Задача 4
2
Z = x - 2xy + 5y – 3
Найдем координаты критических точек. Для этого
нужно найти частные производные Z , Z
x y
и приравнять их к нулю.
Z = 2x - 2y
x
Z = - 2x + 5
y
┌
│2x - 2y = 0
<
│ - 2x + 5 = 0
└
Откуда
x = 5/2, y = 5/2
Точка M(5/2; 5/2) является критической точкой
Вычислим
┌ ┐2
K(M) = Z (M)∙Z (M) - │Z (M)│ = -4
xx yy └ xy ┘
Так как K(M)<0 , то Z(x,y) экстремумов не имеет
Задача 5.1
┌
│ -8 -2
│[567( - 9x + 6) - 35cos(7x + 9) + 36cos (6x + 2)+
┘
2 -0.5 2 -1
+2(16 - x ) + 35(49 + x ) + 30ctg(6x - 7)]dx =
-7
= 9( - 9x + 6) - 5sin(7x + 9) + 6tg(6x + 2)+
+ 2arcsin(x/4) + 5arctg(x/7) + 5Ln│sin(6x - 7)│ + C
Задача 5.2
┌
│ - 2x - 1
│──────────── dx =
│ 2
┘ x - 2x + 9
┌
│ -1(2x - 2)+(-3)
= │──────────── dx =
│ 2
┘ x - 2x + 9
┌
│ 2x - 2
= -│──────────── dx -
│ 2
┘ x - 2x + 9
┌
│ dx
-3│──────────── =
│ 2
┘ x - 2x + 9
┌ 2
│ d(x - 2x + 9)
= -│─────────────── -
│ 2
┘ x - 2x + 9
┌
│ d(x-1)
-3│──────────── =
│ 2
┘(x - 1) + 8
2 3 x -1
= -Ln(x - 2x + 9) - ─── arctg ────── + C
___ ___
√8 √8
Задача 5.3
┌ 2
│ 15x - 28x - 123
│───────────────────── dx =
│ 3 2
┘ x - 4x - 39x + 126
┌
│┌ 5 8 2 ┐
= ││ ───── + ───── + ───── │ dx =
│└ x + 6 x - 7 x - 3 ┘
┘
┌ ┌ ┌
│ dx │ dx │ dx
= 5│───── + 8│───── + 2│───── dx =
│x + 6 │x - 7 │x - 3
┘ ┘ ┘
= 5Ln│x + 6│ +8Ln│x - 7│ +2Ln│x - 3│ + C
Задача 6
5
┌
│ 2x - 6
│[14(3x - 1)∙7 + 2( - 7x - 8)∙sin(x + 6)]dx =
┘
-5
5 5
┌ ┌
7 │ 2x - 6 │
───│(3x - 1)d(7 ) - 2│( - 7x - 8)d(cos(x + 6)) =
Ln7┘ ┘
-5 -5
5
┌
7 2x - 6│5 21 │ 2x - 6
───(3x - 1)∙7 │ - ───│7 dx -
Ln7 │-5 Ln7┘
-5
5
┌
│5 │
-2( - 7x - 8)cos(x + 6)│ - 14│cos(x + 6)dx =
│-5 ┘
-5
4 -16 4 -16 2
[ 14∙7 - 16∙7 ]/Ln7 - (21/2)[ 7 - 7 ]/Ln 7-
14
-2[ -43cos(11)-27cos(1) ] - ────[sin(11)-sin(1)]
1