
- •Волжская государственная академия
- •Примеры решения задач
- •Модуль скорости v1определим из закона сохранения энергии:
- •Часть 2. Молекулярная физика. Термодинамика. Основные формулы
- •Примеры решения задач.
- •Часть 3. Электростатика. Постоянный электрический ток. Основные формулы.
- •Примеры решения задач.
- •Электромагнетизм. Основные формулы.
- •Пример.5
- •Используя найденные выражения для в2 и в3, получим:
- •Пример. 17
- •Основные формулы
- •Физика твердого тела.
- •Контрольная работа
- •Вариант №0.
- •Вариант № 1.
- •Вариант № 2.
- •Вариант № 3.
- •Вариант № 4.
- •Вариант № 5.
- •Вариант № 6.
- •Вариатн № 7.
- •Вариант № 8.
- •Вариант № 9.
Физика твердого тела.
Основные формулы.
Боровская теория водородоподобного атома.
Момент импульса (второй постулат Бора):
Lп = ћ п, или m υп rп = ћ п,
Где m – масса электрона; υп – скорость электрона на п-й орбите; rп – радиус п-й стационарной орбиты; ћ – постоянная Планка; п – главное квантовое число (п = 1,2,3, ......).
Радиус п-й стационарный орбиты:
rп = а0 п2,
где а0 – первый боровский радиус.
Энергия электрона в атоме водорода:
Еп = Еi /п2,
Где Еi – энергия ионизации атома водорода.
Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода,
е = ћ ω = Еп2 – Еп1,
или
е
= Еi
(1/п-1/п
),
где п1 и п2 – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.
Спектроскопическое волновое число:
=
1/
= R (1/п
-1/п
),
где
- длина волны излучения или поглощения
атомом; R – постоянная Ридберга.
Волновые свойства частиц.
Длина волны де Бройля
=
2π ћ/р,
где р – импульс частицы.
Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Т:
А)
р = m0
υ; р =
;
Б)
р = m υ =
;
р =
,
Где m0 – масса покоя частицы; m – релятивистская масса; υ – скорость света в вакууме; Е0 – энергия покоя частицы (Е0 = m0 с2).
Соотношение неопределенностей:
Δ рх Δх ≥ ћ (для координаты и импульса),
Где Δ рх – неопределенность проекции импульса на ось Х; Δх – неопределенность координаты;
ΔЕ Δt ≥ ћ (для энергии и времени),
Где ΔЕ – неопределенность энергии; Δt – время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.
Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний:
(Е
– U) φ (х) = 0,
где φ (х) – волновая функция, описывающая состояние частицы; m – масса частицы; Е – полная энергия; U = U (х) – потенциальная энергия частицы.
Плотность вероятности
=
|φ
(х)|2,
где d w (х) – вероятность того , что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х на участке d х.
Вероятность обнаружения частицы в интервале от х1 до х2:
W
=
|φ
(х)|2 d
х..
Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:
φп (х) =
.(собственная нормированная волновая функция);
Еп =
(собственное значение энергии),
Где п – квантовое число (п = 1,2,3,...); l – ширина ящика. В области
0 ≤ х ≤ l U = ∞ и φ (х) = 0.
Атомное ядро. Радиоактивность.
Массовое число ядра (число нуклонов в ядре):
А = Z + N,
Где Z – зарядовое число (число протонов); N – число нейронов.
Закон радиоактивного распада:
dN
= -
Ndt,
или N = N0е-
.
Где
dN
– число ядер, распадающихся за интервал
времени dt;
N – число ядер, не распавшихся к моменту
времени t;
N0
– число ядер в начальный момент (t
= 0);
- постоянная радиоактивного распада.
Число ядер, распавшихся за время t,
Δ
N = N0
– N = N0
(1 – е-)/
В случае, если интервал времени Δ t, за которой определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада Т1/2, то число распавшихся ядер можно определить по формуле:
Δ
N =
N Δt.
Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада:
Т1/2
= (l п 2)/
= 0,693/
.
Среднее время τ жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число не распавшихся ядер уменьшается в е раз,
τ
= 1/.
Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,
N = m Nа/М,
Где m – масса изотопа; М – молярная масса; Nа – постоянная Авогадро.
