W) = 2WTn (W) -Tn−1 (W)

– рекуррентная формула.

Вывод формулы для определения порядка фильтра Чебышёва:

A(W3 ) = 10 lg (1+ e2ch2 n ×arch (W3 )) ³ Amin .

После преобразований получим:

0,1A

arch

min

-1

n ³

arch (W3 )

Представим частотные характеристики рабочего ослабления

A, дБ

		n=4
Amin
DA
0	W2	W3	W

100 /117

A, дБ

		n=5
Amin
DA
0	W2	W3	W

Аппроксимация по Чебышёву получила название равноволновой.

Если n – чётное, то при Ω = 0 имеем максимум ослабления в полосе пропускания. Если n – нечётное, то при Ω = 0 имеем минимум ослабления в полосе пропускания. Частоты min и max в полосе пропускания определяются как:

maxm

= cos (m -1) p ,

m = 1, 2,

…, n +1 ,

minν

= cos (2n -1) p , n = 1, 2, …, n .

Если порядок фильтра n = 4 , то имеем: 2 частоты min, 3 частоты max.

= cos 0 = 1, W

= cos π =

» 0, 707 , W

= cos π = 0 , то есть (0; 0, 707; 1) .

max1

max

max3

Wmin

= cos π » 0,924 , Wmin = cos

p » 0, 383 , то есть (0, 383; 0, 924) .

Сформируем рабочую передаточную функцию:

H 2 (W) =

1+ e2j2 (W)

1+ e2T

(W)

1+ e2 cos2 n arccos W

С другой стороны модуль рабочей передаточной функции можно представить как:

H 2 (W) = H (W) H * (W) = H ( p ) H (- p ) p = jΩ .

Таким образом:

H ( p ) H (- p) =

, то есть

H ( p ) =

1+ e2 cos2 n arccos (- jp)

e2 22 (n−1)V ( p)V (- p)

e2n−1V ( p )

V ( p) – полином Гурвица.

Решая уравнение 1+ e2 cos2 n arccos (-jp ) = 0 , определим корни полинома Гурвица:

cos2 (n)×arccos (- jp ) = -

, cos (n) ×arccos (- jp ) =

, n arccos (- jp ) = arccos

p = jcos

×arccos

С учётом того, что arccos x = - jln (x + x2 -1) , получаем:

p = jcos

+ j

+1 ,

p = jcos

( j) + ln

(

)

ln (-1) -

ej(2k −1)π

p = jcos

, p = jcos -

(

2k -1) p

(

)

p = jcos

, так как ln

x +

x2 +1

= arshx , то получим:

(2k -1) p

pk = jcos

arsh

, далее введём обозначение j =

arsh

, отсюда:

101 /117

pk			(2k −1) π			(α + β) = cos α cos β + sin α sin β и cos jx		= chx ,
	= jcos		2n		− jϕ , так как cos

					sin jx = jshx .
	= j cos	(2k −1) π		chϕ + jsin (2k −1) π shϕ ,					.
pk							pk = −shϕ sin (2k −1) π + jchϕ cos (2k −1) π

			2n		2n		2n	2n

Аналитически рабочую передаточную функцию можно представить как:

H ( p ) =	1
H ( p ) =	n
	ε2n−1 ∏( p − pk )
	k =1

=	1	.
	ε2n−1 ( p − p1 )( p − p2 )…( p − pk )

H ( jΩ) =	1
H ( jΩ) =	n
	ε2n−1 ∏( jΩ − pk )
	k =1

		1

, далее определим модуль: H (Ω) =	H ( jΩ)	и A(Ω) = 20 lg		[дБ].
			H (Ω)

Реализация фильтров по Дарлингтону

Метод основан на формировании операторной функции входного сопротивления:

Zвх ( p) =

1− ρ ( p )

, где ρ ( p) – коэффициент отражения.

1+ ρ ( p )

При реализации фильтров по Дарлингтону

r1 = 1 .

