n1

1.Электрические заряды и их взаимодействие. Закон кулона. Вектор напряженности электрического поля.

Все тела в природе способны электризоваться, т.е. приобретать электрический заряд. Наличие электрического заряда проявляется в том, что заряженное тело взаимодействует с другими заряженными телами. Имеются 2 вида электрических зарядов, условно называемых положительными и отрицательными. Заряды одного знака отталкиваются, заряды разных знаков притягиваются. Электрический заряд является свойством некоторых элементарных чатиц, например электрон имеет отрицательный заряд –e, протон – положительный заряд +e, нейтрон – заряд равный нулю. Заряд элементарных частиц одинаковый по величине и называется элементарным зарядом

. Электрические заряды входят в состав атомов и молекул любого вещества. Обычно частицы, несущие отрицательный и положительный заряды присутствуют в веществе в одинаковом количестве (молекула нейтральна). Если создать избыток положительно заряженных частиц в теле, то тело станет положительно заряженным (положительно заряженный ион), и наоборот, если отрицательно заряженных частиц больше, то будем иметь отрицательно заряженное тело ( отрицательный ион).

В 1785 году Кулон экспериментально установил закон взаимодействия точечных зарядов. Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями от этого тела до других тел, несущих электрический заряд.

Кулон с помощью крутильных весов измерял силу взаимодействия двух заряженных шариков в зависимости от величины зарядов на них и от расстояния между ними.Закон: Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Направление силы совпадает с направлением прямой соединяющей заряды.

. k – коэффициент пропорциональности , предполагается положительным, - единичный вектор, имеющий направление от одного заряда к другому.

Если имеется система зарядов : заряд q_a и еще n зарядов, то равнодействующая сила с которой действует заряд q_a определяется формулой - сила с которой действует на заряд q_a заряд q_i в отсутствие остальных n-1 зарядов. Таким образом можно вычислить силу взаимодействия между зарядами сосредоточенными на телах конечных размеров, для этого надо разбить каждый из зарядов на малые заряды, которые можно считать точенными, найти силу взаимодействия между всеми точенными зарядами взятыми попарно и найти векторную сумму этих сил.

В симтеме единиц СГСЭ ( абсолютная электростатическая система единиц: грамм, см, секунда, для заряда – СГСЭ абсолютная электростатическая единица заряда k=1 и закон кулона имеет вид .В системе СИ заряд измеряется в Кулонах опытным путем установили, что 1Кл =2.998 * 10⁹ единиц заряда СГСЭ. Элементарный заряд выраженный в Кулонах равен e= 1.60* 10^-19Кл.

В системе единиц СИ коэффициент пропорциональности в законе Кулона равен - электростатическая постоянная = 0.885 *10^-11Ф/м (Фарада/метр).

Напряженность электростатического поля

Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электрическое поле. Это поле проявляется в том, что помещенный в какую-либо его точку

Электрический заряд испытывает воздействие силы. Взаимодействие между заряждами осуществляется через электрическое поле. Будем вносить пробные заряды в поле неподвижного точечного заряда и измеряя силы, действующие на пробный заряд было установлено что отношение для всех пробных зарядов остается постоянным и зависит только от q и r, определяющих поле в данной точке.

Величину , характеризующую электрическое поле называют напряженностью электрического поля в данной точке пространства.

Направление вектора напряженности E – вдоль радиальной прямой, проходящей через заряд и данную точку поля, от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен.

2. Принцип суперпозиции электрических полей. Напряженность электрического поля, создаваемая системой точечных зарядов, непрерывным распределением зарядов. Поле диполя, бесконечной прямолинейной однородно заряженной нити.

Напряженность электростатического поля

Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электрическое поле. Это поле проявляется в том, что помещенный в какую-либо его точку

Электрический заряд испытывает воздействие силы. Взаимодействие между заряждами осуществляется через электрическое поле. Будем вносить пробные заряды в поле неподвижного точечного заряда и измеряя силы, действующие на пробный заряд было

установлено что отношение для всех пробных зарядов остается постоянным и зависит только от q и r, определяющих поле в данной точке. Величину , характеризующую электрическое поле называют напряженностью электрического поля в данной точке пространства.

Направление вектора напряженности E – вдоль радиальной прямой, проходящей через заряд и данную точку поля, от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен.

На всякий точечный заряд q в точке поля с напряженностью E будет действовать сила . В случае отрицательного q направления векторов и совпадают. В случае отрицательного q направления векторов и противоположны. Так как сила с которой система зарядов действует на заряд не входящий в эту систему зарядов, равна векторной сумме сил, с которыми действуют на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности, вытекает принцип суперпозиции (наложения) электрических полей: напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создал бы каждый из зарядов в отдельности.

Напряженность электрического поля от нескольких зарядов находится по правилу векторного сложения полей.

Принцип суперпозиции позволяет вычислять напряженность поля любой системы зарядов. Разбив протяженные заряды на достаточно малые доли, любую систему можно свести к совокупности точечных зарядов.

Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно протяженной плоскостью

, где σ – поверхностная плотность заряда на плоскости.

Напряженность поля, образованного бесконечно длинной нитью

где τ– линейная плотность заряда на нити α расстояние от нити.

Диполем называется система двух разноименных зарядов одинаковых по величине +q и –q, расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до тех точек системы, в которых определяется поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя.

, p =ql – характеристика диполя – электрический момент pn=pcosθ. Положив θ=0, получим напряженность поля на оси диполя

направлен по оси диполя.

Положив θ=π/.2, получим напряженность поля на оси диполя

параллелен оси диполя.

Характерным для напряженности поля является то обстоятельство, что она убывает с расстоянием от диполя как , т.е. быстрее чем напряженность поля точечного заряда.

3. Силовые линии напряженности электрического поля. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Остроградского-Гаусса, имеры ее применения (поле, создаваемое однородной бесконечной плоскостью).

Электрическое поле можно описывать, указав для каждой точки величину и направление вектора E. Электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности электрического поля. Линии напряженности проводят таким образом, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора E.

Густота линий выбирается таким образом, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям площадки, было равна числовому значению вектора E. Тогда по картине линий вектора E можно судить о величине и направлении напряженности в разных точках пространства.

Поток вектора.

Величина - поток вектора через поверхность. Поток вектора – это алгебраическая величина, знак которой зависит от выбор направления нормали к элементарной площадке, на которые разбивается поверхность S.

В случае замкнутых поверхностей принято вычислять поток «вытекающий» наружу, следовательно нормаль всегда подразумевается направленная наружу (внешняя нормаль).

Дивергенцией называется величина . Интеграл берется по произвольной замкнутой поверхности S, окружающей точку , V – объем ограниченный этой поверхностью. Так как поток через замкнутую поверхность определяется по формуле ,

то разделив это выражение на , найдем дивергенцию вектора a в точке P .

Теорема Остроградского-Гаусса

Зная дивергенцию вектора в каждой точке пространства, можно вычислить поток этого вектора через любую замкнутую поверхность конечных размеров. Соотношение называется теоремой Остроградского-Гаусса. Интеграл в левой части вычисляется по произвольной замкнутой поверхности, в правой части – по объему, ограниченному этой поверхностью.

Силы, действующие на заряд q являются консервативными, т.е. работа этих сил на любом замкнутом контуре равна нулю:

. Сократив на q получим соотношение. Интеграл, стоящий в левой части представляет собой циркуляцию вектора по контуру Г. Т.о. циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру равна нулю. Возьмем произвольную поверхность, опирающуюся на контур Г, для которого вычисляется циркуляция.

Согласно теореме Стокса () интеграл от ротора Е, взятый по этой поверхности, равен циркуляции вектора Е по контуру Г:

, т.к. циркуляция равна нулю, получим, т.о. ротор вектора Е в каждой точке поля равен нулю .Следовательно электростатическое поле безвихревое.

Теорема Гаусса

Поток вектора E равен . Знак потока совпадает со знаком заряда. Допустим, что внутри замкнутой поверхности находится n точечных зарядов.

В силу принципа суперпозиции напряженность E, создаваемая всеми зарядами, равна сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Поэтому

- теорема Гаусса: ток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, делен на . При рассмотрении полей, создаваемых макроскопическими зарядами, отвлекаются от дискретной структуры этих зарядов и считают их распределенными в пространстве непрерывным образом с конечной всюду плотностью. Объемная плотность заряда ρ определяется по формуле .

В данном случае физически малый объем должен быть мал, чтобы плотность была одинаковой, но и не слишком мал, чтобы не появилась дискретность заряда. Зная плотность заряда в каждой точке пространства, можно вычислить суммарный заряд

заменяя поверхностный интеграл объемным, получим . И следовательно дивергенция вектора напряженности связана с плотностью заряда в той же точке равенством. – теорема Гаусса в дифференциальной форме.

Теорема Гаусса позволяет вычислять напряженность полей. Поверхностная плотность определяется по формуле ( если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое), линейная плотность (если заряд равномерно распределен в каждом сечении).

Поле бесконечной заряженной плоскости.

Пусть поверхностная плотность заряда во всех точках одинакова и равна σ. Будем считать заряд положительным. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность поля в любой точке имеет направление перпендикулярное к плоскости.

Далее очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величие и противоположна по направлению. Пусть цилиндрическая поверхность с образующими перпендикулярными к плоскости и основаниями величины , расположенными относительно плоскости симметрично. Применим к поверхности теорему Гаусса. П через боковую поверхность равен нулю, т. к. в каждой точке поверхности равен нулю. Для из которого следует - напряженность поля бесконечной плоскости.

4. Работа сил электрического поля при перемещении заряда. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным зарядом q. В любой точке этого поля на точечный заря действует сила Кулона . Так как сила является центральной, поле этой силы консервативно. Следовательно работа, которую совершается силами поля над зарядом при перемещении из одной точки в другую не зависит от пути.

Работа равна , dl – элементарное перемещение. . - потенциальная энергия. Работа консервативного поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии. .

и следовательно

. Интеграл может быть взят по любой Лии, соединяющей точки 1 и 2. Для обхода по замкнутому контуру , т.е. . Это соотношение справедливо только для электростатического поля.

Теорема о циркуляции.