Активность А радиоактивного изотопа:
А
= - d
N/ dt
=
N, или А =
N0е-
=
А0е-
,
Где d N – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; А0 – активность изотопа в начальный момент времени.
Удельная активность изотопа:
а = А / m.
Дефект массы ядра:
Δ m = Ζmр + (А – Ζ) mп – mя,
Где Ζ – зарядовое число (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре); (А – Ζ) – число нейтронов в ядре; mр- масса протона; mп – масса нейтрона; mя – масса ядра.
Энергия связи ядра:
Есв = Δ mс2,
Где Δ m – дефект массы ядра; с – скорость света в вакууме.
Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна Есв = 931 Δ m, где дефект массы Δ m – в а. е. м.; 931- коэффициент пропорциональности (1 а.е.м. ~ 931 МэВ).
Теплоемкость кристалла.
Средняя энергия квантового одномерного осциллятора:
=
+
,
где
-
нулевая энергия (
=
1/2
); ћ – постоянная Планка; ω – круговая
частота колебаний осциллятора; k –
постоянная Больцмана; Т – термодинамическая
температура.
Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов,
Um
= U0m
+ 3 RΘЕ
/ (-1),
Где R – молярная газовая постоянная; ΘЕ - ћ ω/ k – характеристическая температура Эйнштейна; U0m = 2/3 RΘЕ - молярная нулевая энергия (по Эйнштейну).
Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)
Сm
=
R
= 234 R
(Т « ΘD).
Теплота, необходимая для нагревания тела,
Q
=
Сm
dТ,
Где m – масса тела; М – молярная масса; Т1 и Т2 – начальная и конечная температура тела.
Элементы квантовой статистики.
Распределение свободных электронов в металле по энергиям при О К:
dп(е)
=
е1|2
dе,
где dп(е) – концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от е до е + dе; m – масса электрона. Это выражение справедливо при е < еF (где еF – энергия или уровень Ферми).
Энергия Ферми в металле при т = 0 К:
еF = ћ2/2m * (3π2 п)2/3,
где п – концентрация электронов в металле.
Полупроводники.
Удельная проводимость собственных полупроводников:
γ = γ0 ехр (-ΔЕ /2kТ),
где ΔЕ – ширина запрещенной зоны; γ0 – константа.
Сила тока в р-п- переходе
I = I0 [е х р (е U/ kТ)- 1],
Где I0 – предельное значение силы обратного тока; U – внешние напряжение, приложение к р-п- переходу.
Контактные и термоэлектрические явления.
Внутренняя контактная разность потенциалов:
U12
=
,
где еF1 и еF2 – энергия Ферми соответственно для первого и второго металлов; е – заряд электрона.
Приложение №2.
Ядерная физика.
Основные формулы.
1. Ослабление потока излучения при прохождении слоя вещества толщины d
описывается формулой J = J0 l-δnd, где J0 – интенсивность потока до прохождения; J – интенсивность потока прохождения вещества; δ – эффективное сечение взаимодействия излучения с атомами вещества;
п – концентрация атомов вещества; d – толщина слоя вещества.
2. Величина Р = δnd есть вероятность взаимодействия излучения с атомами вещества.
Число атомов вещества, содержащихся в массе m, равно N =
N,
Где μ – молекулярная масса; NА – число Авогадро. При расчете концентрацию п удобно выражать через плотность вещества ρ:
п
= ρ
.
Коэффициент размножения К – это среднее число последующих делений, вызываемых вторичными нейтронами, которые возникают при делении каждого ядра. При К < 1, К = 1, К > 1 мощность реакции реактора соответственно уменьшается, остается постоянной, возрастает.
Примеры решения задач.
Пример 1.
Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. определить энергию испущенного при этом фотона.
Решение.
Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:
1/
λ = RZ2
(1п-1/п
),
(1)
где λ – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); п1 – номер орбиты, на которую перешел электрон; п2 – номер орбиты, с которой перешел электрон (п1 и п2 – главные квантовые числа).
Энергия фотона е выражается формулой:
е = hc/λ.
