Введение в аналитич геомет на плоскости

если

x2

y2

1,

то точка

M

лежит вне эллипса;

1

1

1

a2

b2

если

x2

y2

1,

то точка

M

лежит внутри эллипса.

1

1

1

a2

b2

Определение 2.4.

Директрисами

эллипса называются

прямые,

определяемые уравнениями

x a .

e

Таким образом, директрисы эллипса – это прямые, параллельные оси

Oy и отстоящие от нее на расстоянии

a .

Так как

e 1,

то

a

a ,

e

e

следовательно, эллипс расположен между своими директрисами.

Свойство директрис эллипса.

Если r расстояние от произвольной точки эллипса до некоторого

фокуса,

d расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом

директрисы,

то

отношение

r

есть

величина

постоянная,

равная

d

r

эксцентриситету эллипса, то есть

e .

d

Уравнение касательной к эллипсу в точке M1 (x1; y1 )

имеет вид

xx1

yy1

1.

(2.4)

b2

a2

a b ,

Если эллипс определяется уравнением (2.3), где

то фокусы

эллипса располагаются на оси Oy

в точках

F1 (0;b)

и F2 (0; b) .

В этом

случае

a

становится малой полуосью,

b большой.

Тогда

e c

, а

y b .

b

уравнения директрис примут вид:

e

Примеры.

x2 2 y2 8 .

1 . Найти эксцентриситет и директрисы эллипса

Решение.

Приведем уравнение к каноническому виду, разделив обе его части

на 8:

x

2

y2

1.

Отсюда

a 2

2 и

b=2.

Поскольку

c

2

a

2

b

2

,

то

8

4

Решение.

e

c

4 ,

откуда

c

4 a .

Но

b2 a2 c2 , тогда

b2

9

a2 . Из

a

25

5

5

условия принадлежности точки M эллипсу получим равенство

16

3,24

1.

a2

b2

b2 ,

Подставляя в последнее равенство выражение для

получим

16

9

1,

т.е.

a2 25 и

b2 9 . Таким образом, искомое уравнение

a2

a2

x

2

y2

имеет вид

1.

25

9

2.3. ГИПЕРБОЛА

Определение 2.5.

Гиперболой

называется множество всех точек

постоянная

(ее обозначают

через

2a ), причем эта постоянная меньше

расстояния между фокусами.

Обозначим

2c расстояние

между фокусами.

Если

поместить

фокусы

гиперболы на оси

Ox

на равных

расстояниях от начала координат в

точках F1 (c;0)

и F2 ( c;0) , то

получим

каноническое

(простейшее) уравнение гиперболы:

x2

y2

1,

b

2

с

2

a

2

.

(2.5)

a2

b2

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично

относительно осей

координат (рис.

2.2).

Точки

A1 (a;0)

и A2 ( a ;0)

называются

вершинами гиперболы.

Отрезок

A1 A2

оси

Ox такой, что

A1 A2

2a ,

называется действительной осью гиперболы,

а отрезок B1B2

расстояние от точки

M (x; y) гиперболы до этой прямой стремится к

нулю при x или

x .

со сторонами

x a ,

x a ,

y b ,

y b . Прямые,

содержащие

диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы.

Определение 2.7.

Эксцентриситетом гиперболы

называется

величина e

c

1.

a

Фокальные радиусы правой ветви гиперболы:

r1

ex a

(правый фокальный радиус);

(2.6)

r2

ex a (левый фокальный радиус).

Фокальные радиусы левой ветви гиперболы:

r1

ex a (правый фокальный радиус);

(2.7)

r2

ex a (левый фокальный радиус).

Очевидно,

r1 r2 2a .

Определение 2.8.

Директрисами гиперболы называются прямые,

определяемые уравнениями

x a .

e

Так как для гиперболы

e 1, то директрисы лежат между ветвями

то ее уравнение примет вид

xy m

( m

a2

;

при

m 0 гипербола

2

m 0

расположена в I и III четвертях, при

гипербола расположена в II и

IV четвертях). Так как уравнение

xy m

можно

переписать

в виде

y m ,

то равнобочная

гипербола

является

графиком

обратно

x

x

и

y .

пропорциональной зависимости между величинами

Уравнение

x2

y2

1 (или

y2

x2

1)

a2

b2

b2

a2

Две гиперболы

x2

y2

1

и

x2

y2

1

имеют одни и те же

a2

b2

a2

b2

Уравнение касательной к гиперболе в точке M1 (x1; y1 )

имеет вид

xx1

yy1

1.

(2.8)

b2

a2

Примеры.

1 .

Найти полуоси, фокусы

и эксцентриситет

гиперболы

5x2 4 y2

20 . Вычислить длины фокальных радиусов точки

M ( 4; 15) .

на 20:

x2

y2

1.

4

5

Отсюда

a 2 ,

b

5 .

Поскольку

с2

b2

a2 ,

то

c 3 и

координаты фокусов:

F (3;0) и

F ( 3;0) . Тогда

e

c

3 .

