KR_tets

этих частотах рабочее ослабление А должно быть равно нулю и не превышать

А =2 дБ, а на частоте равной Ω3 = 2и более должно быть не менее Amin =15 дБ соответственно. Убедимся в этом:

в) Ω3 =2

что > Amin =15 дБ.

Пример 3.2 Выполнить аппроксимацию по Баттерворту рабочей

передаточной функции Т(р) и функции рабочего ослабления А(Ω) для ФНЧ - прототипа заданного ФВЧ со следующими техническими требованиями:

Рис.3.2 Характеристика технических требований фильтра верхних частот а), характеристика фильтра прототипа нижних частот б).

2. Найдем квадрат модуля функции фильтрации (3.1), (3.2), (3.3):

3. Определим корни полинома V(p) и функции Т(р), лежащие в левой полуплоскости (3.6):

р3 = −1,1586;

4. Далее формируем искомые функции Т(р) (3.7) и А(Ω ) (3.8):

1 ε

T( p ) = (p − p1 )(p − p2 )(p − p3 )(p − p4 )(p − p5 ) = 10,479

= (р2 + 0,716 р + 1,3421)×

1 × (р2 + 1,8746 р + 1,3423)(р + 1,1586)

А(ΩР )= 20lg0,479 [(1,3421 − Ω р2 )2 + 0,7162 Ω р2 ]

×[(1,3424 − Ω р2 )2 + 1,87462 Ω 2 ](1,15862 + Ω 2 ).

5.Выполним проверку аппроксимированной функции А(Ω р ) на частотах

Ω р1 = 0 ,Ω р2 = 1и Ω р3 = 2:

а)Ω р1 = 0

А(0)= 20lg 0,479 1,3421 1,3423 1,1586 = 20lg 0,999 = 0;б)Ω р2 = 1,

3.2.Аппроксимация по Чебышеву

При выборе полинома Чебышева в качестве аппроксимирующего функция фильтрации определяется выражением:

ϕ(jΩ )2 = ε 2 Рn2 (Ω ), где ε вычисляется по формуле (3.2),

-полином Чебышева, n -порядок полинома Чебышева (порядок фильтра):

Из (3.10) при n=1 имеем, P1(Ω)= Ω при n=2 Р2 (Ω )= 2Ω 2 − 1, а при n≥3 можно воспользоваться рекуррентной формулой:

ослабления имеет вид: А = 10lg(1 + ε 2 Pn2 (Ω )), которой соответствует графики, показанные на рис.3.3а. Аппроксимация по Чебышеву получила название равноволновой. Число экстремумов в ПП, включая граничные частоты, зависит от технических требований к фильтру и равно n + 1.

Подобны зависимостям рис.3.3, а в ПП характеристики А(Ω) фильтров Золотарева-Кауэра, имеющие колебательный характер в ПН (рис.3.3б, на

котором Аs - гарантированное рабочее ослабление в ПН для Ω > Ωs ). Используя в качестве аппроксимирующих функций дроби Чебышева,

Следует отметить, что аппроксимация по Чебышеву (Золотареву-Кауэру) дает большую крутизну нарастания характеристики рабочего ослабления, чем аппроксимация по Баттерворту (и другим видам, рассмотренным в предыдущем

параграфе), проигрывая при этом в линейности фазовой характеристики В(Ω ) (см. рис. 3.4 а).

а)

б)

Рис.3.3 Характеристики фильтров Чебышева для различного порядка а), характеристика фильтра Золотарёва – Кауэра б).

Оценку линейности В(Ω ) удобно производить с помощью группового времени запаздывания (ГВЗ), определяемого первой производной рабочей фазы по частоте:

Зависимости ГВЗ t(Ω ) фильтров Баттерворта (1) и Чебышева (2) показаны на рис.3.4 б. Постоянство t(Ω ) свидетельствует о линейности В(Ω ).Если В(Ω ) - линейна, то t(Ω ) = сonst .

Рис.3.4 Характеристика зависимости рабочей фазы а), характеристики зависимости группового времени запаздывания б).

Для формирования рабочей передаточной функции по Чебышеву поступаем аналогично выше изложенному (см. раздел 3.1):

соответственно.

Пример 3.3 Выполнить аппроксимацию по Чебышеву рабочей

передаточной функции Т(р) и функции рабочего ослабления А(Ω р ) для ФНЧ - прототипа ПФ со следующими техническими требованиями: А = 1,1 дБ, f2 =

14,43 кГц,, f3 =20 кГц, f3’ = 5 кГц, Amin = 28 дБ, R2 = 800 Ом.