Поэтому, умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для энергии фотона:
е
= R hc Z2
(1п-1/п
),
Так как R hc есть энергия ионизации Еi атома водорода, то :
е
= Еi
Z2
(1п-1/п
).
Вычисления выполним во внесистемных единицах: Еi = 13,6 эВ; Z = 1; п1 = 2; п2 = 4:
е
= 13,6 * 12
()эВ
= 13,6*3/16 эВ = 2,55 эВ.
Пример 2.
Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для случаев: 1) U1 = 51 В; 2) U2 = 510 кВ.
Решение.
Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой:
λ. = h/р, (1)
где h – постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы)
В нерелятивистском случае:
р
=
, (2)
где m0 – масса покоя частицы.
В релятивистском случае:
р
=
, (3)
где Е0 = m0 с2 – энергия покоя частицы.
Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:
в
нерелятивном случае λ =
, (4)
в
релятивистском случае λ =
(5)
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,
Т = е U.
В первом случае Т1 = е U = 51 эВ = 0,51*10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е0 = m0 с2 = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Т1 = 10-4 m0 с2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде:
λ
=
=
.
Учитывая, что λ. / m0 с есть комптоновская длина волны Λ, получаем:
λ
1 = 102
Λ/.
Так как Λ = 2,43 пм , то
λ
1 = 102*
2,43 /пм
= 171 пм.
Во втором случае кинетическая энергия Т2 = е U2 = 510 кэВ = 0,51 МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что Т2 = 0,51 МэВ = m0 с2 , по формуле (5) находим:
λ
2 =
,
или
λ
2 = Λ/.
Подставим значение Λ и произведем вычисления:
λ
2 = 2,43 /пм = 1,40 пм.
Пример 3.
Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка Т = 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.
Решение.
Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид:
Δх
Δрх
≥
,
(1)
Где
Δх – неопределенность координаты
частицы (в данном случае электрона); Δрх
– неопределенность импульса частицы
(электрона);
= постоянная Планка.
Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью
Δх = l /2.
Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде:
(l
/2) Δрх
≥
,
откуда
l
≥ 2/
Δрх
(2)
Физически
разумная неопределенность импульса
Δрх
во всяком случае не должна превышать
значения самого импульса рх
, т.е. Δрх
≤ рх
. импульс рх
связан с кинетической энергией Т
соотношением рх
=
mТ.
Заменим Δрх
значением
mТ
(такая замена не увеличит l). Переходя
от неравенства к равенству, получаем:
lmin
= 2/
mТ
(3)
Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:
1с
=
1с
= 1м.
найденная единица является единицей длины.
Произведем вычисления:
lmin
=
м
= 1,24 * 10-10
м = 124 нм.
Пример 4.
Волновая
функция
φ(х)
=
l = sin
х
описывает основные состояние частицы
в бесконечно глубоком прямоугольном
ящике шириной l . вычислить вероятность
нахождение частицы в малом интервале
Δ l = 0,01 l в двух случаях: 1) вблизи стенки
0 ≤ х ≤ Δ l; 2) в средней части ящика
(
).
Рис. 64
Решение.
Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dх (от х до х + dх), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна
dw = |φ(х)|2 dх.
В первом случае искомая вероятность найдется интегрированием в пределах от 0 до 0,01 l :
w
=
sin2
хdх.
Знак модуля опущен, так как φ – функция в данном случае не является комплексной.
Так как х изменяется в интервале 0 ≤ х ≤ 0,01 l и, следовательно, πх/ l « 1, справедливо приближенное равенство:
sin2
х
≈
.
С учетом этого выражение (1) примет вид:
w
=
dх
=
х2
dх.
После интегрирования получим:
w
=
*10-6
= 6,6 *10-6
Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (Δ l = 0,01 l) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением:
w = |φ(l/2)|2 Δ l,
или
w
=
(sin
)2
Δ l =
*0,01
l = 0,02.
Пример 5.
Вычислить
дефект массы и энергию связи ядра
.
Решение.
Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Δm и разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.
Δm = Zmр + (А – Z) mп – mя , (1)
Где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); mр, mп , mя - соответственно массы протона, нейтрона и ядра.