Силы, действующие на заряд q являются консервативными, т.е. работа этих сил на любом замкнутом контуре равна нулю:

. Сократив на q получим соотношение. Интеграл, стоящий в левой части представляет собой циркуляцию вектора по контуру Г.

Т.о. циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру равна нулю. Возьмем произвольную поверхность, опирающуюся на контур Г, для которого вычисляется циркуляция. Согласно теореме Стокса () интеграл от ротора Е, взятый по этой поверхности, равен циркуляции вектора Е по контуру Г:

, т.к. циркуляция равна нулю, получим, т.о. ротор вектора Е в каждой точке поля равен нулю .Следовательно электростатическое поле безвихревое.

5. Потенциал электростатического поля, разность потенциалов. Потенциал точечного заряда.

Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным зарядом q. В любой точке этого поля на точечный заря действует сила Кулона . Так как сила является центральной, поле этой силы консервативно. Следовательно работа, которую совершается силами поля над зарядом при перемещении из одной точки в другую не зависит от пути.

Работа равна , dl – элементарное перемещение. . - потенциальная энергия. Работа консервативного поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии. .

Будем вносить в поле разные пробные заряды. Разные пробные заряды будут обладать в одной и той же точке разными потенциальными энергиями.

Однако отношение потенциальной энергии к пробному заряду остается одинаковой для всех зарядов. Величина называется потенциалом поля в данной точке и является еще одной характеристикой поля наряду с напряженностью E. Из формулы следует, что потенциал численно равен . – потенциал поля точечного заряда. Потенциал системы n зарядов равен : равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Заряд находящийся в точке поле с потенциалом φ обладает потенциальной энергией . Следовательно работа поля над зарядом q может быть выражена формулой . Таким образом, работа, совершаемая над зарядом полем равна произведению заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Если заряд q из точки с потенциалом φ удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля будет равна нулю.

Следовательно, потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность. Единицы потенциала 1В = 1Дж/1Кл.

Связь между напряженностью поля и его потенциалом

, , , следовательно и .

Напряженность поля точечного заряда , а потенциал поля точечного заряда .

6. Связь вектора напряженности электрического поля с потенциалом. Эквипотенциальные поверхности.

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины напряженности электрического поля E, либо с помощью скалярной величины φ.

Связь между напряженностью поля и его потенциалом

Сила связана с напряженностью

, потенциальная энергия связана с потенциалом , сила связана с потенциальной энергией, следовательно, и .- это соотношение устанавливает связь между напряженностью и потенциалом.

Т. о. По известным значениям потенциала можно найти значение напряженности поля. Можно решить и обратную задачу, по заданным значениям напряженности в каждой точке найти разность потенциала между двумя произвольными точками поля.

Это следует из формул для работы , также работа может быть вычислена по формуле . Приравнивая друг к другу эти выражения и сократив на q. Получим соотношение .

Воображаемая поверхность все точки которой имеют одинаковый потенциал, называются эквипотенциальной поверхностью. Ее уравнение имеет вид . При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок dl потенциал не изменится (). Так как проекция вектора напряженности на произвольное направление равна , то следовательно касательная к поверхности составляющая вектор напряженности E , равна нулю.

Отсюда заключаем, что вектор напряженности в каждой точке направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через данную точку, а линии напряженности в каждой точке ортогональны эквипотенциальной поверхностям. Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля и следовательно таких поверхностей можно построить бесконечное множество. , Условились проводить поверхности таким образом чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была всюду одной и той же.

Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности поля. Для однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему одинаково отстоящих друг от друга плоскостей перпендикулярных к направлению поля.

7. Проводники в электростатическом поле. Напряженность поля внутри и вне проводника. Электроемкость проводника (рассмотреть проводник шарообразной формы)

Носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов на проводнике необходимо выполнение следующих условий:

1. напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю ; (потенциал внутри проводника должен быть постоянным)

2. напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности ..

Следовательно в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной. Если проводящему телу сообщить заряд q, то он распределиться так, чтобы соблюдались условия равновесия. Пусть имеет произвольную замкнутую поверхность полностью заключенную внутри тела. При равновесии зарядов поле в каждой точке отсутствует, поэтому поток электрического смещения равен нулю

По теореме Гаусса сумма зарядов внутри поверхности тоже будет равна нулю. Следовательно при равновесии зарядов ни в каком месте проводника не может быть избытка зарядов, они распределяются равномерно по поверхности с некоторой плотностью σ.

Избыточный заряд распределяется на полом проводнике также как и на сплошном – на наружной поверхности. При внесении незаряженного проводника в электрическое поле носители заряда приходят в движение: положительные в направлении вектора , отрицательные в противоположную сторону. В результате на концах проводника возникают заряды противоположных знаков, называемые индуцированными зарядами. Поле этих зарядов направлено противоположно внешнему полю. Перераспределение зарядов происходит до тех пор, пока поле внутри проводника не станет равным нулю, а линии напряженности вне проводника – перпендикулярными к его поверхности.

Т. о. нейтральный проводник, внесенный в электрическое поле, разрывает часть линий напряженности – они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных. Индуцированные заряды распределяются во внешней поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении зарядов поле внутри проводника становится равным нулю . На этом основывается электростатическая защита. Когда какой-то прибор хотят защитить от воздействия внешнего поля, его окружают проводящим экраном.

Внешнее поле компенсируется внутри экрана возникающими на его поверхности индуцированными зарядами. Такой экран может быть и не сплошным, а сделанным из густой сетки.

Электороемкость. Пусть имеем уединенный проводник, тогда его потенциал пропорционален находящемуся на нем заряду. Действительно увеличение увеличение в несколько раз заряда приводит к увеличению в то же число раз напряженности поля в каждой точке окружающего проводник пространства. Соответственно в такое же число раз возрастает и работа переноса единичного заряда из бесконечности на поверхность проводника, т.е. потенциал проводника. Т.о. для уединенного проводника .

Коэффициент пропорциональности С называется электроемкостью проводника (или емкостью) . Емкость величина численно равная заряду, сообщение которого изменяет потенциал проводника на единицу. Е диница емкости – Фарада (Ф) 1Ф = 1Кл/1В (Вольт).

Вычислим емкость уединенного шара.

Сначала вычислим потенциал уединенного шара радиусом R. Между разностью потенциалов и напряженностью поля существует связь,

поэтому потенциал можно найти проинтегрировав выражение для напряженности поля вне сферы по r от R до бесконечности () (потенциал на бесконечности полагаем равным нулю) . Подставим в формулу для емкости и получим . Емкостью 1Ф обладает уединенный шар радиуса 9*10⁹м, т.е. радиуса в 1500 раз больше радиуса Земли. Следовательно, фарад очень большая величина и на практике используются более мелкие единицы миллифарадом (мФ), микро фарфдом (мкФ), пикофарадом (пФ).

8. Конденсаторы. Емкость плоского конденсатора. Последовательно и параллельное соединение конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора. Плотность энергии электрического поля.

Уединенные проводники обладают небольшой емкостью. Даже шар размером с Землю обладает емкостью только 700 мкФ. Однако на практике бывает потребность в устройствах, которые при небольшом относительно окружающих тел потенциале накапливали бы на себе (конденсировали) большие по величине заряды. Такие устройства называются конденсаторами и в их основу положен тот факт, что электроемкость проводников возрастает при приближении к ним других тел

. Это вызвано тем, что под действием поля, создаваемого заряженным проводником, на поднесенном к нему теле возникают индуцированные заряды. Заряды противоположные по знаку заряду проводника q располагаются ближе к проводнику и оказывают влияние на проводник. А именно его потенциал уменьшается, а следовательно емкость возрастает.

Конденсаторы делают в виде двух проводников, помещенных близко друг к другу, образующие конденсатор проводники называются его обкладками. Чтобы внешние тела не оказывали влияние на емкость конденсатора, их делают такими (по форме и расположению друг относительно друга), чтобы поле, создаваемое зарядами было сосредоточено внутри конденсатора.

Это могут быть две пластинки, две концентрические сферы, два коаксиальных цилиндра. Следовательно, сущ. плоские, сферические и цилиндрические конденсаторы. Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, линии напряженности начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. И след. Сторонние заряды, возникающие на обкладках, имеют одинаковую величину и противоположны по знаку.

Основной характеристикой конденсатора является его емкость, под которой понимают величину, пропорциональную заряду и обратно пропорциональную разности потенциалов между обкладками .

Разность потенциалов называют напряжением между соответствующими точками и обозначают буквой U (напряжение между обкладками). Тогда можно переписать формулу . Емкость конденсаторов измеряется в тех же единицах, что и емкость уединенного проводника. Величина емкости зависит от геометрии конденсатора (форме, размеров, расстояния между обкладками), а также диэлетрическими свойствами среды, заполняющими пространство между обкладками.

Например емкость плоского конденсатора вычисляется так. Если площадь обкладок равна S, а заряд на ней q, то напряженность поля между обкладками (поле 2 –х разноимееных плоскостей) .

Т.к. разность потенциалов равна и след. , S – площадь одной обкладки, d - расстояние между обкладками, ε – диэлектрическая проницаемость вещества.

Емкость сферического конденсатора , - радиусы внутренней внешней и обкладок.

Энергия электрического поля.

Заряд q, находящийся на некотором проводнике можно рассматривать как систему точечных зарядов . Используем ф-лу для потенциальной энергии системы зарядов . Здесь - потенциал создаваемый всеми зарядами, кроме в той точке, где помещается заряд . Поверхность проводника является эквипотенциальной. Поэтому потенциалы всех точек, в которых находятся точечные заряды одинаковы и равны потенциалу проводника .

Тогда энергия заряженного проводника

.

Пусть теперь потенциал обкладки с зарядом +q равен , а потенциал обкладки с зарядом -q равен , тогда

.

Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие поле в зазоре

, , , объем занимаемый полем.

Если поле однородно( например, поле плоского конденсатора), заключенная в нем энергия распределена в пространстве равномерно, с постоянной плотностью равной энергии деленной на объем .

Зная плотность энергии можно вычислить энергию поля

.

Параллельное соединение конденсаторов.

Параллельное соединение : соединены все положительные и отрицательно заряженные пластины между собой.

