Geometria2

Векторы а1,а2…,аn называются ЛЗ, если существуют числа α1,α2…,αn одновременно не равные 0, такие, что линейная комбинация в данных векторах с коэф. α1,α2…,αn равняется нулевому вектору, в противном случае вектор называется ЛНЗ.

Условие ЛНЗ: Для того, чтобы векторы а1,а2…,аn были ЛНЗ необходимо чтобы их линейная комбинация равнялась нулевому вектору, только при нулевых коэф.

Условие ЛЗ: Векторы а1,а2…,аn ЛЗ ТиТТ, когда какой-нибудь один из них есть линейная комбинация остальных.

2) Признаки коллинеарности и компланарности геометрических векторов.

Определение: Векторы на плоскости называются коллинеарными, если их представители с общим началом располагаются на одной прямой.

Определение: Векторы в пространстве называются компланарными, если их представители с общим началом располагаются в одной плоскости.

Определение: Векторы конгруэнтны, если их длины и направления совпадают.

Признаки:

1.Два ненулевых вектора коллинеарны, когда их соответствующие координаты пропорциональны.

2.Три вектора в пространстве компланарны, когда определитель, состоящий из их координат равен 0.

3.Векторы a и b коллинеарны ТиТТ, когда a и b-ЛЗ.( Векторы компланарны ТиТТ, когда они ЛЗ)

4.Векторы a и b коллинеарны ТиТТ, когда существует единственная α, при которой a=α·b

3)Понятие базиса.

Базисом линейного пространства называется упорядоченная система векторов, которая удовлетворяет следующим условиям:

1.Эта система ЛНЗ.

2.Любой вектор пространства представим в виде линейной комбинации этих векторов.

4)Координаты, действия с векторами в координатах.

Координатами вектора а на плоскости и в пространстве относительно заданного базиса называется коэффициенты разложения вектора а по векторам базиса. ā=α1ē1+α2ē2.

Два вектора равны ТиТТ, когда равны их соответствующие координаты. a=b аi=bi.

Теорема. Координаты линейной комбинации векторов, равны линейной комбинации соответствующих координат векторов с теми же коэффициентами.

āявляется суммой(разностью) векторов b и c ТиТТ, когда каждая координата вектора а является суммой(разностью) соответствующих координат векторов b и с. a=b±cai=bi±ci.

āявляется произведением вектора b на число α ТиТТ, когда каждая координата ā является произведением соответствующих координат вектора b на число α. ā=αbai=αbi.

5)Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов пространства геометрических векторов.

Базис ( 1, 2, 3) называется одинаково ориентированным ( 1, 2, 3) если матрица перехода имеет положительный определитель.

Отношение одинаковой ориентированности называется отношением эквивалентности

Теорема. Отношение одинаковой ориентированности базиса разбивает множество базисов на 2 непересекающихся класса

6)Ориентированная плоскость и ориентированное пространство.

Ориентированной плоскостью называется плоскость с заданным классом эквив-ти одинаковой ориентированности базисов. С пространством аналогично.

Ориентациякласс одинаково ориентированных базисов.

Базис ориентир-го простр-ва принадлежащий данной ориентации наз. положительным базисом

Чтобы задать ориентацию на плоскости (в пространстве) надо зафиксировать какой-нибудь базис , при этом зафиксированный базис называется положительным и любой другой одинаковоориентированный с ним базис называется положительным, остальные называются отрицательными.

7)Векторные и арифметические системы координат: векторная система координат с данным полюсом, аффинные и декартовы системы координат, полярная, сферическая и цилиндрическая системы координат.

…

Система координат (СК) – это отображение… Система координат (СК) – способ определять положение точки или тела с помощью чисел

Векторной СК с данным полюсом т.О называется отображение множества в пространство V3 (V2, V1), которое каждой т.А ставится соответствие еѐ радиус-вектор OA ( :A→ OA)

(0,(e1,e2,e3)) - репер

Если базис ортонормированный, то СК называется декартовой (прямоугольной)

Полярные системы координат

Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.

Цилиндрические координаты:

Цилиндрической системой координат называют трѐхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путѐм добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаѐт высоту точки над плоскостью.

Сферические координаты.

Положение точки М в сферической системе координат задается тройкой чисел r, φ и θ, где r – расстояние от начала координат до точки M; φ – угол, образованный проекцией радиус-вектора на плоскость Оху с положительным направлением оси Ох; θ – угол между положительным направлением оси Oz и радиус-вектором точки М

8) Скалярное произведение и его свойства.

Скалярным произведением двух (ненулевых) векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: аb = |а|·|b|·cos(a,b).

Cв-ва:

1.ab=ba

2.a(b+c)=ab+ac

3.α(ab)=(αa)b=a(αb)

4.a2=|a|2 , |a|=sqrt(a2);

5.ab=0a┴b если a≠0,b≠0

6.ab>0(a,b)<π/2; ab<0(a,b)>π/2

7.ab=|a|(|b|*cos(a,b))

8.|e|=1,то ae=|a|*|e|*cos(a,e)

9.(a±b)2=a2±2ab+b2

10.(a-b)(a+b)=a2-b2

9) Выражение скалярного произведения в координатах.

= + + (в ортонормированном базисе)

ab=∑gijaibj

Пример:

a(a1,a2),b(b1,b2) в базисе (e1,e2) ab=g11a1b1+g12(a1b2+a2b1)+g22a2b2

Метрическими параметрами базиса на плоскости и в пространстве называются скалярные произведения базисных векторов попарно. gij= i j

10) Применение скалярного произведения в геометрии.

1.2 вектора ортогональны ТиТТ, когда их скалярное произведение равно 0

2.Скалярное произведение применяется для нахождения cos угла между векторами

3.СП применяется для вычисления проекции.