Определим

коэффициент отражения из

соотношений:

ϕ2 ( p)

ρ2 ( p ) = 1− H 2 ( p ) = 1−

= ϕ2 ( p) H 2 ( p) , откуда ρ ( p) = ±ϕ( p ) H ( p) .

1+ ϕ2 ( p )

При аппроксимации по Баттерворту имеем:

ρ ( p) = ±εB ( p)

= ±

( p )

, где B ( p) = pn – полином Баттерворта.

εV ( p)

( p)

1− ρ ( p)

Bn ( p )

V ( p) Bn

( p)

Zвх ( p)

V ( p)

1+ ρ ( p )

1±

Bn ( p)

V ( p) ± Bn

( p )

V ( p )

При аппроксимации по Чебышёву имеем:

Tn ( p )

ρ ( p) = ±εT ( p)

= ±

ε2n−1V ( p)

2n−1V ( p)

Tn ( p) определяется по рекуррентной формуле Tn+1 (Ω) = 2ΩTn (Ω) − Tn−1 (Ω) заменой Ω → p , при этом все слагаемые берутся со знаком «+».

Например: T

(Ω) = 2Ω2

−1, то T

( p ) = 2 p2

+1 .

T ( p)

1− ρ ( p)

V ( p) 2n−1 Tn ( p)

Zвх ( p) =

2n−1V ( p )

1+ ρ ( p )

1±

Tn ( p)

V ( p ) 2n−1 ± Tn ( p)

2n−1V ( p)

Zвх ( p ) раскладываем в цепную дробь по Кауэру и строим нормированную схему фильтра.

			102	/117
Ускоренный метод реализации симметричных фильтров по Попову. Ускоренный
метод реализации антиметричных фильтров по Попову
Симметричный фильтр (n – нечётное).
Представим схему фильтра в виде двух каскадно-соединенных одинаковых
четырёхполюсников, при этом выполняются условия: r1 = r2			= 1 , Zвых1 = Zвх2 .
	r1
			r2
	E		r2
		ЧП1	ЧП2
		ЧП1	ЧП2

Zвых1 Zвх2

Достаточно сформировать функцию входного сопротивления Zвх2 ( p ) по найденной на этапе аппроксимации функции H ( p ) и реализовать только вторую (правую) половину фильтра. Левая

часть достраивается, исходя из условия симметрии. Порядок реализации:

1. Для каждой пары комплексно-сопряженных корней полинома Гурвица составляем элементарный сомножитель:

H k = ( p − pk ) ( p − pk* ) .

2. Сформируем полином M z ( p) как произведение элементарных сомножителей с нечётными индексами:

M z ( p) = H1H3 H5 …H2 k −1 .

3. Сформируем полином Nz ( p) как произведение элементарных сомножителей с чётными индексами:

Nz ( p) = H2 H4 H6 …H2k .

4. Составим функцию Zвх2 ( p ) :

Z		( p ) = k		M z ( p)	, где k		=	Nz (0)	.
			z Nz ( p )
	вх2					z		M z (0)

5.Разложим полученную функцию в цепную дробь по Кауэру и построим схему правой части.

6.Достроим левую часть фильтра, исходя из условия симметрии:

Zвых1 ( p) = Zвх2 ( p ) .

Можно получить дуальную схему фильтра, используя соотношение:

Z		( p ) = k		Nz ( p )	, где k		=	M z (0)	.
			z M z ( p)
	вх2					z		Nz (0)

Необходимо выбрать более экономичную схему (с меньшим числом индуктивностей). Ускоренный метод реализации антиметричных фильтров по Попову.

