- •Часть I. Механика
- •Раздел 1. Введение
- •Раздел 2. Кинематика
- •6. Волновое движение
- •Раздел 3. Законы динамики
- •Раздел 4. Законы сохранения
- •1. Момент импульса считается постоянным в замкнутой систем.
- •2. Если система не замкнута, но существует ось, относительно которой векторная сумма моментов сил равна нулю, то момент импульса системы, относительно этой же оси, остаётся постоянным.
- •Раздел 5. Гравитационное поле
- •Раздел 6. Движение в неинерциальных системах отсчета
- •Раздел 7. Элементы теории относительности. Примеры.
Раздел 3. Законы динамики
Основная задача динамики. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Взаимодействие тел. Сила. Масса и импульс тела. Второй закон Ньютона, и его особенности. Третий закон Ньютона и границы его применимости.
Твердое тело. Момент импульса, момент силы, момент инерции. Уравнение моментов – дифференциальное уравнение движения твердого тела. Уравнения динамики колебательного и волнового движений (волновое уравнение). Примеры, практические задачи.
Динамика изучает движение материальной точки (тел) вместе с причинами, вызывающими это движение.
Первый закон динамики: сякое тело движется прямолинейно и равномерно или находится в покое до тех пор и поскольку действие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние движения.
1. Действие со стороны других тел (сила) необходима, чтобы изменить состояние движения.
2. Покой и равномерное прямолинейное движение есть два одинаковых состояния.
3. Механическое движение всегда относительно.
4. Первый закон позволяет выбрать инерциальную систему отсчета, то есть такую систему отсчета, в которой свободное тело движется прямолинейно и равномерно или покоится.
Сила –количественная мера действия одного тела на другое.
Импульс . По первому закону действие одного тела на другое проявляет себя в изменении скорости или импульса: .
Второй закон динамики: В качестве количественной меры действия (силы), Ньютон предложил взять скорость изменения импульса тела, на которое производится это действие:
(1)
Решение данного уравнения содержит в себе кинематические уравнения движения материальной точки.
Для тела переменной массы:
Второй закон Ньютона в форме (1) наиболее общий, чем в форме =m Уравнение в форме: (2) есть дифференциальное уравнение движения в переменных Ньютона (r,t). По заданной силе и начальным условиям решение (2) даёт кинематический закон движения .
Второй закон в другом виде:
Умножим скалярно на )= т.к
(3) есть элементарная механическая работа. Энергия - есть способность системы (тела) совершить работу, тогда правая часть (3) есть элементарная энергия
При совершении работы силой (телом) энергия изменяется, то есть: . (4)
Таким образом, действие силы во времени изменяет импульс тела; действие силы в пространстве - изменяет энергию тела. Для получения кинематических уравнений движения нужно решать дифференциальное уравнение вида (1), (2).или (3),(4). В первом случае решение называется в переменных Ньютона, во втором, в переменных Гамильтона.
Уравнение (1) можно решить как в координатной, так и векторной формах.
=a+at
; :.
Механическая энергия делится на энергию движения (кинетическую), зависящую от скорости движения (импульса) тела и энергию, зависящую от положения (координат) взаимодействующих тел (потенциальную). Полная энергия: +Решение уравнения (3) в переменных Гамильтона обычно используется в системах, состоящих из большого числа элементов (частиц), в которых состояние системы определяется её энергетическим состоянием, а не координатами частиц:.
Подробнее - во второй части физики – молекулярной и статистической физике.
Силы делятся по физической природе на:
Гравитационные 3. Сильные внутри атома и ядра
Электромагнитные 4.Слабые между элементарными частицами.
Третий закон динамики:
Каждому действию есть равное и противоположное противодействие. Или тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению.
Границы применения: Зависят от скорости передачи информации
Тела меняют положение, следовательно, какое-то время
закон не будет действовать. Закон будет выполняться
между гравитационным полем Земли и планетой. Но
между Землёй и планетой, как точечными телами,
действие закона будет запаздывать на время прихода
информации о перемещении.
Твёрдое тело. Уравнение моментов.
Рассмотрим пример: Диск имеет неподвижную ось, относительно
которой он может свободно вращаться.