В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так чтобы в нее входила масса mя нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: mа = mя + Z mе , откуда
mя = mа - Z mе. (2)
выразив в равенстве (1) массу ядру по формуле (2), получаем
Δm = Zmр + (А – Z) mп - mа + Z mе,
Или Δm = Z(mр + mе) + (А – Z) mп – mа.
Замечая, что mр + mе = mн , где mн – масса атома водорода, окончательно находим :
Δm = Zmн + (А – Z) mп – mа. (3)
Подставим в выражение (3) числовые значения масс получим:
Δm = [3*1,00783+(7-3)*1,00867-7*0,1601] а.е.м. = 0,04216 а.е.м.
В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии:
Е = с2 Δm, Где с –скорость света в вакууме.
Коэффициент пропорциональности с2 может быть выражен двояко:
с2 = 9*1016 м2 /с2 , или с2 = ΔЕ / Δm = 9*1016 Дж /кг.
если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то с2 = 931 МэВ/а.е.м. С учетом этого формула (4) примет вид:
Е = 931 Δm (МэВ). (5)
Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим
Е = 931 * 0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.
Пример 6.
При
соударении α – частица с ядром бора
В
произошла ядерная реакция, в результате
которой образовалось два новых ядра.
Одним из этих ядер было ядро атома
водорода
Н.
Определить порядковый номер и массовое
число второго ядра, дать символическую
запись ядерной реакции и определить ее
энергетический эффект.
Решение.
Обозначим
неизвестное ядро символом
Х.
Так как α – частица представляет собой
ядро гелия
Не,
запись реакции имеет вид:
Не
+
В
→
Н
+
Х.
Применив
закон сохранения числа нуклонов, получим
уравнение 4+ 10 = 1 + А, откуда А = 13. Применив
закон сохранения заряда, получим
уравнение 2 + 5 = 1 + Z, откуда Z = 6. Следовательно,
неизвестное ядро является ядром атома
изотопа углерода
С.
Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:
Не
+
В→
Н
+
С.
Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле:
Q = 931[(mНе +mВ) – (mН +mС)].
Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможности такой замены вытекает из следующих соображений.
Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.
Очевидно, что при вычитании суммы масс нетральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов в расчетную формулу, получим:
Q = 931 (4,00260 + 10,01294) – (1,00783 + 13,00335) МэВ = 4,06МэВ.
Пример 7.
Определить начальную активность А0 радиоактивного препарата магния 27Мg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6ч. Период полураспада Т1/2 магния считать известным
Решение.
Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:
А = - dN / dt, (1)
Значек «-» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.
Для того чтобы найти dN/dt, воспользуемся законом радиоактивного распада:
N = N0е-λt (2)
Где N – число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент t; N0 – число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный
(t = 0); λ – постоянная радиоактивного распада.
Про дифференцируем выражение (2) по времени:
dN / dt = - λ N0е-λt, (3)
Исключив из формул (1) и (3) dN / dt, находим активность препарата в момент времени t:
А = λ N0е-λt. (4)
Начальную активность А0 препарата получим при t = 0:
А0 = λ N0е (5)
Постоянная радиоактивного распада λ связана с периодом полураспада Т1/2 соотношением:
λ = (ln 2) / Т1/2. (6)
Число N0 радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро NА на количество вещества υ данного изотопа:
N0
= υ NА
=
NА
(7)
Где m – масса изотопа; М – молярная масса.
С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид
А0
=
(ln 2) / Т1/2
* NА
; (8)
А
=
(ln 2) / Т1/2
* NАе
(9)
Произведем вычисления, учитывая, что Т1/2 = 10мин = 600с, ln 2 = 0,693, t = 6ч = 6*3,6*103 с = 2,16*104 с:
А0
=
6,02*1023
Бк = 5,13*1012
Бк = 5,13 ТБк;
А
=
6,02*1023
е
Бк
= 81,3 Бк.
Пример 8.
Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоемкость с при постоянном объеме алюминия при температуре Т = 200К. характеристическую температуру ΘЕ Эйнштейна принять для алюминия равна 300К.
Решение.
Удельная теплоемкость с вещества может быть выражена через молярную теплоемкость Сm соотношением:
с = Сm_М, (1)
где М – молярная масс
.