Последовательное соединение: отрицательно заряженная пластина одного конденсатора соединена с положительно заряженной пластиной другого конденсатора рис. Ландсберг стр. 95

В случае параллельного все конденсаторы заряжаются до одного и того же напряжения U, но заряды на них могут быть различными. Если электроемкости равны С1, С2, Сn, то заряды q1=C1U, q2=C2U и т.д. Q=q1+q2+…=(C1+C2+…)U и след. .

В случае последовательного соединения на вех конденсаторах одинаковый заряд, но разные напряжения U1=q/C1, U2=q/C2…Суммарное напряжение между крайними (свободными) пластинами U=U1+U2+…+Un=, Учитывая получим .

Т. О. электроемкость группы последовательно соединенных конденсаторов вседлв меньше чем параллельно соединенных.

9. Электрический дипольный момент электричекски нейтральной системы зарядов. Полярные и неполярные диэлектрики, их поляризация в электр. поле. Вектор поляризации.

Диполем называется система двух разноименных зарядов одинаковых по величине +q и –q, расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до тех точек системы, в которых определяется поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя.

Вычислим потенциал поля диполя. Поле диполя обладает осевой симметрией. Поэтому поле в любой точке плоскости, проходящей через ось диполя будет одним и тем же и Е будет лежать в этой плоскости. Положение точки поля будем характеризовать радиус-вектором r и углом θ в полярных координатах. Введем вектор l от отрицательного заряда к положительному. Положение зарядов от центра диполя будем определять вектором а l=2a. Расстояние от точки до зарядов обозначим векторами r+ ,r-.

Потенциал в точке . Произведение можно заменить , разность . След. , т.к .

, p =ql – характеристика диполя – электрический момент

Вектор р направлен по оси диполя от отрицательного заряда к положительному.

Из формулы след., что поле диполя определяется его электрическим моментом р.

Потенциал диполя убывает быстрее с расстоянием как 1/r².

Напряженность поля диполя

Положив θ=0, получим напряженность поля на оси диполя

направлен по оси диполя.

Положив θ=π/.2, получим напряженность поля на оси диполя

параллелен оси диполя.

Характерным для напряженности поля является то обстоятельство, что она убывает с расстоянием от диполя как , т.е. быстрее чем напряженность поля точечного заряда.

Полярные и неполярные диэлектрики.

Диэлектриками (изолятора ми) называются вещества, не способные проводить электрический ток. Все вещества могут проводить ток, однако вещества, проводящие ток в 10¹⁵ -10²⁰ раз хуже, чем проводники, наз. диэлектриками.

Всякая молекула представляет собой систему зарядов, причем суммарный заряд молекулы равен нулю, молекула нейтральна. Поле, создаваемое такой системой, определяется величиной и ориентацией дипольного электрического момента. Электроны в молекуле все время движутся, но эти скорости так велики, что практически обнаруживается среднее по времени значение дипольного момента .

Поведение молекулы во внешнем электрическом поле определяется также ее дипольным моментом .

Т. о. молекула как в отношении создаваемого ей поля, так и в отношении испытываемых ее во внешнем поле сил эквивалентна диполю. Положительный заряд этого диполя равен суммарному заряду ядер и помещается в центр тяжести положительных зарядов, отрицательный заряд равен суммарному заряду электронов и помещается в центр тяжести отрицательных зарядов.

У симметричных молекул () в отсутствии внешнего поля центры тяжести положительных и отрицательных зарядов совпадают.

Такие молекулы не обладают собственным дипольным моментом и называются неполярными. У несимметричных молекул (и т.п.) центры тяжести зарядов разных знаков сдвинуты друг относительно друга. В этом случае молекулы обладают собственным дипольным моментом и назыв. полярными.

Под действием внешнего поля заряды в неполярной молекуле смещаются друг относительно друга: положительные по направлению поля, отрицательные против поля. В результате молекула приобретает дипольный момент.

Если ввести величину β – поляризуемость молекулы и учесть, что направления ри Е можно записать . Дипольный момент имеет размерность Кл L

Размерность , поэтому размерность поляризуемости .

Поляризация диэлектриков.

В отсутствие внешнего поля дипольные моменты диэлектрика либо равны нулю (неполярные молекулы), либо распределены по направлениям в пространстве хаотическим образом (полярные молекулы). В обоих случаях суммарный дипольный момент равен нулю.

Под действием внешнего поля диэлектрик поляризуется, т.е результирующий дипольный момент диэлектрика становится отличным от нуля. В качестве величины, характеризующей степень поляризации диэлектрика берут дипольный момент единицы объема. Если поле или диэлектрик (или они оба) неоднородны, степень поляризации в разных точках различен. Чтобы охарактеризовать поляризацию в данной точке, нужно выделить заключающий в себе эту точку физически малый объем , и найти сумму моментов заключенных в этом объеме молекул и взять отношение .

Векторная величина называется поляризованностью диэлектрика. Дипольный момент имеет размерность . След. размерность - .

У изотропных диэлектриков любого типа поляризованность связана с напряженностью поля в той же точке простым соотношением , где не зависящая от величина, называемая диэлектрической проницаемостью диэлектрика, является безразмерной. Для неполярных диэлектриков также справедлива эта формула.

В случае полярных диэлектриков, ориентирующему действию внешнего поля противостоит тепловое движение молекул, которое стремится разбросать их дипольные моменты по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая преимущественная ориентация дипольных моментов молекул в направлении поля. Поляризованность пропорциональна напряженности поля, т.е. соответствует формуле (выше). Диэлектрическая восприимчивость таких диэлектриков обратно пропорциональна абсолютной температуре.

10. Электрическое поле в диэлектрике. Диэлектрическая проницаемость. Свойства полярных диэлектриков: пиро-, пьезо, сегнетоэлектричество.

Заряды, входящие в состав молекулы диэлектрика назыв. связанными. Под действием поля связанные заряды могут только немного смещаться от своих положений равновесия и не могут покинуть пределы молекулы, в которую они входят. ами.

Заряды, которые находятся в диэлектрике, но не входят в состав молекул или заряды за пределами диэлектрика назыв. сторонними.

Поле в диэлектрике является суперпозицией полей созданных сторонними зарядами и полей, созданных связанными зарядами. Результирующее поле назыв. Микроскопическим (или истинным):

.

Т. к. микроскопическое поле сильно изменяется в пределах молекулярных расстояний, используют усредненные по физически бесконечно малому объему значение этих величин. . Усредненное микроскопическое поле , поле сторонних зарядов , поле связанных зарядов и макроскопическое поле – величина .

Поляризованность Р – макроскопическая величина, поэтому при ее вычислении под полем надо подразумевать векторную сумму полей сторонних зарядов и связанных. В вакууме связанных зарядов нет и поле равно полю сторонних зарядов. Можно полу почить связь между плотностью связанных зарядов и дивергенцией поляризованности плотность связанных зарядов равна дивергенции поляризованности Р, взятой с обратным знаком. Связанные заряды имеют теже свойства, что и другие заряды, только не могут покинуть молекулы.

В частности они служат источниками электрического поля, поэтому если плотность связанных зарядов не равна нулю, дивергенцию напряженности поля надо писать в виде: , ρ – плотность сторонних зарядов. некоторые преобразования получим

. Подставляя получим и .

).

В случае, когда внутри диэлектрика нет сторонних зарядов, .

Перепишем формулу для дивергенции электрического поля в виде

, след. . Выражение в скобках обозначим D - электрическое смещение (или электрическая индукция

Т.о. , безразмерная величина - назыв. Относительной диэлектрической проницаемостью или диэлектрической проницаемостью среды.

, т.е. вектор смещения пропорционален вектору напряженности поля. Единица смещения – Кл/м². Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности сторонних зарядов . В вакууме Р=0 , так что .Единица потока – Кл.

Сегнетоэлектрики.

Сущ. Группа веществ, которые могут обладать спонтанной (самопроизвольной) поляризуемостью в отсутствие вешнего поля.Это явление было первоначально открыт для сегнетовой соли, поэтому вещества с такими свойствами назыв. сегнетоэлектриками.

Особенности сегнетоэлектриков:

1 .у обычных диэлектриков ε несколько единиц и в исключительных случаях, как у воды ε=81 несколько десятков единиц, у сегнетоэлектриков ε бывает порядка нескольких тысяч.

2.Зависимость Р от Е не является линейной, и след. диэлектрическая проницаемость зависит от напряженности поля.

3.При изменении поля значение поляризованности Р зависит не только от величины поля в данный момент, но и от величины поля в предшествующие моменты, те.е. зависит от предистории диэлектрика. Это явление называется гистерезисом. (Петля гистерезиса,

Сегнетоэлектриками могут быть только кристаллические вещества, у которых отсутствует центр симметрии. Взаимодействие частиц в кристалле приводит к тому, что их дипольные моменты спонтанно устанавливаются параллельно друг другу. Для каждого сегнетоэлектрика имеется характерная температура при которой вещество утрачивает необычные свойства. Эта температура назыв. точкой Кюри. Напр., сегнетовая соль имеет точку Кюри -15 С и +22С.

Пироэлектрики – кристаллические диэлектрики, на поверхности которых при изменении температуры возникают электрические заряды. Появление электрических зарядов связано с изменением спонтанной поляризации. Такими свойствами обладают кристаллы турмалина.

Пьезоэлектрики – вещества, в которых при определенных упругих деформациях (напряженностях) возникает электрическая поляризация даже в отсутствие электрического внешнего поля. (прямой пьезоэффект), и наоборот под воздействием электрического поля возникает механические деформации (обратный пьезоэффект).

Наблюдается только в кристаллах, не имеющих центра симметрии. Используется в технике для преобразования механических колебаний в электрические и наоборот. Это основные материалы акустоэлектроники. Пьезозажигалка в быту.

11. Постоянный электрический ток. Сила и плотность тока. Электродвижущая сила. Сопротивление проводников. Последовательное и параллельное соединение проводников. Закон Ома для однородного и неоднородного участков цепи.

Всякое упорядоченное движение заряженных частиц называется электрическим током. За направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов. Электрический ток, проходящий через данную поверхность, характеризуется силой тока I.

Сила тока есть скалярная величина, численно равная заряду dq, который переноситься через площадку S в единицу времени, т.е.