Антиметричный фильтр (n – чётное).

r =	1
r =	k
1	k
			r2=k
E			r2=k
		ЧП1	ЧП2

Zвых1 Zвх2

Необходимо выполнение условий:

103 /117

r r = 1, r = k , r =

; Z

= 1 , Z

= Y

вых1

вх2

1 2

вых1

Zвых1

Достаточно сформировать функцию входного сопротивления

Zвх2 ( p ) по найденной на этапе

аппроксимации функции T ( p)

и реализовать только вторую (правую) половину фильтра. Левая

часть достраивается, исходя из условия антиметрии. Порядок реализации:

1. По полученным корням полинома Гурвица определим:

M( p) + jN ( p ) = ( p − p1 )( p − p3 )…( p − p2k −1 ) , или M ( p) − jN ( p) = ( p − p2 )( p − p4 )…( p − p2 k ) .

2.Составим функцию Zвх2 ( p ) :

Zвх2 ( p) = M (( p)) .

N p

3. Разложим полученную функцию в цепную дробь по Кауэру и построим схему правой части. 4. Достроим левую часть фильтра, исходя из условия антиметрии:

Zвх2 ( p ) = Yвых1 ( p) .

Можно получить дуальную схему фильтра, используя соотношение:

Zвх2 ( p) = N ((p )) .

M p

Необходимо выбрать более экономичную схему (с меньшим числом индуктивностей).

Аппроксимация частотных характеристик дробями Золотарёва-Кауэра. Активные RC – фильтры

Когда требуется увеличить скорость нарастания ослабления в переходной области, фильтры Баттерворта и Чебышёва использовать нецелесообразно, поскольку при их реализации увеличивается число элементов.

В этих случаях используют фильтры, ослабление которых описывается:


Ap (Ω) = 10 lg	1		a Ω2n + a Ω2n−2		+…+ a	n
		0		1
		= 10 lg					.
	Hp2 (Ω)		(Ω∞2 1 − Ω2 )2	(Ω∞2 2 − Ω2 )2 …(Ω∞2 m − Ω2 )2

В качестве примера приведем схему ФНЧ Золотарёва-Кауэра пятого порядка:

Представим график частотной зависимости рабочего ослабления:

Ap
Amin
A		Ω∞4	Ω
0	Ω	Ω∞4	Ω
Ω	3	Ω
2		∞2

104 /117

Лекция 10 Активные RC – фильтры

Элементной базой ARC-фильтров являются: резисторы, конденсаторы и активные элементы. Активные элементы: ИНУН, ИТУТ, ИНУТ, ИТУН, операционные усилители ОУ.

Синтез ARC-фильтров проводят по их передаточной функции, записанной в операторной

форме: H ( p ) = U2 ( p) ,

U1 ( p)

где U2 ( p) и U1 ( p) – соответственно выходное и входное операторные напряжения.

Передаточные функции фильтров имеют вид дробно-рациональной функции комплексного

переменного p: H ( p ) = W (( p)) ,

V p

где W ( p ) – чётный или нечётный полином; V ( p) –

полином Гурвица.

ARC-фильтры на базе ИНУН и ОУ

Уравнения, определяющие ИНУН:

U2 = kU1 ;

¹ ¥ ; I1 = 0 , Z вх = ¥ , Z вых

= 0 .

k > 0 – неинвертирующий усилитель, k < 0 – инвертирующий.

±k

±kU1

Уравнения, определяющие ОУ:

U2 = mU1 ; μ = ∞ ; Z вх = ¥ ; Z вых = 0 .

Условное обозначение операционного усилителя (ОУ):

+		+		+			+
	+	+		+			+
						±m(U’ -U’’ )


			U2		1		1	U2
U’	U’’		U2	U’	U’’			U2
1	1			1	1
-	-			-			-
-	-			-			-

ARC фильтры второго порядка

Рассмотрим схему активного ФНЧ второго порядка на базе ИНУН.

R2 a

U1( p)

U2( p)

+ pC2

= 0 ,

+ pC1

= U1

+U2 pC1

Коэффициент усиления определяется как: k = U2 (( p)) .

