Введение в аналитич геомет на плоскости

D

A1

B1

A B A B ,

D

x

C1

B1

C B

2

C B ,

A2

B2

1 2

2 1

C2

B2

1

2 1

D

y

A1

C1

A C

2

A

C

1

.

A2

C 2

1

2

x

D

x

,

y

Dy

.

(1.12)

D

D

При D 0 имеем

A1

A2

. Тогда k

A1

A2

k

2

, т.е.

B1

B2

1

B1

B2

одним углом к оси

Ox .

Если D 0 ,

Dx 0 и

Dy 0 , то система (1.10)–(1.11) не имеет

При

D 0 , Dx

0

или

Dy 0

система

имеет бесчисленное

множество

решений,

выполнена

полная

пропорциональность

A1

B1

С1

, и, следовательно, прямые совпадают.

A

B

С

2

2

2

Примеры.

Даны две прямые. Определить взаимное расположение прямых на

плоскости.

1. 2x 3y 7 0 ;

x y 1 0.

Решение.

Решим систему уравнений

2x 3y 7,

x y 1.

Определитель системы

D 2 ( 1) 1 3 5 0

и, следовательно,

прямые пересекаются в одной точке. Решение системы

определяется по

формулам (1.12):

х ( 1) 7 3 1

2 ,

у 2 1 1 7 1.

( 5)

( 5)

Решение системы

x

2,

y 1

11

можно представить

как

координаты

точки M . Таким образом, прямые

пересекаются в точке

M 2; 1 (рис. 1.5).

2. x 2 y 3 0 ; 2x 4 y 4 0.

Решение.

Для системы уравнений

D

1

2

0, D x

3

2

4 0 ,

2

4

4

4

Dy

1

3

2 0 ,

2

4

D

1

2

0, Dx

3

2

0 ,

2

4

6

4

Dy

1

3

0 .

2

6

l1 : y k1 x b1 ,

k1 tg 1 ;

l2 : y k2 x b2 ,

k2 tg 2 .

Определение 1.6.

Углом

между

двумя

пересекающимися

прямыми

Тогда

tg

tg( 2 1)

tg 2 tg 1

.

1 tg 1tg 2

Отсюда, учитывая обозначения, получаем выражение для

tg θ:

k2

k1

.

(1.13)

tg

1 k k

2

1

Эта формула определяет один из углов между прямыми. Второй угол

равен π θ.

Пример. Две прямые заданы своими уравнениями:

l1 : y 2x 3;

l2 : y 3x 2 .

Найти угол между прямыми.

Решение.

k1 2 ;

k2 3 .

Из уравнений прямых очевидно, что

Подставляя

эти значения в уравнение (1.13), определяем

tg :

tg

3 2

1.

1

( 3)

2

Следовательно, наименьший угол между прямыми

θ 45 .

Выражение

(1.13)

позволяет

сформулировать

условия

параллельности и перпендикулярности прямых.

Если прямые параллельны, то

θ=0

и

tg =0,

а из (1.13) это

возможно, когда

k2 k1 0 .

Следовательно,

угловые

коэффициенты

прямых равны.

Таким образом, условие параллельности прямых, заданных своими

уравнениями с угловым коэффициентом имеет вид:

k2 k1 .

θ π

.

(1.14)

Если прямые перпендикулярны, то

и

2

2

2

1

Решение.

AB:

По формуле

(1.4) найдем угловой коэффициент стороны

k

5 1

4

2 .

В

силу условия

перпендикулярности угловой

6 0

6

3

3 .

коэффициент

высоты,

проведенной из

вершины C , равен

2

координаты точки C и

k

3

. Таким образом, уравнение этой высоты

2

Пусть в прямоугольной системе координат

Oxy задана прямая

l

нормальным уравнением

x cos ysin p 0

и точка M 0 x0 ; y0 ,

лежащая вне этой прямой.

Необходимо определить расстояние d

от

точки

M 0

до прямой

l ,

т.е. длину перпендикуляра, опущенного из

точки на прямую.