(17.1)

Если за любые равные промежутки времени через любое сечение проводника проходят одинаковые количества электричества и направление движения зарядов не изменяется, то такой ток называется постоянным и тогда I=q/t. В системе СИ единица тока является основной и носит название - Ампер.

Электрический ток может быть распределен по поверхности, через которую он течет, неравномерно.dI Для характеристики направления электрического тока в различных точках рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхности вводится вектор плотности тока Он совпадает по направлению с движением положительно заряженных частиц -носителей заряда и численно равен отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхности, нормальной к направлению движения заряженных частиц, к площади dS этого элемета

17.2

Если ток постоянный, то выражение (17.2) можно переписать в виде:

т.е. плотность тока есть векторная величина, направленная вдоль вектора скорости упорядоченного движения положительных зарядов и численно равная количеству электричества, протекающего за единицу времени через единицу площади, ориентированной перпендикулярно току.

Если в проводнике создать электрическое поле и не принять мер для его поддержания, то, как было уже установлено, перемещение носителей заряда приведет очень быстро к тому, что поле внутри проводника исчезнет и, следовательно, ток прекратиться

.Для того чтобы поддерживать ток достаточно долго, нужно от конца проводника с меньшим потенциалом (носители тока предполагаются положительными) непрерывно отводить приносимые сюда током заряды, а к концу с большим потенциалом непрерывно их подводить. Т.е. необходимо осуществить круговорот зарядов, при котором они двигались бы по замкнутому пути (17.1). Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю. Поэтому в замкнутой цепи наряду с участками, на которых положительные заряды движутся в сторону убывания потенциала, должны иметься участки, на которых перенос положительных зарядов происходит в направлении возрастания , т.е. против сил электростатического поля

Перемещение, зарядов на этих участках возможно лишь с помощью сил не электростатического происхождения, называемых сторонними силами. Таким образом, для поддержания тока необходимы сторонние силы, действующие либо на всем протяжении цепи, либо на отдельных ее участках. Они могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией носителей заряда в неоднородной среде или через границу двух разнородных, веществ, электрическими (но не электростатическими) полями, порожденными меняющимися во времени магнитными полями и т.д.

Сторонние силы можно охарактеризовать работой, которую они совершают над перемещающимися по цепи зарядами. Эта работа складываеться из работы, совершаемой против электрического поля внутри источника тока (А_ист и работы, совершаемой против сил сопративления среды (А’), т.е. А_ст=А_ист+А’

Величина, равная отношению работы, которую совершают сторонние силы при перемещении точечного положительного заряда вдоль всей цепи, включая и источник тока, к заряду , называется электродвижущей силой источника тока:

(17.3)

Работа против сил электрического поля, по определению равна

Если полюсы источника разомкнуты, то и тогда

т.е. эдс источника тока при разомкнутой внешней цепи равна разности потенциалов, которая создается на его полюсах.

Таким образом, размерность эдс совпадает с размерностью потенциала. Поэтому измеряется в тех же единицах, что и - в вольтах. Стороннюю силу F_ст, действующую на заряд, можно представить в виде

F_ст=E*q

Векторную величину Е* называют напряженностью поля сторонних сил. Работу сторонних сил над зарядом q на всём протяжении замкнутой цепи можно выразить следующим образом:

Разделив эту работу на q , получим эдс, действующую в цепи:

Таким образом, эдс, действующая в замкнутой цепи, может быть определена как циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил.

Для участка цепи электродвижущая сила, действующая на некотором участке 1 -2 , очевидно равна

Кроме сторонних сил на заряд действуют силы электростатического поля

Следовательно, результирующая сила, действующая в каждой точке цепи на заряд q, равна

Работа, совершаемая этой силой над зарядом q на участке цепи 1-2, дается выражением

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю, так что

Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется падением напряжения или просто напряжением U на данном участке цепи. Из уравнения следует, что

При отсутствии сторонних сил напряжение U совпадает с разностью потенциалов

Закон Ома для однородного участка цепи

Однородным называется участок цепи, в котором не действуют сторонние силы.

Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике:

Величина R называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей сопротивления служит Ом, равный сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении 1В течет ток в 1 А.

Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника .

где - длина проводника, S - площадь поперечного сечения, - зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением вещества.

Закон Ома для неоднородного участка цепи

Для любой точки внутри проводника напряженность результирующего поля равна сумме напряженности поля кулоновских сил и поля сторонних сил . Подставляя в (17.6), получим

Умножим скалярно обе части на вектор , численно равный элементу длины проводника и направленный по касательной к проводнику в ту же сторону, что и вектор плотности тока

Так как скалярное произведение совпадающих по направлению векторов и , равно произведению их модулей, то это равенство можно переписать в виде

С учетом

Интегрируя по длине проводника от сечения 1 до некоторого сечения 2 и учитывая, что сила тока во всех сечениях проводника одинакова, получаем

(

17.7)

Подставляя (17.10), (17.9) и (17.8) в (17.7),

окончательно получим

Последнее уравнение выражает собой закон Ома в интегральной форме для участка цепи, содержащего эдс и формулируется следующим образом: падение напряжения на участке цепи равно сумме падений электрического потенциала на этом участке и эдс всех источников электрической21 энергии, включённых на участке.

При замкнутой внешней цепи сумма падений электрических потенциалов и эдс источника равна сумме падений напряжения на внутреннем сопротивлении источника и во всей внешней цепи где или

Отсюда

На практике электрические цепи являются совокупностью различных проводников, определенным образом соединенных между собой. При последовательном соединении напряжение на каждом из проводников пропорционально его сопротивлению. Полное напряжение между началом первого и концом последнего сопротивления равно сумме напряжений на каждом сопротивлении. Так как

, то .

При параллельном соединении силы токов в отдельных проводниках обратно пропорциаональны их сопротивлениям.

, учитывая закон Ома для участка цепи, получим для параллельного соединения проводников следующую формулу

.

12. Закон Ома в дифференциальной форме. Удельное сопротивление проводников, его зависимость от температуры. Явление сверхпроводимости.

Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике:

(17.5)

Величина R называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей сопротивления служит Ом, равный сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении 1В течет ток в 1 А.

Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан

. Для однородного цилиндрического проводника .

где - длина проводника, S - площадь поперечного сечения, - зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением вещества.

Величина обратная сопротивлению называется проводимостью

Для большинства металлов удельное сопротивление растет с температурой приблизительно по линейному закону.

где - удельное сопротивление при 0°С, t - температура в градусах Цельсия, - постоянный коэффициент, численно равный примерно 1/273.

Закон Ома можно записать в дифференциальной форме. Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем dV с образующими, dl параллельными вектору плотности тока в данной точке (рис. 17.2). Через поперечное сечение dS цилиндра течет ток силой . Напряжение, приложенное к цилиндру, равно , где Е - напряженность поля в данном месте. Сопротивление цилиндра . Подставив эти значения в уравнение (17.5), получим

Носители заряда в каждой точке движутся в направлении вектора . Поэтому направления векторов и совпадают. Таким образом, можно написать

Эта формула выражает закон Ома в дифференциальной форме.

Явление сверхпроводимости.

Согласно классической электронной теории, удельное сопротивление металлов должно монотонно уменьшаться при охлаждении, оставаясь конечным при всех температурах. Такая зависимость действительно наблюдается на опыте при сравнительно высоких температурах

. При более низких температурах порядка нескольких кельвинов удельное сопротивление многих металлов перестает зависеть от температуры и достигает некоторого предельного значения. Однако наибольший интерес представляет удивительное явление сверхпроводимости, открытое датским физиком Х. Каммерлинг-Оннесом в 1911 году. При некоторой определенной температуре T_кр, различной для разных веществ, удельное сопротивление скачком уменьшается до нуля (рис. 1.12.4). Критическая температура у ртути равна 4,1 К, у аллюминия 1,2 К, у олова 3,7 К.

Сверхпроводимость наблюдается не только у элементов, но и у многих химических соединений и сплавов.

Например, соединение ниобия с оловом (Ni₃Sn) имеет критическую температуру 18 К. Некоторые вещества, переходящие при низких температурах в сверхпроводящее состояние, не являются проводниками при обычных температурах. В то же время такие «хорошие» проводники, как медь и серебро, не становятся сверхпроводниками при низких температурах.

Зависимость удельного сопротивления ρ от абсолютной температуры T при низких температурах: a – нормальный металл; b – сверхпроводник

.Вещества в сверхпроводящем состоянии обладают исключительными свойствами. Практически наиболее важным их них является способность длительное время (многие годы) поддерживать без затухания электрический ток, возбужденный в сверхпроводящей цепи.

Классическая электронная теория не способна объяснить явление сверхпроводимости. Объяснение механизма этого явления было дано только через 60 лет после его открытия на основе квантово-механических представлений.

Научный интерес к сверхпроводимости возрастал по мере открытия новых материалов с более высокими критическими температурами.

Значительный шаг в этом направлении произошел в 1986 году, когда было обнаружено, что у одного сложного керамического соединения T_кр = 35 K. Уже в следующем 1987 году физики сумели создать новую керамику с критической температурой 98 К, превышающей температуру жидкого азота (77 К).Явление перехода веществ в сверхпроводящее состояние при температурах, превышающих температуру кипения жидкого азота, было названо высокотемпературной сверхпроводимостью. В 1988 году было создано керамическое соединение на основе элементов Tl–Ca–Ba–Cu–O с критической температурой 125 К.

В настоящее время ведутся интенсивные работы по поиску новых веществ с еще более высокими значениями T_кр. Ученые надеятся получить вещество в сверхпроводящем состоянии при комнатной температуре. Если это произойдет, это будет настоящей революцией в науке, технике и вообще в жизни людей.

Следует отметить, что до настоящего времени механизм высокотемпературной сверхпроводимости керамических материалов до конца не выяснен.

13. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной и интегральной форме.

Если в проводнике течет постоянный ток и проводник остается неподвижным, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Опыт показывает, что в любом проводнике происходит выделение теплоты, равное работе, совершаемой электрическими силами по переносу заряда вдоль проводника. Если на концах участка проводника имеется разность потенциалов , тогда работу по переносу заряда q на этом участке равна

По определению I= q/t. откуда q= I t.