Приложенную к ободу диска силу разложим на две составляющие
.
Таким образом, проекция наOO' = 0, а проекция наOO' 0.
Следовательно: - вращения не будет,- вращение будет.
Необходимым и достаточным условием изменения вращательного движения тела относительно неподвижной оси является наличие момента силы относительно этой оси. Наличие приложенной к телу силы необходимое, но не достаточное условие.
Вращательно движение вокруг неподвижной оси:
;
Возьмем уравнение для одной точки твердого тела: (для i-ой точки).
Перейдем к моменту силы (умножим на :. Таким образом, для i-ой точки, где- момент импульса.
Определим, момент силы через момент импульса точки:
Следовательно, в скалярной форме для одной i-ой точки: . Моменты сил (как векторы) могут быть просуммированы по всем точкам тела:
Моментом инерции твердого тела относительно оси мы называем сумму произведений масс материальных точек тела на квадрат их расстояний до оси: .
Если нам удастся предварительно найти момент инерции тела- I относительно оси, то выражение для уравнения движения твёрдого тела будет описываться одним уравнением:
Тогда произвольное движение по теореме Эйлера будет описываться системой:
Уравнение моментов в общем случае нужно записать относительно некоторой мгновенной оси, выбор которой весьма не прост.
Выясним физический смысл двух величин: массы и момента инерции.
Свойства массы:
Свойство тела сохранять состояние движения – инерция.
ускорение тем больше, чем меньше масса (тело меняет свое состояние движения тем меньше, чем больше масса). То есть масса определяет меру инерции.
m – мера кинетической энергии .
Аналогично, момент инерции является мерой инерции и кинетической энергии:
- то есть при одном и том же моменте силы- M изменение состояния движения будет тем меньше, чем больше I. Следовательно, I – мера инерции во вращательном движении.
- чем больше момент инерции, при одной и той же скорости вращения, тем больше энергия. То есть I – мера кинетической энергии.
Примеры нахождения момента инерции:
Однородный стержень длины и массыm.
Пусть масса единицы длины = .
Обруча радиуса R и массы m.
: - масса единицы длины кольца.
Момент инерции диска, относительно оси, проходящей через центр масс .
Для цилиндра: 5) Для шара:
Теорема Штейнера-Гюгенса
Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции тела, относительно оси проходящего через центр масс параллельно данной – , плюс произведение массы тела на квадрат расстояние между осями:
Уравнение моментов - дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела.
Математически уравнение моментов и уравнение второго закона Ньютона относятся к одному типу и имеют одинаковое по виду решения. 1) –кинематическое уравнение вращательного движения.
Динамика колебательного движения
- запись гармонического колебания, где A – амплитуда, - начальная фаза.
- фаза (через функцию sinus) показывает, какую часть
смещение в данный момент времени составляет от амплитуды.
Пусть t = 0,
- гармоническая функция
Так как , то= --уравнение динамики. Сила, пропорциональная смещению и направленная в сторону противоположную ему, вызывает колебательное движение.
.
Уравнение колебаний в канонической форме
Выведем на примере пружинного маятника.
равновесия.
–динамическое уравнение колебаний в каноническом виде.
- постоянная величина, характеризующая свойства системы. В нашем случае,
Где . Решение уравнения:есть гармоническая функция Постоянные –- функции начальных условий.
Полное начальное условие: t = 0, .
Пример: пусть при t = 0. 0.
две неизвестные величины: Воспользуемся вторым условием:
. Тогда .
Найдем каноническое уравнение математического маятника:
- каноническое уравнение математического
маятника . Уравнение:X(t)=
Физический маятник - твёрдое тело, имеющее ось вращения.
Запишем уравнение моментов: ,.
Колебания – часть вращения.
–дифференциальное уравнение в каноническом виде.
. Уравнение колебаний: Sin(
Динамика волнового движения. Волновое уравнение. Кинематическое уравнение волны: –волна распространяется в положительном направлении Ox. – в отрицательном направлении Ox.
Таким образом, Продифференцируем дважды и прировняем вторые производные:
=
–волновое уравнение в канонической форме, где C – характеризует упругие свойства среды и свойства колебательной системы.