1.Перейдем от технических требований к ПФ к техническим требованиям к ФНЧ-прототипу и выполним нормирование по частоте (3.5).

а) б)

Рис.3.5 Характеристики технических требований полосового фильтра а), характеристики технических требований ФНЧ – прототипа б).

С использованием соотношений (2.4) (2.7) найдем:

возьмем n = 4 .

ArchX = ln( X + X 2 − 1 )

Для n = 4 (см. рекуррентную формулу (3.12)):

ϕ(jΩ )2 = 0,5372 (8ΩР4 − 8ΩР2 + 1)2 .

3.Рассчитаем корни полинома знаменателя V(p) функции Т(р) (3.14).

pk = −shϕ sin 2k − 1π 2n

р1 = −0,1347 + j0,9793 р2 = −0,3252 + j0,4056 р3 = −0,3252 − j0,4056

р4 = −0,1347 − j0,9793

4. Окончательно получим с помощью (3.15) и (3.8):

+j0,7084Ω р + 0,2641 =20lg 4,296 ×

×(Ω р4 − 1,4227Ω р2 + 0,2641)2 + (0,7084Ω р − 0,9188Ω р3 )2

5. Проверим полученное выражение A(Ωp) на частотах Ωр1 = 0, Ωр2 =1, и Ωр3 =2. Согласно рис. 3.3 а рабочее ослабление А на первых двух частотах должно

быть равно A = 1,1дБ , а на последней ≥ Аmin = 28 . Убедимся в этом: а) Ω р1 = 0

А(0)= 20lg 4,296 0,2641= 1,0978 ≈ 1,1дБ;

б) Ω р2 = 1

А(1)= 20lg 4,296

(1 − 0,4227 + 0,2641)2 + (0,7084 − 0,9188)2 =

= 1,086 ≈ 1,1дБ

A(2)= 20lg 4,296

(24 − 1,4227 22 + 0,2641)2 + (0,7084 2 − 0,9188 23 )2 =

в)Ω р3 = 2 = 34,3дБ > Amin

3.3.Алгоритм выполнения этапа аппроксимации

1.Выбираем аппроксимирующую функцию ϕ(jΩ )2 требуемого вида ((3.1)

-по Баттерворту и (3.9) - по Чебышеву).

2.Рассчитываем коэффициент неравномерности ε (3.2) и порядок фильтра

n (nБ по (3.3) и nч по (3.11)).

3.Найдём корни pk полинома V(p) знаменателя передаточной функции T(p) по (3.6) или (3.14).

4.Формируем искомые функции T(p) и А(Ω) по соотношениям (3.7) или (3.15) и (3.8).

В

Оглавление

4. Реализация схемы фильтра ФНЧ

На данном этапе по найденной ранее функции Т( p ) необходимо получить схему ФНЧ (ФНЧ-прототипа).

Существует несколько способов реализации электрических фильтров: по Дарглинтону, ускоренный метод реализации симметричных и антиметричных фильтров Попова П. А. [6], реализация по каталогу нормированных схем,

реализации основаны на формировании функции ZВХ( p ) по Т( p ). Тогда получение схемы нагруженного фильтра можно свести к реализации

двухполюсника путем разложения функции ZВХ( p ) в цепную дробь (по Кауэру).

В

Оглавление

4.1.Реализация по Дарлингтону

Сформируем функцию ZВХ( p ) для схемы 1.1, используя полученную на

этапе аппроксимации функцию Т( p ). Принимая во внимание, что при реализации по Дарлингтону в нормированных схемах r1 = 1, из (1.5) следует:

Для определения коэффициента отражения ρ( p ) воспользуемся соотношениями (1.9) и (1.10):

2. Составим ZВХ ( p ),выбирая знак “-“ функции ρ( p ) по (4.4)

3. Разложим функцию ZВХ ( p ) в цепную дробь (по Кауэру).

1,308 |1 → r2

0

Полученной функции ZВХ ( p ) соответствует нормированная схема рис.4.1.

Рис.4.1 Схема ФНЧ – прототипа третьего порядка.

4.Если выбрать знак “+” у функции ρ( p ), то получим дуальную схему фильтра, которой соответствует схема рис.4.2

Рис.4.2 Второй вариант реализации схемы ФНЧ – прототипа третьего порядка. Пример 4.2. Реализовать методом Дарлингтона схему ФНЧ - прототипа по

полученной в примере 3.3 функции Т( p ), аппроксимированной по Чебышеву.

1. Сформируем коэффициент отражения ρ( p ) по (4.3)

2. Составим ZВХ ( p ), выбирая знак “ - “ у функции ρ( p ) по (4.5)