Следовательно

Так как работа идет па нагревание проводника, то выделяющаяся в проводнике теплота Q равна работе электростатических сил

-----Закон Джоуля – Ленца в интегральной форме. (17.13)

Соотношение (17.13) выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Введем плотность тепловой мощности , равную энергии выделенной за единицу время прохождения тока в каждой единице объема проводника

где S - поперечное сечение проводника, - его длина.

Используя (1.13) и соотношение , получим

Но - плотность тока, а , тогда

с учетом закона Ома в дифференциальной форме , окончательно получаем

(17.14)

Формула (17.14) выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: объемная плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряженности электрического поля.

14. Магнитное поле, создаваемое постоянными электрическими токами. Взаимодействие параллельных бесконечных проводников с током, единица Ампер в СИ.

Опыт показывает, что электрические токи взаимодействуют между собой. Например, два тонких прямолинейных параллельных проводника, по которым текут токи (прямые токи), притягивают друг друга, если токи в них имеют одинаковое направление, и отталкивают, если токи противоположны.

Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины каждого из параллельных проводников, пропорциональна величинам токов в них и и обратно пропорциональна расстоянию b между ними:

Коэффициент пропорциональности 2k. Закон взаимодействия токов был установлен в 1820 г. Ампером. На основании этого соотношения устанавливается единица силы тока в СИ и в абсолютной электромагнитной системе единиц (СГСМ- системе).

Единица силы тока в СИ — ампер — определяется как сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную H на каждый метр длины. Единицу заряда, называемую кулоном, определяют как заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение проводника, по которому течет постоянный ток силой 1 А. В соответствии с этим кулон называют также ампер-секундой (А с).

В системе единиц СИ это соотношение записывается следующим образом:

где — так магнитная постоянная.

Чтобы найти числовое значение воспользуемся

тем, что согласно определению ампера при и b=1м сила F равна Н/м. Подставим эти значения в формулу получим Гн/м (Генри/метр)

- связь между электрической и магнитной постоянными, с – скорость света в вакууме =м/с

Магнитное поле

Взаимодействие токов осуществляется через поле, называемое магнитным. Это название происходит от того, что, как обнаружил в 1820 г. Эрстед, поле, возбуждаемое током, оказывает ориентирующее действие на магнитную стрелку. В опыте Эрстеда проволока, по которой тек ток, была натянута над магнитной стрелкой, вращающейся на игле. При включении тока стрелка устанавливалась перпендикулярно к проволоке. Изменение направления тока заставляло стрелку повернуться в противоположную сторону. Из опыта Эрстеда следует, что магнитное поле имеет направленный характер и должно характеризоваться векторной величиной..

Эту величину принято обозначать буквой В. Логично было бы по аналогии с напряженностью электрического поля Е назвать В напряженностью магнитного поля. Однако по историческим причинам основную силовую характеристику магнитного поля назвали магнитной индукцией. Название же «напряженность магнитного поля» оказалось присвоенным вспомогательной величине Н, аналогичной вспомогательной характеристике D электрического поля. Магнитное поле, в отличие от электрического, не оказывает действия на покоящийся заряд Сила возникает лишь тогда, когда заряд движется.

Проводник с током представляет собой электрически нейтральную систему зарядов, в которой заряды одного знака движутся в одну сторону, а заряды другого знака движутся в противоположную сторону (либо покоятся). Отсюда следует, что магнитное поле порождается движущимися зарядами. Итак, движущиеся заряды (токи) изменяют свойства окружающего их пространства — создают в нем магнитное поле. Это поле проявляется в том, что на движущиеся в нем заряды (токи) действуют силы.

Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: поле В, порождаемое несколькими движущимися зарядами (токами), равно векторной сумме полей порождаемых каждым зарядом (током) в отдельности: .

Пространство изотропно, поэтому, если заряд неподвижен, все направления оказываются равноправными. Этим обусловлен тот факт, что создаваемое точечным зарядом электростатическое поле является сферически-симметричным. В случае движения заряда со скоростью v в пространстве появляется выделенное направление (направление вектора v).

Поэтому можно ожидать, что магнитное поле, создаваемое движущимся зарядом, обладает осевой симметрией.

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое в некоторой точке Р точечным зарядом q, движущимся с постоянной скоростью v. Возмущения поля передаются от точки к точке с конечной скоростью с. Поэтому индукция В в точке Р в момент времени t определяется не положением заряда в тот же момент t, а положением заряда в некоторый более ранний момент времени: .

Здесь Р означает совокупность координат точки Р, определяемых в некоторой неподвижной системе отсчета, r(t—т) — радиус-вектор, проведенный в точку Р из той точки, в которой находился заряд в момент времени . Если скорость движения заряда v много меньше с (v<<c), время запаздывания будет пренебрежимо мало. В этом случае можно считать, что значение В в момент t определяется положением заряда в тот же момент времени t. При этом условии

Вид функции B может быть установлен только экспериментально.

.

Опыт дает, ято в случае, когда v<<c, магнитная индукция поля движущегося заряда определяется формулой , где k' — коэффициент пропорциональности, который зависит от выбора системы единиц. В системе СИ и след. Формула индукции магнитного поля

Эта формула может быть получена только экспериментально. Из соотношения вытекает, что вектор В в каждой точке Р направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через направление вектора v и точку Р, причем так, что вращение в направлении В образует с направлением v правовинтовую систему

15. Вектор магнитной индукции, определение направления и величины. Силовые линии магнитного поля. Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность. Принцип суперпозиции.

МАГНИТНЫЕ СИЛЫ- это силы, с которыми проводники с током действуют друг на друга.

.МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

- это силовая характеристика магнитного поля.

Вектор магнитной индукции направлен всегда так, как сориентирована свободно вращающаяся магнитная стрелка в магнитном поле.

Единица измерения магнитной индукции в системе СИ:

ЛИНИИ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

- это линии, касательными к которой в любой её точке является вектор магнитной индукции.

Однородное магнитное поле - это магнитное поле, у которого в любой его точке вектор магнитной индукции неизменен по величине и направлению; наблюдается между пластинами плоского конденсатора, внутри соленоида (если его диаметр много меньше его длины) или внутри полосового магнита.

Магнитное поле прямого проводника с током:где - направление тока в проводнике на нас перпендикулярно плоскости листа,- направление тока в проводнике от нас перпендикулярно плоскости листа.

Магнитное поле соленоида:

Магнитное поле полосового магнита:

- аналогично магнитному полю соленоида.

СВОЙСТВА ЛИНИЙ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

• имеют направление;

• непрерывны;

• замкнуты (т.е. магнитное поле является вихревым);

• не пересекаются;

• по их густоте судят о величине магнитной индукции.

НАПРАВЛЕНИЕ ЛИНИЙ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

- определяется по правилу буравчика или по правилу правой руки.

Правило буравчика ( в основном для прямого проводника с током):

Если направление поступательного движения буравчика совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением линий магнитного поля тока.

Правило правой руки ( в основном для определения направления магнитных линий внутри соленоида):

Если обхватить соленоид ладонью правой руки так, чтобы четыре пальца были направлены вдоль тока в витках, то отставленный большой палец покажет направление линий магнитного поля внутри соленоида.

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому поток вектора В через замкнутую поверхность должен быть равен нулю.

Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие . Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В : поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Заменив поверхностный интеграл объемным, получим, что .

Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю.

Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что

его дивергенция всюду равна нулю: .

Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: поле В, порождаемое несколькими движущимися зарядами (токами), равно векторной сумме полей порождаемых каждым зарядом (током) в отдельности: .

16. Закон Био — Савара- Лапласса. Магнитное поле, создаваемое круговым током, бесконечным прямолинейным проводником с током.

Выясним характер магнитного поля, создаваемого произвольным тонким проводом, по которому течет ток. Рассмотрим малый элемент провода длины dl. В этом элементе содержится nS dl носителей тока (n — число носителей в единице объема, S — площадь попе- речного сечения провода в том месте, где взят элемент dl). В точке положение которой относительно элемента dl определяется радиусом-вектором г (отдельный носитель тока е создает поле с индукцией .

Здесь v — скорость хаотического движения, а u — скорость упорядоченного движения носителя.

Значение магнитной индукции, усредненное по носителям тока, заключенным в элементе dl, равно =

(<v>=0). Умножив это выражение на число носителей в элементе провода (равное nS dl), получим вклад в поле, вносимый элементом dl: (мы внесли скалярные множители n и е

под знак векторного произведения). Приняв во внимание, что ne<u>=j, можно получить

Введем вектор , направленный по оси элемента тока длиной в сторону, в которую течет ток. Модуль этого вектора равен dl. Поскольку направления векторов j и dl совпадают, имеет место равенство

Произведя такую замену в формуле для dB, получим

Учли, что произведение Sj дает силу тока I в проводе, придем к окончательному выражению, определяющему магнитную индукцию поля, создаваемого элементом тока длины dl:

Мы вывели формулу. В действительности последняя формула была установлена экспериментально.

Био и Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей, текущих по тонким проводам различной формы. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельным, элементарными участками токов.

Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длины dl, Лаплас получил формулу , которая носит название закона Б ио — Савара — Лапласа или более кратко закона Б и о — Савара

.Из рис. 42.1видно, что вектор dB направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через dl и точку, в которой вычисляется поле, причем так, что вращение вокруг dl в направлении dB связано с dl правилом правого винта. Модуль dB определяется выражением

где α— угол между векторами dl и г. Применим формулу закона Б-С-Л для вычисления поля прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 42.2 Сав 122). Все векторы dB в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае за чертеж).

Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии b от провода.

Из рис. 42.2 видно, что Подставим эти значения в формулу

Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется от 0 до π.

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой

Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей

(рис. 42.3 Сав 122).

16. Магнитное поле кругового контура с током

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R (круговой ток). Определим магнитную индукцию в центре кругового тока (рис. 47.1 Сав. 138).

Каждый элемент тока создает в центре индукцию, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сложение dВ сводится к сложению их модулей.