Точка

M 0

и начало координат могут лежать по разные стороны от

прямой

l (случай 1) или по одну

сторону от прямой

l

(случай 2)

(рис. 1.9). Проведем через точку

M 0 прямую

l0 ,

параллельную

прямой

l .

Опустим

из

начала

координат

перпендикуляры

на

прямые

l0

и

l .

Обозначим

точками N0

и

N

основания этих

перпендикуляров.

Искомое

расстояние

обозначим

d .

Очевидно

d

NN0

.

Обозначим

p0

ON0

.

l0 :

Запишем нормальное уравнение прямой

x cos y sin p0 0 (случай 2),

x cos ( ) y sin ( ) p0

0

(случай 1)

Так как точка M 0 лежит на прямой

l0 , то ее координаты

удовлетворяют уравнению этой прямой, то есть

x0 cos y0

sin p0 0

(случай 2),

x0 cos ( ) y0

sin ( ) p0

0

(случай 1).

14

p0

x0 cos y0

sin (случай 2),

p0 x0

cos ( ) y0

sin ( ) (случай 1).

Если

M 0

и

l лежат по одну сторону от начала координат, то

d

NN0

ON0

ON

p0 p x0

cos y0

sin p .

Если

M 0

и

l лежат по разные стороны от начала координат, то

d

N0 N

ON0

ON

p0 p x0

cos y0 sin p .

Объединяя оба случая, получим, что расстояние от точки до данной

прямой может быть вычислено по формуле

где x0 , y0

d

x0 cos

y0

sin

p

,

(1.16)

– координаты искомой точки.

A 2; 4

Пример.

Найти расстояние

d

от точки

до прямой

μ

1

1

.

2 ( 8)2

10

6

1

(6x 8y 15) 0 ;

0,6x 0,8y 1,5 0 .

10

μ

1

1

;

1

(15x 8y 2)

0 .

152

( 8)2

17

17

Расстояние

от

любой

точки

M x; y

до прямой

1

1

d

(15x 8y 2)

.

Таким образом,

2=

(15x 8y 2)

. Используя

17

17

15

2

1

(15x 8y 2)

или 15x 8y 36

0 ,

17

1

(15x 8y 2)

или 15x 8y 32

2

0 .

17

y y1 k(x x1 )

(1.17)

Здесь

k может принимать любое действительное значение.

Уравнение

(1.17) называют

уравнением пучка прямых, проходящих

через точку

M

1

(x ; y ) . Величина

k

(параметр пучка) характеризует

1

1

направление

прямой

и меняется

от

одной прямой к другой.

Точка

M1 (x1; y1 ) называется центром пучка.

Если две пересекающиеся прямые заданы своими общими

уравнениями

l1: A1 x B1 y C1 0 ,

l2 : A2 x B2 y C2 0.

Тогда уравнение

,

A1 x B1 y C1

A2 x B2 y C2 0 ,

(1.18)

где

произвольные

числа,

одновременно не равные

нулю,

определяет прямую, также проходящую через общую точку прямых

l1 и

l2 .

Так как в уравнении (1.18)

и произвольные, то их можно

проходящую через общую точку прямых l1

и l2 .

Если

0 , то разделив обе части уравнения (1.18) на

и

полагая

,

получим

A1 x B1 y C1 A2 x B2 y C2 0 ,

(1.19)

Этим уравнением можно определить любую прямую пучка, кроме

прямой

A2 x B2 y C2 0 ,

соответствующей 0 .

Пример.

Составить

уравнение прямой, принадлежащей

пучку

y 3 k(x 2) и проходящей через точку

A 2; 5 .

16

Решение.

Так как точка A

принадлежит прямой пучка, то ее координаты

удовлетворяют данному уравнению.

Подставив координаты точки

A в

уравнение 5 3 k( 2 2) ,

получим

k

8

2 . Следовательно,

4

искомое уравнение прямой есть

y 3 2(x 2)

или 2x y 1 0 .