Va p

Операторное выражение для передаточной функции:

H ( p ) =	U2	( p )	=	k	.
	U1	( p)		R1R2C1C2 p2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 - kR1C1 ) p +1

105 /117

Введём обозначения:

= 1, b1 = R1C1 + R2C2 + R1C2 - kR1C1 , b2

= R1R2C1C2 , тогда:

H ( p) =

b p

2 + b p + b

Основные характеристики ARC ФНЧ второго порядка:

b0b2

Q =

–

добротность полюса; w =

–

частота полюса (резонансная).

Классическая чувствительность: SxW ( p, x) =

, где

W ( p )

W ( p, x) – функция цепи (добротность полюса, частота полюса),

x –

параметр, влияющий на функцию цепи (ёмкость, сопротивление, коэффициент усиления).

Например, определим чувствительность частоты полюса при изменении параметра R1

и k.

SRω0 =

, Skω0 =

= -

= 0 .

R R C C

1 2 1 2

Рассмотрим схему активного ФВЧ второго порядка на базе ИНУН.

U2( p)

U ( p)

+ pC2 )Vb ( p) - pC2Va ( p ) = U1 ( p) pC1 +U2 ( p)G1 .

(G2 + pC2 )Va ( p ) - pC2Vb ( p) = 0 , (G1 + pC1

( p)

Определим операторную передаточную функцию с учётом того, что k =

( p)

( p )

H ( p )

p2 + (G1C1−1 + G2C2−1 + G2C1−1 - kG1C1−1 ) p + G1G2C1−1C2−1

( p)

Введём обозначения:

c = k , a = G G C −1C −1 ,

a = G C

−1

+ G C −1

- kG C−1

a =1, тогда H ( p) =

c1 p

+ a p + a

1 2 1

1 1

2 2

2 1

1 1

Резонаторные фильтры (пьезоэлектрические, магнитострикционные, электромеханические)

Резонаторные фильтры в отличие от LC-фильтров имеют очень высокую добротность, избирательность.

В пьезоэлектрических фильтрах роль резонатора выполняет пластинка из материала, обладающего пьезоэлектрическим эффектом (кристалл кварца). Пьезоэффект кварцевой пластинки заключается в появлении на её поверхности зарядов при механическом воздействии. Обратный пьезоэффект – возникновение механических колебаний пластинки при помещении её в переменное электрическое поле.

При совпадении частоты механических колебаний и частоты переменного напряжения возникает резонанс, амплитуда тока достигает максимального значения.

Механический резонанс в кварцевой пластинке подобен резонансу напряжений в последовательном колебательном контуре.

106 /117

L C

Q=10000...20000

Ck – ёмкость кварцедержателя.

Магнитострикционные фильтры строятся на основе резонаторов из ферромагнитного материала, обладающего магнитострикционным эффектом (сплав никеля с кобальтом). Магнитострикционный эффект состоит в том, что стержень из ферромагнетика, помещенный в переменное магнитное поле, изменяет свои геометрические размеры. Обратный эффект – изменение магнитной проницаемости стержня при механическом воздействии на него.

Механический резонанс магнитострикционного стержня подобен резонансу токов в параллельном колебательном контуре.

L0 L

Q=5000...10000

Пьезоэлектрические и магнитострикционные фильтры строятся по мостовой схеме.

В электромеханических фильтрах резонаторами являются металлические тела (диски, пластинки, стержни), соединенные металлическими связками. Представим трехрезонаторный стержневой электромеханический фильтр.

	Стержни
МСП1			МСП2
NS	Связки		SN
NS			SN

вход		выход
вход		выход

Колебания возбуждаются с помощью МСП1; снимаются колебания с выхода с помощью МСП2.

Имитационные фильтры

В фильтрах данного типа имитируется индуктивность с помощью гиратора – необратимого четырёхполюсника, описываемого уравнениями:

U 1 = I 2 RГ , I1 = U 2GГ .