По формуле (α=π/2). Проинтегрируем это выражение по всему контуру:

Выражение в скобках равно модулю дипольного магнитного момента p_m. Следовательно, магнитная индукция в центре кругового тока имеет величину

Из рис. 47.1 видно, что направление вектора В совпадает с направлением положительной нормали к контуру, т. е. с направлением вектора p_m. Поэтому последнюю формулу можно написать в векторном виде:

Теперь найдем В на оси кругового тока на расстоянии г от центра контура (рис. 47.2 Сав.138). Векторы dB перпендикулярны к плоскостям, проходящим через соответствующий элемент dl и точку, в которой мы ищем поле. Следовательно, они образуют симметричный конический веер (рис. 47.2, б, Cfd 138). Из соображений симметрии можно заключить, что результирующий вектор В направлен вдоль оси контура

. Каждый из составляющих векторов dB вносит в результирующие вектор вклад , равный по модулю. Угол α между dl и b прямой, поэтому

Проинтегрировав по всему контуру и заменив b на получим

.Эта формула определяет величину магнитной индукции на оси кругового тока.

Приняв во внимание, что векторы В и p_m имеют одинаковое направление, можно написать последнюю формулу в векторном виде: .

Это выражение не зависит от знака г. Следовательно, в точках оси, симметричных относительно центра тока, В имеет одинаковую величину и направление. При г=0 формула переходит, как и должно быть, в формулу для магнитной индукции в центре кругового тока. На больших расстояниях от контура в знаменателе можно пренебречь R² по сравнению с г². Тогда формула принимает вид .

17. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции, ее применение для расчета магнитного поля в бесконечном соленоиде.

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому поток вектора В через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие . Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В : поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Заменив поверхностный интеграл объемным, получим, что .

Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что

его дивергенция всюду равна нулю: .

Найдем циркуляции вектора В. По определению циркуляция равна интегралу .

Проще всего вычислить этот интеграл в случае поля прямого тока. Пусть замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. ; ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор В направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим в выражении для циркуляции В dl через В dl_B (dl_B — проекция элемента контура на направление вектора В).

Из рисунка видно, что dl_B равно b dα, где b — расстояние от провода с током до dl, dα — угол, на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок dl. Таким образом, для В, получим

Окончательно будем иметь

При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому.

Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 49.1 ,б). В этом случае при обходе по контуру радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (участок 1—2), а затем в противоположном (участок 2—1), вследствие чего равен нулю. Учтя этот результат, можно написать , где под I следует подразумевать ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора В равна нулю. Знак в выражении зависит от направления обхода по контуру (в этом же направлении отсчитывается угол α).

Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, величина положительна, в противном случае — отрицательна. Знак можно учесть, полагая I алгебраической величиной, причем положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным Поле соленоида

Соленоид представляет собой провод, навитый на круглый цилиндрический каркас. Линии В поля соленоида выглядят пример но так, как показано на рис. 50.1.

Внутри соленоида направление этих линий образует с направлением тока в витках правовинтовую систему. У реального соленоида имеется составляющая тока вдоль оси. Кроме того, линейная плотность тока j_лин (равная отношению силы тока dI к элементу длины соленоида dl) изменяется периодически при перемещении вдоль соленоида. Среднее значение этой плотности равно , где n— число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины I — сила тока в соленоиде.

В соответствии со сказанным представим соленоид в виде бесконечного тонкостенного цилиндра (отсутствует осевая составляющая тока и, кроме того, линейная плотность тока j_лин постоянна по всей длине), обтекаемого током постоянной линейной плотности j_лин=nI.

Разобьем цилиндр на одинаковые круговые токи—«витки». Из.рис. видно, что каждая пара витков, расположенных симметрично относительно некоторой плоскости, перпендикулярной к оси соленоида, создает в любой точке этой плоскости магнитную индукцию, параллельную оси. Следовательно, и результирующее поле в любой точке внутри и вне бесконечного соленоида может иметь лишь направление, параллельное оси.

Из рис. 50.1 вытекает, что направления поля внутри и вне конечного соленоида противоположны. При увеличении длины соленоида направления полей не изменяются и в пределе при противоположными. Для бесконечного соленоида, как и для конечного, направление поля внутри соленоида образует с направлением обтекания цилиндра током правовинтовую систему. Из параллельности вектора В оси вытекает, что поле как внутри, так и вне бесконечного соленоида должно быть однородным. Чтобы доказать это, возьмем внутри соленоида воображаемый прямоугольный контур 1—2—3—4 (рис. 50.3; участок 4—1 идет по оси соленоида).

Обойдя контур по часовой стрелке, получим для циркуляции вектора В значение (B₂ –B₁)α. Контур не охватывает токов, поэтому циркуляция должна быть равна нулю.

Отсюда следует, что B₁=B₂. Располагая участок контура 2—3 на любом расстоянии от оси, мы каждый раз будем получать, что магнитная индукция В2 на этом расстоянии равна индукции B₁ на оси соленоида. Таким образом, однородность поля внутри соленоида доказана. Теперь обратимся к контуру 1'—2'—3'—4'. Мы изобразили векторы B`<sub>1</sub>и В`₂ штриховой линией, поскольку, поле вне бесконечного соленоида равно нулю. Контур 1'—2'—3'—4'не охватывает токов; поэтому циркуляция вектора В' по этому контуру, равная (B`<sub>1</sub>-В`₂ )α, должна быть равна нулю.

Отсюда вытекает, что B`<sub>1</sub>= В`₂ . Расстояния от оси соленоида до участков /' — 4' и 2' — 3' были взяты произвольно. Следовательно, значение В' на любом расстоянии от оси будет вне соленоида одно и то же. Таким образом, оказывается доказанной и однородность поля вне соленоида.

Циркуляция по контуру, изображенному на рис. 50.4 (Сав. 150), равна α(В+В') (для обхода по часовой стрелке). Этот контур охватывает положительный ток величины j_лин α.

Должно выполняться равенство (после сокращения на α и замены). Из этого равенства следует, что поле как внутри, так и снаружи бесконечного соленоида является конечным.

Возьмем плоскость, перпендикулярную к оси соленоида (рис. 50.5 Сав 151). Вследствие замкнутости линий В магнитные потоки через внутреннюю часть S этой плоскости и через внешнюю часть S' должны быть одинаковыми. Поскольку поля однородны и перпендикулярны к плоскости, каждый из потоков равен произведению соответствующего значения магнитной индукции и площади, пронизываемой потоком. Таким образом, получается соотношение BS=B'S'. Левая часть этого равенства конечна, множитель S' в правой части бесконечно большой. Отсюда следует, что В'=0.

Итак, мы доказали, что вне бесконечно длинного соленоида магнитная индукция равна нулю. Внутри соленоида поле однородно.

Положив В'=0, придем к формуле для магнитной индукции внутри соленоида: . Произведение nI называется числом ампер-витков на метр. При n = 1000 витков на метр и силе тока в 1 А магнитная индукция внутри соленоида составляет 4π10^-4 Тл (Тесла) =4π Гс (Гаусса).

В магнитную индукцию на оси соленоида симметрично расположенные витки вносят одинаковый вклад. Поэтому у конца полубесконечного соленоида на его оси магнитная индукция равна половине значения : .

Практически, если длина соленоида значительно больше, чем его диаметр, формула будет справедлива для точек в средней части соленоида, а формула — для точек на оси вблизи его концов.

18. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле- сила Ампера. Поведение рамки с током в магнитном поле.

Если провод, по которому течет ток, находится в магнитном поле, на каждый из носителей тока действует сила Здесь v — скорость хаотического движения носителя, u— скорость упорядоченного движения. От носителя тока действие этой силы передается проводнику, по которому он перемещается. В результате на провод с током, находящийся в магнитном поле, действует сила.

Найдем величину силы dF, действующей на элемент провода длины dl. Усредним выражение по носителям тока, содержа- щимся в элементе dl: , (В — магнитная индукция в том месте, где помещается элемент dl). В элементе провода содержится число носителей, равное nS dl (n— число носителей в единице объема, S — площадь поперечного сечения провода в этом месте).

Умножив полученное выражение на число носителей, найдем интересующую нас силу:

Приняв во внимание, что ne<u>есть плотность тока j a S dl дает объем элемента провода dV, можно написать Отсюда можно получить выражение для плотности силы, т. е. для силы, действующей на единицу объема проводника: Напишем формулу в виде . Заменив S dl через jS dl=I dl, придем к формуле -эта формула определяет силу, действующую на элемент тока dl в магнитном поле, была установлена экспериментально Ампером и носит название закона Ампера.

ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА РАМКУ С ТОКОМ

Однородное магнитное поле ориентирует рамку (т.е. создается вращающий момент и рамка поворачивается в положение, когда вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рамки).

Неоднородное магнитное поле ориентирует + притягивает или отталкивает рамку с током.

Так, в магнитном поле прямого проводника с током (оно неоднородно) рамка с током ориентируется вдоль радиуса магнитной линии и притягивается или отталкивается от прямого проводника с током в зависимости от направления токов.

19. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Сила Лоренца

На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила, которую мы будем называть магнитной. Эта сила определяется зарядом q, скоростью его движения v и магнитной индукцией В в той точке, где находится заряд в рассматриваемый момент времени. Простейшее предположение заключается в том, что модуль силы F пропорционален каждой из трех величин q, v и В. Кроме того, можно ожидать, что F зависит от взаимной ориентации векторов v и В. Направление вектора F должно определяться направлениями векторов v и В.

ы.

Опытным путем установлено, что сила F, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, определяется формулой , где к — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц величин, входящих в формулу. Отметим, что соотношение эту формулу можно рассматривать как определение магнитной индукции В. Единица магнитной индукции В — тесла — определяется так, чтобы коэффициент пропорциональности к в формуле был равен единице. Следовательно, в СИ эта формула имеет вид .

.

Модуль магнитной силы равен

где α— угол между векторами v и В Из последней формулы вытекает, что заряд, движущийся вдоль линий магнитного поля, не испытывает действия магнитной сил Направлена магнитная сила перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы v и В. Если заряд q положителен, направление силы совпадает с направлением вектора [vB]. В случае отрицательного q направления векторов F и [vB] противоположны (рис. 43.1 Сав. 124).

Поскольку магнитная сила всегда направлена перпендикулярно к скорости заряженной частицы, она не совершает работы над частицей.