Пример. Найти

уравнение

прямой, проходящей через

точку

A 1; 4 и перпендикулярной прямой

3x 2 y 12 0 .

Решение.

A 1; 4 .

Искомая прямая принадлежит

пучку с центром в точке

y 4

2 (x 1)

или в конечном виде:

2x 3y 14 0 .

3

Пример.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку

пересечения прямых 2x 3y 1 0 ,

3x y 2 0

и параллельной

прямой

у x .

Угловой коэффициент прямой

пучка

есть

k 3 2 .

Так как

у x ,

3

искомая прямая

параллельна

прямой

угловой коэффициент

которой равен

1,

то, используя условие параллельности прямых (1.14),

получим

3 2

1,

то есть 1 . Подставив полученное значение в

3

2

уравнение

пучка,

находим

после

упрощений

уравнение

прямой:

7x 7 y 4 0 .

8.

Даны уравнения прямых l1 : A1 x B1 y C1

0 ,

l2 : A2 x B2 y C2

0 .

Написать условие параллельности этих прямых.

9.

Даны уравнения прямых l1 : A1 x B1 y C1

0 ,

l2 : A2 x B2 y C2

0 .

Написать условие перпендикулярности этих прямых.

10.

Даны

уравнения пересекающихся прямых

l1 : A1 x B1 y C1

0 ,

l2 : A2 x B2 y C2 0 . Написать уравнение пучка прямых.

11.

Даны уравнение прямой

l1 : A1 x B1 y C1 0 и точка M (x0 ; y0 ) . Как

вычислить расстояние

d

от точки до прямой.

12.

Даны уравнения прямых

l1 : y k1 x b1 ,

l2 : y k2 x b2 .

Написать

условие параллельности прямых.

13.

Даны уравнения прямых

l1 : y k1 x b1 ,

l2 : y k2 x b2 .

Написать

условие перпендикулярности прямых.

14.

Даны уравнения прямых

l1 : y k1 x b1 ,

l2 : y k2 x b2 .

Написать

формулу, определяющую угол между этими прямыми..

15.

Даны

точки M1 (x1; y1 )

и M 2 (x2 ; y2 ) . Написать уравнение прямой,

19. Какие координатные четверти пересекает прямая, если

y kx b ,

k 0, b 0 .

Глава 2.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2.1. ОКРУЖНОСТЬ

Определение 2.1. Окружностью называется множество всех точек

плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности).

Если

r –

радиус окружности, а

C(a;b) –

ее центр, то уравнение

окружности имеет вид

(x a)2 ( y b)2 r2 .

(2.1)

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат,

то уравнение (2.1) примет вид

x2 y2 r 2 .

Если в левой части уравнения (2.1) раскрыть скобки и сгруппировать

члены с одинаковыми степенями x, то получится уравнение вида

(2.2)

x2

y2 lx my n r 2 ,

где

l 2a,

m 2b,

n a2

b2 r2 .

В общем случае уравнение (2.2) определяет окружность, если

выполнено следующее условие: l 2 m2

4n2 0 . Если l 2 m2

4n2

0 ,

то

указанное

уравнение

определяет

точку

l 2; m 2 ,

а

если

Взаимное

расположение

точки

M1 (x1; y1 )

и окружности

x2 y2 r 2

определяется следующими условиями:

если

x2

y2

r 2 ,

то точка

M

1

лежит на окружности;

1

1

если

x2

y2

r 2 ,

то точка

M

1

лежит вне окружности;

1

1

если

x2

y2

r 2 ,

то точка

M

1

лежит внутри окружности.

1

1

Пример.

Найти координаты центра и радиус окружности:

(x2

8x

16) ( y2 12 y 36) 16 36 12 0 ,

(x 4)2 ( y 6)2 64 .

Таким образом, координаты центра окружности

a 4; b 6 .

Радиус окружности

r 8 .