Гиратор

Входное сопротивление:

( p )

( p) RГ

Zвх ( p ) =

= pL =

= RГ2 pC .

( p )

( p )GГ

Отсюда видно, что L = RГ2C .

Использование гираторов с большим значением RГ позволяет из небольших ёмкостей моделировать большие значения индуктивности. Важным свойством гиратора является то, что он не потребляет энергию цепи, то есть ведет себя как пассивный элемент без потерь.

Анализируя схемы реактивных фильтров, видно, что встречаются индуктивности двух типов: 1. «заземлённая» индуктивность – один из её выводов подключен к общему зажиму.

107 /117 2. «незаземлённая» индуктивность – ни один из её выводов не подключен к общему проводнику.

По предыдущей схеме видно, что более просто имитируется «заземлённая» индуктивность. Для имитации «незаземлённой» индуктивности используется цепь с двумя гираторами.

Гиратор

Представим схемы имитационных фильтров нижних и верхних частот:

Схема ФНЧ

Гиратор

Схема ФВЧ

Гиратор

Корректирование амплитудно-частотных искажений

Искажение сигнала – изменение его формы на выходе цепи по сравнению с формой сигнала на входе цепи.

Амплитудно-частотные искажения связаны с непостоянством АЧХ.

		T(ω)
		1
uвх(t)	ЛЭЦ	uвых(t)
		0	ω1	2ω1	ω
	uвх(t)			uвых(t)
		сигнал		сигнал
		сигнал

A(ω)


0 ω1 2ω1			ω

108 /117

Для устранения амплитудно-частотных искажений применяют амплитудный корректор – четырёхполюсник, включаемый каскадно в цепь с целью дополнения АЧХ до постоянной величины.

Цепь

Hц (w) =

2U2

Цепь

Корректор

U’2

Zвх=R2

H0 (w) =

Hк (w) =

A0 (w) =

2U2¢

2U2

U2¢

= Hц (w) Hк (w)

(w) =

E R2

U′

2 – коэффициент передачи корректора.

	1		1	1			A0 (w) = 20 lg	1		1	= Aц(w) + Aк(w) .
20 lg		= 20 lg		×		,			+20 lg
	H0 (w)		Hц (w)		Hк (w)			Hц(w)		Hк(w)

A(ω)

A0(w)


0 w1		w2 w

Амплитудные корректоры первого порядка

Первый тип корректора

Z11

Z22

= R2 .

Реактивные сопротивления дуальные: Z

Определим входное сопротивление:

= Z

+ Z

)(Z

+ R )

= R , где

R Z

вх

Z11

+ Z 22 + Z 2 + R0

+ 2R0

Z1 + 2R0

Определим передаточную функцию:

H к (w) =

(w)

(Z 22 + Z 2 ) R0

или H

к ( p) =

U 1

(w)

Z вх (Z11 + Z 22 + Z 2 + R0 )

R0 + Z1

( p)

Определим ослабление, вносимое корректором:

Aк (w) =

= 20 lg

20 lg

(w)

Зная поведение Z1 на разных частотах, можно определить частотную зависимость ослабления.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.201970.66 Кб1Лекция 9. ПетрI и просвещенный абсолютизм.doc
#
14.11.201886.02 Кб5Лекция 9.doc
#
21.11.2018724.48 Кб4Лекция на 11.doc
#
26.09.20191.28 Mб6Лекция_практика_Visual Foxpro.doc
#
10.06.20151.81 Mб9лекцияТЭЦ_2частьИКТ_1.pdf
#
10.06.20151.06 Mб15лекцияТЭЦ_2частьИКТ_2.pdf
#
28.08.2019175.69 Кб6Лиманский.docx
#
10.06.2015562.3 Кб10Линейные массивы.pdf
#
17.04.2019105.47 Кб7лк_17_18_19.doc
#
10.06.201519.94 Mб159ЛК_МашЗавЯП_А4.doc
#
03.09.201944.74 Кб10Логистика.docx