Следовательно, действуя на заряженную частицу постоянным магнитным полем, изменить ее энергию нельзя. Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, сила, действующая на заряженную частицу, равна . Это выражение было получено из опыта Лоренцем и носит название силы Лоренца или лоренцевой силы

20. Вещество в магнитном поле. Вектор наманниченности. Связь молекулярных токов с величиной вектора намагниченности. Магнитная проницаемость, восприимчивость.

Если несущие ток провода находятся в какой-либо среде, магнитное поле изменяется. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т. е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Намагниченное вещество создает магнитное поле В', которое накладывается на обусловленное токами поле В_о. Оба поля в сумме дают результирующее поле . Истинное (микроскопическое) поле в магнетике сильно изменяется в пределах межмолекулярных расстояний.

Под В подразумевается усредненное (макроскопическое) поле. Для объяснения намагничения тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи (молекулярные токи). Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, вследствие чего обусловленное ими результирующее поле равно нулю. В силу хаотической ориентации магнитных моментов отдельных молекул суммарный магнитный момент тела также равен нулю.

. Под действием поля магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, вследствие чего магнетик намагничивается — его суммарный магнитный момент становится отличным от нуляМагнитные поля отдельных молекулярных токов в этом случае уже не компенсируют друг друга и возникает поле В'. Намагничение магнетика естественно характеризовать магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют намагниченностью (вектор намагниченности) и обозначают буквой J. Если магнетик намагничен неоднородно, намагниченность в данной точке определяется следующим выражением:

где — физически бесконечно малый объем, взятый в окрестности рассматриваемой точки, магнитный момент отдельной молекулы.

Суммирование производится по всем молекулам, заключенным в объеме . Поле В', так же как и поле Во, не имеет источников. Поэтому дивергенция результирующего поля В равна нулю: .

Можно найти такую вспомогательную величину, ротор которой определяется лишь плотностью макроскопических токов. Чтобы установить вид этой вспомогательной величины, выразим плотность молекулярных токов через намагниченность магнетика J.

С этой целью вычислим алгебраическую сумму молекулярных токов, охватываемых некоторым контуром Г , где S — поверхность, натянутая на контур. В алгебраическую сумму молекулярных токов входят только те молекулярные токи, которые оказываются «нанизанными» на контур. Токи, не «нанизанные» на контур, либо не пересекают натянутую на контур поверхность совсем, либо пересекают эту поверхность дважды — один раз в одном направлении, второй раз в другом. В результате их вклад в алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром, оказывается равным нулю.

Из рис. видно, что элемент контура dl, образующий с направлением намагниченности J угол α, нанизывает на себя те молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра с объемом S_мол cos α dl(S_мол — площадь, охватываемая отдельным молекулярным током). Если n — число молекул в единице объема, то суммарный ток, охватываемый элементом dl, равен

I_молnS_мол cos α dl.

Произведение I_молS_мол равно магнитному моменту р_m отдельного молекулярного тока. Следовательно, выражение I_молnS_мол представляет собой магнитный момент единицы объема, т. е. дает модуль вектора j, a I_молnS_мол cos α проекцию вектора j на направление элемента dl.

Таким образом, суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом dl, равен j dl, а сумма молекулярных токов, охватываемых всем контуром равна . Преобразовав правую часть по теореме Стокса, получим . Это равенство, к которому мы пришли, должно выполняться при произвольном выборе поверхности S. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральные выражения равны в каждой точке магнетика: . (- ротор).

Таким образом, плотность молекулярных токов определяется значением ротора намагниченности. В случае, когда [yJ]=0, молекулярные токи отдельных молекул ориентированы так, что их сумма в среднем равна нулю.

Выражение . Преобразовав это выражение получим . След. .Н -есть искомая нами вспомогательная величина, ротор которой определяется одними лишь макроскопическими токами. Эта величина называется напряженностью магнитного поля .

Если макроскопические токи текут по проводам, охватываемым контуром, то - теорема о циркуляции вектора Н: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром.

Напряженность магнитного поля Н является аналогом электрического смещения D. Первоначально предполагалось, что в природе имеются подобные электрическим зарядам магнитные массы, и учение о магнетизме развивалось по аналогии с учением об электричестве. В те времена и были введены названия: «магнитная индукция» для В и «напряженность поля» для Н.

Впоследствии выяснилось, что магнитных масс в природе не существует и что величина, названная магнитной индукцией, в действительности является аналогом не электрического смещения D, а напряженности электрического поля Е (соответственно Н — аналогом не Е, a D).

Однако изменять уже установившуюся терминологию не стали, тем более, что вследствие различной природы электрического и магнитного полей (электростатическое поле потенциально, магнитное — соленоидально *)) величины В и D обнаруживают много сходства в своем поведении (например, линии В, как и линии D, не претерпевают разрыва на границе двух сред). В вакууме J=0, поэтому Н превращается в В .

Напряженность магнитного поля имеет размерность, равную размерности силы тока, деленной на размерность длины. В связи с этим единица напряженности магнитного

поля в СИ носит название ампер на метр (А/м).

Из этого определения следует, что в вакууме Н совпадает с В. В соответствии с этим единица Н в гауссовой системе, называемая эрстедом (Э), имеет ту же величину и размерность, что и единица магнитной индукции — гаусс (Гс). По существу эрстед и гаусс суть разные названия одной и той же единицы. Если этой единицей измеряют Н, ее называют эрстедом, если измеряют В, то — гауссом.

Намагниченность принято связывать не с магнитной индукцией, а с напряженностью поля. Полагают, что в каждой точке магнетика , где χ— характерная для данного магнетика величина, называемая магнитной восприимчивостью. Опыт показывает, что для слабомагнитных (неферромагнитных) веществ при не слишком сильных полях χ не зависит от Н. Размерность Н совпадает с размерностью J. Следовательно, χ — безразмерная величина.

. Безразмерная величина М называется относительной магнитной проницаемостью или просто магнитной проницаемостью вещества.

В отличие от диэлектрической восприимчивости κ которая может иметь лишь положительные значения (поляризованность Р в изотропном диэлектрике всегда направлена по полю Е), магнитная восприимчивость χ бывает как положительной, так и отрицательной. Поэтому магнитная проницаемость и. может быть как больше, так и меньше единицы.

Таким образом, напряженность магнитного поля Н есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор В, но в раз меньший по модулю (в анизотропных средах векторы Н и В, вообще говоря, не совпадают по направлению).

21. Пар-, ферро- диамагнетики. Постоянные магниты.

Формула определяет магнитную восприимчивость единицы объема вещества. Часто вместо этой восприимчивости пользуются отнесенной к одному молю вещества молярной (для химически простых веществ — атомной) восприимчивостью χ_м (χ_ат). Очевидно, что χ_м = χ V_м, где V_м — объем моля вещества. В то время как χ — безразмерная величина, χ_м измеряется в м³/моль.

В зависимости от знака и величины магнитной восприимчивости все магнетики подразделяются на три группы:

1. диамагнетики, у которых |χ_м | отрицательна и мала по абсолютной величине (|χ_м | ~10^-11- ~10^-10 м³/моль);

2. парамагнетики, у которых тоже невелика, но положительна (χ_м ~10^{-10 –} 10^-9 м³/моль);

3. ферромагнетики, у которых χ_м положительна и достигает очень больших значений (χ_м ~1 м³/моль). Кроме того, в отличие от диа и парамагнетиков, для которых χ не зависит от Н, восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряженности магнитного поля.

Таким образом, в изотропных веществах намагниченность J может как совпадать по направлению с Н (у пара- и ферромагнетиков), так и быть направленной в противоположную сторону (у диамагнетиков).

Постоянный магнит — изделие различной формы из магнитотвёрдого материала с высокой остаточной магнитной индукцией, сохраняющее состояние намагниченности в течение длительного времени. Постоянные магниты применяются в качестве автономных (не потребляющих энергии) источников магнитного поля.

Семейство петель магнитного гистерезиса электротехнической стали. B_r — остаточная индукция, H_c — коэрцитивная сила, внешняя петля соответствует состоянию насыщения.

Свойства магнита определяются характеристиками размагничивающего участка петли магнитного гистерезиса материала магнита: чем выше остаточная индукция B_r и коэрцитивная сила H_c, тем выше намагниченность и стабильность магнита. Магнитный Гистерезис наблюдается в магнитных материалах, например в ферромагнетиках. Основной особенностью ферромагнетиков является наличие спонтанной (самопроизвольной) намагниченности.

Обычно ферромагнетик намагничен не однородно, а разбит на домены — области однородной спонтанной намагниченности, у которых величина намагниченности (магнитного момента единицы объема) одинакова, а направления различны

. Под действием внешнего магнитного поля число и размеры доменов, намагниченных по полю, увеличиваются за счёт др. доменов. Кроме того, магнитные моменты отдельных доменов могут поворачиваться по полю. В результате магнитный момент образца увеличивается.

На рис. 1 изображена зависимость магнитного момента М ферромагнитного образца от напряжённости Н внешнего магнитного поля (кривая намагничивания). В достаточно сильном магнитном поле образец намагничивается до насыщения (при дальнейшем увеличении поля значение М практически не изменяется, точка А). При этом образец состоит из одного домена с магнитным моментом насыщения M_s, направленным по полю. При уменьшении напряжённости внешнего магнитного поля Н магнитный момент образца М будет уменьшаться по кривой I преимущественно за счёт возникновения и роста доменов с магнитным моментом, направленным против поля. Рост доменов обусловлен движением доменных стенок.

 Это движение затруднено из-за наличия в образце различных дефектов (примесей, неоднородностей и т.п.), которые закрепляют доменные стенки в некоторых положениях; требуются достаточно сильные магнитные поля для того, чтобы их сдвинуть. Поэтому при уменьшении поля Н до нуля у образца сохраняется т. н. остаточный магнитный момент M_r (точка В).Рис. 1. Петля магнитного гистерезиса для ферромагнетика: Н — напряжённость магнитного поля; М — магнитный момент образца; Н_с — коэрцитивное поле; M_r — остаточный магнитный момент; M_s — магнитный момент насыщения. Пунктиром показана непредельная петля гистерезиса. Схематически приведена доменная структура образца для некоторых точек петли.