Молярная теплоемкость при постоянном объеме по теории Эйпштейна выражается формулой:
Сm
= 3R
(2)
Подставив в (1) выражение теплоемкости Сm по формуле (2), получим:
с
=
.
(3)
Произведем вычисления:
с
=
Дж
/(кг*К) = 770 Дж/(кг*К).
Где с –скорость света в вакууме.
Коэффициент пропорциональности с2 может быть выражен двояко:
с2 = 9*1016 м2 /с2 , или с2 = ΔЕ / Δm = 9*1016 Дж /кг.
если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то с2 = 931 МэВ/а.е.м. С учетом этого формула (4) примет вид:
Е = 931 Δm (МэВ). (5)
Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим
Е = 931 * 0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.
Пример 6.
При
соударении α – частица с ядром бора
В
произошла ядерная реакция, в результате
которой образовалось два новых ядра.
Одним из этих ядер было ядро атома
водорода
Н.
Определить порядковый номер и массовое
число второго ядра, дать символическую
запись ядерной реакции и определить ее
энергетический эффект.
Решение.
Обозначим
неизвестное ядро символом
Х.
Так как α – частица представляет собой
ядро гелия
Не,
запись реакции имеет вид:
Не
+
В
→
Н
+
Х.
Применив
закон сохранения числа нуклонов, получим
уравнение 4+ 10 = 1 + А, откуда А = 13. Применив
закон сохранения заряда, получим
уравнение 2 + 5 = 1 + Z, откуда Z = 6. Следовательно,
неизвестное ядро является ядром атома
изотопа углерода
С.
Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:
Не
+
В→
Н
+
С.
Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле:
Q = 931[(mНе +mВ) – (mН +mС)].
Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможности такой замены вытекает из следующих соображений.
Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.
Очевидно, что при вычитании суммы масс нетральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов в расчетную формулу, получим:
Q = 931 (4,00260 + 10,01294) – (1,00783 + 13,00335) МэВ = 4,06МэВ.
Пример 7.
Определить начальную активность А0 радиоактивного препарата магния 27Мg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6ч. Период полураспада Т1/2 магния считать известным
Решение.
Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:
А = - dN / dt, (1)
Значек «-» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.
Для того чтобы найти dN/dt, воспользуемся законом радиоактивного распада:
N = N0е-λt (2)
Где N – число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент t; N0 – число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный
(t = 0); λ – постоянная радиоактивного распада.
Про дифференцируем выражение (2) по времени:
dN / dt = - λ N0е-λt, (3)
Исключив из формул (1) и (3) dN / dt, находим активность препарата в момент времени t:
А = λ N0е-λt. (4)
Начальную активность А0 препарата получим при t = 0:
А0 = λ N0е (5)
Постоянная радиоактивного распада λ связана с периодом полураспада Т1/2 соотношением:
λ = (ln 2) / Т1/2. (6)
Число N0 радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро NА на количество вещества υ данного изотопа:
N0
= υ NА
=
NА
(7)
Где m – масса изотопа; М – молярная масса.
С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид
А0
=
(ln 2) / Т1/2
* NА
; (8)
А
=
(ln 2) / Т1/2
* NАе
(9)
Произведем вычисления, учитывая, что Т1/2 = 10мин = 600с, ln 2 = 0,693, t = 6ч = 6*3,6*103 с = 2,16*104 с:
А0
=
6,02*1023
Бк = 5,13*1012
Бк = 5,13 ТБк;
А
=
6,02*1023
е
Бк
= 81,3 Бк.
Пример 8.
Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоемкость с при постоянном объеме алюминия при температуре Т = 200К. характеристическую температуру ΘЕ Эйнштейна принять для алюминия равна 300К.
Решение.
Удельная теплоемкость с вещества может быть выражена через молярную теплоемкость Сm соотношением:
с = Сm_М, (1)
где М – молярная масс
.
Молярная теплоемкость при постоянном объеме по теории Эйпштейна выражается формулой:
Сm
= 3R
(2)
Подставив в (1) выражение теплоемкости Сm по формуле (2), получим:
с
=
.
(3)
Произведем вычисления:
с
=
Дж
/(кг*К) = 770 Дж/(кг*К).