4Любые геометрические вычисления, связанные с длинами

11)Операции векторного и смешанного умножения в ориентированном пространстве и их свойства: антикоммутативность операции векторного умножения; геометрический смысл модуля векторного произведения; геометрический смысл модуля смешанного произведения и геометрический смысл знака смешанного произведения; выражение в координатах векторного

исмешанного произведения.

Опр: Операция векторного умножения:

Векторным произведением двух коллинеарных векторов в ориентированном пространстве является 0

удовлетворяет следующим условиям:

= | ^ |

, ( , , ) Б+

Опр: Операция смешанного умножения:

Смешанным произведением 3-х векторов ( , , ) в ориентированном пространстве называется число

= [ ]

Свойства:

антикоммутативность операции векторного умножения:

Операция векторного умножения антикоммутативна [ā ƀ]=-[ƀ ā]

геометрический смысл модуля векторного произведения:

модуль произведения двух неколиниарных векторов равняется площади параллелограмма построенного на векторах как на сторонах.

Sпрл.= |ā| |ƀ| sinα = |[ā ƀ]|

геометрический смысл модуля смешанного произведения:

модуль смешанного произведения 3-х некомпланарных векторов является объем параллелепипеда построенного на представителях этих векторов, построенных из оной точки.

выражение в координатах векторного и смешанного произведения:

выражение векторного произведения в координатах:

Где компоненты определителя являются координаты векторов , , относительно базиса (e1,e2,e3)

геометрический смысл знака смешанного произведения:

āb̄c̄>0↔(ā,b̄,c̄) Б+

Смешанное произведение меняет знак при перестановке двух любых сомножителей.

геометрический смысл модуля смешанного произведения:

¬Cp( , , ) в этом случае модуль всех частей равенства = − = − = − совпадает как объем параллелипипеда.

Аналитический метод 1)Формулы преобразования систем координат.

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

1. Афинная СК

Рассмотрим 2 афф.СК (0,(e1,e2,e3)) и (0,(e1’,e2’,e3’))

(e1,e2,e3)=(e1’,e2’,e3’)*A

Теорема. Переход от Аф.СК (o,(e1,e2,e3)) к (o',(e1',e2',e3')) определяется равенством

2. Векторная СК

Переход из векторной СК ′ в определяемая равенством:

= ′ + ′ (или = ′ + ′)

3. Декартова СК

Переход от (o,(i̅’,j̄’,k̄’)) к (o,(i̅,j̄,k̄))

= ′ 1 + ′ 1 + ′ 1 + 0

= ′ 2 + ′ 2 + ′ 2 + 0= ′ 3 + ′ 3 + ′ 3 + 0

2)Основные формулы аналитической геометрии.

1)Выражение координат вектора через координаты его начала и конца:

вектор AB (x2-x1,y2-y1,z2-z1), где т.А(x1,y1,z1), т.B(x2,y2,z2)

2)Расстояние между двумя точками:

|AB|=√( (x2-x1)^2+(y2-y1)^2+ (z2-z1)^2 )

3)Площадь треугольника с вершинами А(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3)

4)Деление отрезка в отношении λ:

5)Угол между векторами

3) Уравнения фигур.

Фигура Ф, определяемая уравнением F(x,y,z), называется алгебраической фигурой порядка P, если F(x,y,z) – многочлен степени Р.Всякую прямую на плоскости можно задать уравнением. Определение: Уравнение фигур - такое уравнение, которым удовлетворяют координаты точек. Основные виды уравнений на плоскости:

1. Общее уравнение

l: Ax + By + C = 0 (A2+B2≠0)

2. Каноническое уравнение

−0 = −0

1 2

3. Параметрическое уравнение:

x=x0+a1t y=y0+a2t

4.Уравнение прямой с угловым коэффициентом

l:y = kx + b

5.Уравнение окружности (A(a,b)-середина окр. B(x,y)-на окр

(x − a)2 + (y − b)2 = R2

сферы: (x − a)2 + (y − b)2 + ( − c)2 = R2)

6. Каноническое уравнение эллипса

22 + 22=1

x= 0 + 1 y= 0 + 2

5. Уравнение с угловым коэф.

y=kx+b

6. Прямая на плоскости в аффинной с/к

Au1+Bu2=0, где ū(u1,u2) || L.

Уравнения прямой в пространстве

2.Канонические (стандартные) уравнения прямой, проходящей через точку М0 (x0, y0, z0) и имеющей направляющий вектор ̅a( 1, 2, 3)

−0 = −0 = −01 2 3

3.Параметрические уравнения прямой

x= x0 + 1t

y= y0 + 2t

z= z0 + 3t

4.Проходящая через 2 точки

−0 = −0 = −0

1−0 1−0 1−0

Уравнения плоскости в пространстве

1. Общее уравнение плоскости:

Ax+By+Cz+D=0 (A2 + 2 + 2 ≠ 0)

2.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М0(x0,у0,z0) перпендикулярно вектору n(А,В,С) :

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

3.Уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) , М3(x3, у3, z3), не лежащие на одной прямой

4.Параметрическое уравнение плоскости

− 0 = 1 + 1

− 0 = 2 + 2− 0 = 2 + 2

5.Уравнение плоскости пространстве в аффинных c/к. ū(u1,u2,u3)

Au1+Bu2+Cu3=0.

3)Прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве в декартовых координатах.

5)Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости.

Теорема (о расстоянии от точки до плоскости)

Расстояние от т.M(x1,y1,z1) до плоскости П: Ax+By+Cz+D=0. В декар. с/к определяется формулой

( Ax1+By2+Cz1+D) p(M,П)= 2+ 2+ 2

Теорема (о расстоянии от точки до прямой)

M(x1,y1) L: Ax+By+C=0.