Преобразование можно выполнить следующим образом. Разобьем R на два подмножест-

ва R1 и R2, включая в R1 все правила вида <A> → < B>. Для каждого правила из R1 стро-

ится множество правил S(<A>) следующим образом: если <A> * <A'> и в R2 есть пра-

вило <A'> → α, где α (VT VA)*, то в S(<A>) включается правило <A'> → α. Построим новую схему R' путем объединения правил R2 и всех построенных множеств S(<A>), т.е.

R' = ( S(<A>)) R2. Получим грамматику Г' = { VT , VA , I , R'}, которая эквивалентна заданной и не содержит правил вида <A> → <B>.

В качестве примера исключим цепные правила из грамматики Г1. 9 со схемой:

Г1. 9: R={<E> → <E> + <T> | <T>, <T> → < T> * <F> | <F>, <F> → ( <E> ) | a}.

Вначале разобьем правила грамматики на два подмножества:

R1 = { <E> → <T>,<T> → <F> } ,

R2 = { <E> → <E>+<T>, <T> → <T>*<F>, <F>→ (<E>) | a }

Для каждого правила из R1 построим соответствующие подмножества.

S(<E>) = { <E> →< T>*<F>, <E> → (<E>) | a }, S(<T>) = { <T> → (<E>) | a}

В результате получаем искомую схему грамматики без цепных правил в виде:

R2 S(<E>) S(<T>) = { <E> → <E> + <T> | <T>*<F> | (<E>) | a, <T> → <T>*<F> | (<E>) | a,

<F> → (<E>) | a }

2.7. Преобразование неукорачивающих грамматик

Определение. Правило вида <A> → $ называется аннулирующим правилом а нетерминальный символ <A> - аннулирующим нетерминалом.

Определение. Грамматика называется неукорачивающей или грамматикой без аннулирующих правил, если схема грамматики не содержит аннулирующих правил, либо схема грамматики содержит только одно правило вида <I> → $, где <I> - начальный символ грамматики, и символ <I> не встречается в правых частях остальных правил грамматики.

18

Для грамматик, содержащих аннулирующие правила, справедливо следующее утверждение: для каждой КС-грамматики Г', содержащей аннулирующие правила, можно построить эквивалентную ей неукорачивающую грамматику Г, такую что L(Г')=L(Г).

Построение неукорачивающей грамматики предполагает увеличение числа правил заданной грамматики путем построения дополнительных правил, получаемых в результате исключения нетерминалов аннулирующих правил. Чтобы построить дополнительные правила необходимо выполнить все возможные подстановки пустой цепочки вместо аннулирующего нетерминала во все правила грамматики. Если же в грамматике есть пра-

вило вида <I> → $ и символ <I> входит в правые части других правил грамматики, то следует ввести новый начальный символ <I'> и заменить правило <I> → $ двумя новыми правилами: <I'> → $ и <I'>→ <I>.

В качестве иллюстрации способа построения неукорачивающих грамматик, исключим аннулирующие правила из следующей грамматики:

Г2. 3 : R = { <I> → a<I>b<I>, <I> → b<I>a<I>, <I> → $ }

Выполняя все возможные замены символа <I> в первом правиле грамматики, получаем четыре правила вида:

<I> → a<I>b<I>, <I> → ab<I>, <I>→ a<I>b, <I>→ ab .

Поступая аналогично со вторым правилом, имеем:

<I> → b<I>a<I>, <I> → ba<I>, <I> → b<I>a, <I> → ba.

Учитывая, что начальный символ, образующий аннулирующее правило, входит в правые части других правил грамматики, заменим правило <I> → $ правилами вида <I'>→ $ и <I'>→ <I>. Построенная совокупность правил образует схему искомой неукорачивающей грамматики.

2.8. Магазинные автоматы

Магазинные автоматы позволяют решать для контекстно-свободных языков задачу распознавания, которая заключается в том, что по заданной цепочке определяется её принадлежность заданному языку. Модель магазинного автомата, состоит из входной лен-

19

ты, устройства управления и вспомогательной ленты, называемой магазином или сте-

ком.

Входная лента разделяется на клетки (позиции) , в каждой из которых может быть записан символ входного алфавита. При этом предполагается, что в неиспользуемых клетках входной ленты расположены пустые символы .

Вспомогательная лента также разделена на клетки, в которых могут располагаться символы магазинного алфавита. Начало вспомогательной ленты называется дном магазина. Связь устройства управления с лентами осуществляется двумя головками, которые могут перемещаться вдоль лент.

Головка входной ленты может перемещаться только в одну сторону - вправо или оставаться на месте. Она может выполнять только чтение. Головка вспомогательной ленты способна выполнять как чтение, так и запись. Эти операции связаны с перемещением головки определенным образом:

-при записи головка предварительно сдвигается на одну позицию вверх, а затем символ заносится на ленту,

-при чтении символ, находящийся против головки считывается с ленты, а затем головка сдвигается на одну позицию вниз. Позицию, находящуюся в рассматриваемый момент времени против головки, называют вершиной магазина.

Определение.Магазинный автомат М определяется следующей совокупностью семи

20

объектов: M={P , S , sо , f , F , H , hо },

где

P - входной алфавит,

S - алфавит состояний, sо - начальное состояние, sо S ,

F - множество конечных состояний (F является подмножеством S),

H - алфавит магазинных символов, записываемых на вспомогательную ленту, hо- маркер дна, он всегда записывается на дно магазина , hо H,

f - функция переходов

f : S x {P {ε}} x H → S x H* ,

если М-автомат - детерминированный, и f: S x {P {ε}} x H → {S x H*},

если М-автомат - недетерминированный.

Функция f отображает тройки (sj, pi, hk ) в пары ( sr, β ) , где β H* и hk - символ в вершине магазина, для детерминированного автомата или в множество пар для недетерминированного автомата.

Эта функция описывает изменение состояния магазинного автомата, происходящее при чтении символа с входной ленты и перемещении входной головки.

Имеются также две дополнительные разновидности функций переходов, изменяющих состояние автомата без перемещения входной головки:

1) функция переходов с пустым символом в качестве входного символа: f0(s, ε, h) = (s', β),

которая, независимо от того какой символ находится против читающей головки входной ленты, предписывает прочитать символ h из вершины магазина, изменить состояние ав-

томата на s' и записать цепочку β в магазин.

2)функция переходов с определенным входным символом: f*(s, a, h) = (s', β),

которая предписывает изменение состояния и запись цепочки в магазин при условии, что символ a читается входной головкой, а в вершине магазина находится символ h

21