Поскольку

1

2

a

2

r1

r2

точка лежит на левой ветви гиперболы,

и

находим по формулам

(2.7): r ex a 3

( 4) 2 8;

r

ex a 3 ( 4) 2 4 .

1

2

2

2

x2

y2

2. На гиперболе

1

найти точку, расстояние которой от

4

12

правого фокуса равно 16.

Решение.

a

и

e .

Очевидно,

a2

4;

b2 12 ,

Определим

c= a2 b2

4 12 4 .

Отсюда

e 2 . Расстояние до правого фокуса

определяется формулами (2.6), (2.7):

y2

y2

r ex a;

16 2x 2;

x 9;

81

1;

81

1;

y

231 ;

1

4

12

12

4

r ex a;

16 2x 2;

x 7;

49

y2

1;

y2

49

1;

y 3 15 .

1

4

12

12

4

Следовательно,

условию

задачи

удовлетворяют

четыре точки

M1 (9; 231) ,

M 2 (9;

231) ,

M 3 ( 7;3 15) ,

M 4 ( 7; 3

15) .

2.4. ПАРАБОЛА

Определение 2.9.

Параболой

называется

множество

всех

точек

плоскости, равноудаленных от данной

точки, называемой фокусом, и данной

прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является

прямая

x

p

,

а

фокусом

– точка

p

2

F

;0

(рис.

2.3),

то

каноническое

2

(простейшее) уравнение параболы имеет

вид

y2 2 px .

(2.9)

В этом случае число

p 0 ,

равное расстоянию от директрисы до

x2 2 py

(2.10)

r x

p

p 0 .

2

M1 (x1; y1 )

Уравнение касательной к параболе (2.9) в точке параболы

имеет вид

(2.11)

yy1 p (x x1 ) .

Примеры.

y2 16x .

1 .

Найти фокус

и

уравнение директрисы параболы

Вычислить расстояние точки M (1;4) от фокуса.

Решение.

p

Из уравнения видно,

что 2 p 16 ,

откуда p 8 ,

4 . Значит,

2

уравнение

директрисы

параболы имеет

вид x 4 . Фокус

параболы

25

для нее

r 1 4 5 .

y2

16x ,

2. Составить уравнение касательной к параболе

проходящей через точку:

a) A(1; 4) ;

b) B( 1;2) .

Решение:

a)

точка

A(1; 4)

лежит на

параболе,

поэтому

согласно

(2.11)

уравнение касательной будет иметь вид

4 y 8(x 1) ;

2x y 2 0 ;

b)

точка

B( 1;2) не лежит на параболе,

так как ее уравнение не

удовлетворяет уравнению параболы: 42

16 .

Уравнение касательной к

параболе

y2 16x ,

проходящей через точку

M

1

(x ; y ) ,

имеет вид

yy1 8(x x1 ) .

1

1

Для решения задачи необходимо найти координаты точки

параболы

x1 ,

y1 ,

через которую проходит касательная.

Так как по

условию

точка

B( 1;2) лежит

на

касательной,

то

ее

координаты

удовлетворяют уравнению касательной

2 y1 8(x1

1) ,

а координаты

точки

M

1

(x ; y )

удовлетворяют уравнению

параболы y2 16x . Из

1

1

1

1

последних

двух

равенств получаем

x 3

5 ,

y

2(1

5) .

Таким

1

2

1

образом,

искомые

касательные

описываются

уравнениями

2(1

5) y 8(x 3

5 ) .

2

полуось

которой равна a ,

а фокусы расположены в точках

F1 ( c;0) ,

F2 (c;0) .

расположены в точке

F(

p

;0)

, а директриса задается уравнением

p

2

x

, p 0 .

2

фокусом в точке

F(

p

;0)

и вершиной в начале координат.

2

p

y

p

F

0;

, а директриса задается уравнением

.

2

2

4.

уравнения сторон треугольника.

A(2;1)

Найти

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

параллельно прямой x 3y 7 0 .

5.

Найти

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

A(2;2)

перпендикулярно

прямой

3x y 7 0 .

пересечения прямых

2x 3y 5 0,

x 8y 9 0

и точку

A(2;2) .

9.

Найти уравнение прямой,

проходящей через

точку

A(2; 6)

и

отсекающей на осях Ox

и

Oy

равные отрезки.

10.

Найти угловой

коэффициент прямой, отсекающей на осях координат

Ox и Oy отрезки,

соответственно равные 4

и 5.

11.

Найти уравнения прямых,

проходящих

через

точку

A(0;2)

и

образующих с прямой

x 2 y 3 0

угол

45 .

12.

Найти расстояние от точки

A(1;1)

до прямой, образующей с осью

Ox

угол 135

и отсекающей на оси

Oy

отрезок равный

4.

13.

Найти расстояние между параллельными прямыми

3x 4 y 20 0

и 6x 8y 5 0 .

14.

На

оси

абсцисс

найти

точку, расстояние

которой

до

прямой

8x 15 y 10 0

равно 1.

15.

Найти расстояние от точки

A(2; 1) до прямой отсекающей на осях

координат отрезки a 8

и

b 6 .

16.

Найти длину высоты

BD

в треугольнике с вершинами

A(4; 3) ,

B( 2;6) , C(5;4) .

17.

Найти

прямую,

проходящую

через точку

пересечения

прямых

x 2 y 3 0

и

2x 5y 1 0

и

параллельно

прямой

18.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения

прямых

5x 3y 10 0 и

x y 15 0 и через начало координат.

19.

Найти

прямую,

проходящую через

точку пересечения

прямых

x 2 y 1 0 и

2x y 2 0

и образующую угол

135o

с осью

20.

абсцисс.

2x 3y 5 (x 8y 6) 0

Найти прямую, принадлежащую пучку

и проходящую через точку

A(1;1) .

21.

Найти

центр

пучка

прямых,

заданного

уравнением

2x 3y 1

x 2 y 4 0 .

x 2 y 5 3x 2 y 1 0 .

22.

Пучок прямых задан уравнением:

д)

параллельной прямой 4x 3y 5 0 ;

е)

перпендикулярной прямой 2x 3y 7 0.

23.

Даны уравнения сторон треугольника x 2 y 1 0 ;

5x 4 y 17 0 ;

x 4 y 11 0 . Не

определяя координат его вершин, составить

24.

уравнения высот этого треугольника.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения

прямых 3x 2 y 5 0 , 4x 3y 1 0 и пересекающей ось ординат

в точке с ординатой

3.

Решить задачу, не определяя координат

точки пересечении данных прямых.

25.

Найти угол между высотой

AD и медианой AE

в треугольнике с

вершинами в точках

A(1;3); B(4; 1); C( 1;1).

26.

Даны

последовательные вершины

параллелограмма

ABCD

A( 4; 3); B( 2;5); C(2;7) . Найти координаты четвертой вершины

D .

27.

Две стороны квадрата

лежат

на

прямых

5x 12 y 65 0

и

5x 12 y 26 0 . Найти площадь квадрата.

28.

Даны две вершины треугольника

A(2; 2); B( 6;2)

и точка D(1;2)

пересечения его высот. Найти координаты третьей вершины C .

29.

Точки

A(1;2);

C(3;6)

являются противоположными

вершинами

квадрата ABCD . Определить координаты вершин B, D

квадрата.

30.

Две смежные вершины квадрата имеют координаты

A(1;4); B(4;5) .

31.

Найти координаты двух других вершин.

M1 ( 2; 2)

Найти

координаты

точки

симметричной

точке

относительно прямой

x y 4 0 .

32.

В треугольнике

ABC

дана вершина

A(3;9)

и уравнения медиан

BM : y 6 0 ,

CN : 3x 4 y 9 0 . Найти координаты вершин

B, C .

29

33.

Дан треугольник

с вершинами

в

точках

A(2;5); B(5; 1); C(8;3).

Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения

медиан треугольника, перпендикулярно прямой

x y 4 0 .

34.

Написать уравнения прямых, на которых лежат стороны

треугольника,

зная

уравнения

двух высот:

7x 2 y 1 0

и

2x 7 y 6 0

и вершину

A(3; 4) .

35.

Найти

координаты

центра

и

радиус

окружности

x2 y2 4x 6 y 3 0.

36.

Найти

координаты

центра

и

радиусы

окружности

9x2 9 y2 42x 54 y 95 0.

37.

Найти

расстояние

между

центрами

окружностей

x2 y2 9, x2 y2 8y 12 0.

38.

Написать уравнение окружности, концы одного из диаметров которой

имеют координаты

(0;6) ,

(8;0) .

проходящей через точку

A(4; 2) .

41.

Найти центр и радиус окружности, проходящей через точки

A(0;2) ,

B(1;1) , C(2; 2) .

42.

Найти

уравнение прямой,

содержащей

диаметр

окружности

x2 y2

6x 4 y 8 0 ,

перпендикулярной прямой x 3y 2 0 .

43.

Найти угол между радиусами окружности

(x 4)2 ( y 3)2

25 0 ,

проведенными в точках ее пересечения с осью

Ox .

44.

Найти центр и радиус окружности, вписанной в треугольник со

сторонами 3x 4 y 12 0 ,

4x 3y 12 0 ,

y 0 .

45.

Составить уравнение

окружности, проходящей

через

точки

A(3;5) , B(5; 1) , если ее центр лежит на прямой

x y 2 0 .

46.

Найти

точки пересечения окружности

(x 4)2 ( y 3)2 20 и

прямой

y x 3.

48.

Составить каноническое уравнение эллипса, если

e 7 25, а фокусы

расположены в точках

( 7;0) , (7;0) .

49.

Составить уравнение

эллипса, фокусы которого расположены на оси

Ox , симметрично начала координат, если a 10 ,

e 3 5 .