  Образец полностью размагничивается лишь в достаточно сильном поле противоположного направления, называемом коэрцитивным полем (коэрцитивной силой) Н_с (точка С). При дальнейшем увеличении магнитного поля обратного направления образец вновь намагничивается вдоль поля до насыщения (точка D). Перемагничивание образца (из точки D в точку А) происходит по кривой II. Т. о., при циклическом изменении поля кривая, характеризующая изменение магнитного момента образца, образует петлю магнитного Гистерезис Если поле Н циклически изменять в таких пределах, что намагниченность насыщения не достигается, то получается непредельная петля магнитного Гистерезис (кривая III).

Уменьшая амплитуду изменения поля Н до нуля, можно образец полностью размагнитить (прийти в точку О). Намагничивание образца из точки О происходит по кривой IV. Индукция постоянного магнита B_d не может превышать B_r: равенство B_d = B_r возможно лишь в том случае, если магнит представляет собой замкнутый магнитопровод, то есть не имеет воздушного промежутка, однако постоянные магниты, как правило, используются для создания магнитного поля в воздушном (или заполненном другой средой) зазоре, в этом случае B_d < B_r, величина разности зависит от формы магнита и свойств среды.

Для производства постоянных магнитов обычно используются следующие материалы:

Бариевые и стронциевые магнитотвердые ферриты

Имеют состав Ba/SrO·6 Fe₂O₃ и характеризуются высокой устойчивостью к размагничиванию в сочетании с хорошей коррозионной стойкостью. Несмотря на низкие по сравнению с другими классами магнитные параметры и высокую хрупкость, благодаря низкой стоимости магнитотвердые ферриты наиболее широко применяются в промышленности.

Магниты NdFeB (неодим-железо-бор)

Редкоземельные магниты, изготавливаемые прессованием или литьем из интерметаллида Nd₂Fe₁₄B. Преимуществами этого класса магнитов являются высокие магнитные свойства (B_r, H_c и (BH)_max), а также невысокая стоимость. В связи со слабой коррозионной устойчивостью обычно покрываются медью, никелем или цинком.

Редкоземельные магниты SmCo (Самарий-Кобальт)

Изготавливаются методом порошковой металлургии из композиционного сплава SmCo₅/Sm₂Co₁₇ и характеризуются высокими магнитными свойствами, отличной коррозионной устойчивостью и хорошей стабильностью параметров при температурах до 350 °C,что обеспечивает им преимущества на высоких температурах перед магнитами NdFeB

Магниты ALNICO (российское название ЮНДК)Изготавливаются основе сплава Al-Ni-Co-Fe. К их преимуществам можно отнести высокую температурную стабильность в интервале температур до 550 °C, высокую временну́ю стабильность параметров в сочетании с большой величиной коэрцитивной силы, хорошую коррозионную устойчивость

Полимерные постоянные магниты (магнитопласты)

Изготавливаются из смеси магнитного порошка и связующей полимерной компоненты (например резины). Достоинством магнитопластов является возможность получения сложных форм изделий с высокой точностью размеров, а также высокая коррозионная устойчивость в сочетании с большой величиной удельного сопротивления и малым весом.

Наиболее широко распространены ферритовые магниты. Для применений при обычных температурах самые сильные постоянные магниты делаются из сплавов, содержащих неодим.

Они используются в таких областях, как магнитно-резонансная томография, сервоприводы жёстких дисков и создание высококачественных динамиков

. 22. Явление электромагнитной индукции. Правило Ленца. Закон Фарадея.

В 1831 г. Фарадей обнаружил, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром, возникает электрический ток. Это явление называют электромагнитной индукцией, а возникающий ток индукционным. Явление электромагнитной индукции свидетельствует о том, что при изменениях магнитного потока в контуре возникает электродвижущая сила индукции - ε_i. Величина ε_i не зависит от способа, которым осуществляется изменение магнитного потока Ф, и определяется лишь скоростью изменения Ф, т. е. значением dФ/dt. При изменении знака dФ/dt. направление ε_i также меняется.

Ленц установил правило, позволяющее найти направление индукционного тока. Правило Ленца гласит, что индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей. Если, например, изменение Ф вызвано перемещением контура 2, то возникает индукционный ток такого направления, что сила взаимодействия с первым контуром противится движению контура. При приближении контура 2 к контуру 1

(см. рис. 60.1 Сав 181) возникает ток I₂, магнитный момент которого направлен противоположно полю тока. Следовательно, на контур 2 будет действовать сила, отталкивающая его от контура При удалении контура 2 от контура 1 возникает ток I₂ так что сила, действующая на контур 2, направлена к контуру 1.

Пусть оба контура неподвижны и ток в контуре 2 индуцируется путем изменения тока I₁ в контуре 1. В этом случае возникает ток I₂ такого направления, что создаваемый им собственный магнитный поток стремится ослабить изменения внешнего потока, приведшие к появлению индукционного тока. При увеличении I₁, т. е. возрастании внешнего магнитного потока, направленного вправо, возникает ток I₂, создающий поток, направленный влево. При уменьшении I₁ возникает ток I₂, собственный магнитный поток которого направлен так же, как и внешний поток, и, следовательно, стремится поддержать внешний поток неизменным.

Возьмем контур с подвижной перемычкой длины l (рис. 61.1, а, Сав 183).

Поместим его в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости контура и направленное за чертеж. Приведем перемычку в движение со скоростью v. С той же скоростью станут перемещаться относительно поля и носители тока в перемычке — электроны. В результате на каждый электрон начнет действовать направленная вдоль перемычки магнитная сила.

Действие этой силы эквивалентно действию на электрон электрического поля напряженности E=[vB]. Это поле не электростатического происхождения.

Его циркуляция по контуру дает величину э. д. с, индуцируемой в контуре: (подынтегральная функция отлична от нуля лишь на образуемом перемычкой участке 1—2). Чтобы по знаку ε_i можно было судить о направлении, в котором действует э. д. с, будем считать ε_i положительной в том случае, когда ее направление образует с направлением нормали к контуру правовинтовую систему.

Выберем нормаль так, как показано на рис. 61.1.

Тогда при вычислении циркуляции нужно обходить контур по часовой стрелке и соответственно выбирать направление векторов dl.

, где 1 — вектор, показанный на рис. 61.1, б.

Осуществим в полученном выражении циклическую перестановку сомножителей, после чего умножим и разделим его на dt Т. к. , где dS — приращение площади контура за время dt. По определению потока выражение В dS=Bn dS представляет собой поток через площадку dS, т. е. приращение потока через контур. Таким образом, .

Закон Фарадея можно сформулировать таким образом: э.д.с. электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.

Этот закон является универсальным: э.д.с. не зависит от способа изменения магнитного потока. Э.д.с. электромагнитной индукции выражается в вольтах. Действительно, учитывая, что единицей магнитного потока является вебер (Вб), получим

Мы получили, что эдс индукции и фоток имеют противоположные знаки. Единицей потока магнитной индукции в СИ служит в е б е р (Вб), который представляет собой поток через поверхность в 1 м², пересекаемую нормальными к ней линиями магнитного поля с В, равной 1 Тл. При скорости изменения потока, равной 1 Вб/с, в кон-туре индуцируется э. д. с, равная 1 В. В гауссовой системе формула имеет вид .

23. Явление самоиндкуции. Индуктивность проводников. Индуктивность соленоида - пустого и заполненного веществом.

Электрический ток, текущий в любом контуре, создает пронизывающий этот контур магнитный поток . При изменениях I изменяется также и, вследствие чего в контуре индуцируется э. д. с. Это явление называется самоиндукцией.

В соответствии с законом Био — Савара магнитная индукция В пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток I и создаваемый им магнитный поток через контур пропорциональны друг другу

Коэффициент пропорциональности L между силой тока и полным магнитным потоком называется индуктивностью контура.

Линейная зависимость от I наблюдается только в том случае, если магнитная проницаемость µ среды, которой окружен контур, не зависит от напряженности поля Н, т. е. в отсутствие ферромагнетиков. При неизменной силе тока I полный поток W может изменяться за счет изменений формы и размеров контура.

Cлед. индуктивность L зависит от геометрии контура (т. е. его формы и размеров), а также от магнитных свойств (µ) окружающей контур среды. Если контур жесткий и поблизости от него нет ферромагнетиков, индуктивность L является постоянной величиной.

За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока в нем в 1 А возникает сцепленный с ним полный поток, равный 1 Вб. Эту единицу называют генри (Гн).

В гауссовой системе индуктивность имеет размерность длины. В соответствии с этим единицу индуктивности в этой системе называют сантиметром.

Вычислим индуктивность соленоида. Возьмем соленоид такой длины, чтобы его можно было практически считать бесконечным.

При протекании по нему тока I внутри соленоида возбуждается однородное поле, индукция которого равна (в вакууме).

Поток через каждый из витков равен Ф=BS, а

полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом,

где l — длина соленоида (которая предполагается очень большой), S — площадь поперечного сечения, n — число витков на единицу длины (произведение nl дает полное число витков N). Сопоставление формул и дает для индуктивности очень длинного соленоида выражение в вакууме, где V=lS — объем соленоида.

Есди соленоид заполнен веществом с магнитной проницаемостью µ, то при заданном токе I магнитная индукция возрастает в µ раз, и след. индуктивность длинного соленоида, заполненного веществом .

При изменениях силы тока в контуре возникает э. д. с. Самоиндукции ε_s., равна

Если при изменениях силы тока индуктивность остается постоянной (что возможно лишь при отсутствии ферромагнетиков), выражение для э. д. с. самоиндукции имеет вид

. Знак минус в этой формуле обусловлен правилом Ленца, согласно которому индукционный ток бывает направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей.

24. Энергия магнитного поля в соленоиде. Плотность энергии магнитного поля.

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 67.1 (Сав. 195). При замкнутом ключе в соленоиде установится ток I, который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если разомкнуть ключ, то через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в соленоиде э. д. с. самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за время dt, равна .

Если индуктивность соленоида не зависит от I (L=const), то =L dI и выражение

Проинтегрировав это выражение по l в пределах от первоначального значения I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение- которого происходит исчезновение магнитного поля, . Работа идет на приращение внутренней энергии сопротивления R, соленоида и соединительных проводов (т. е. на их нагревание). Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, ос-

тается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа.

Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток силы I, обладает энергией ,

которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле.

Выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само поле. В случае очень длинного (практически бесконечного) соленоида . Подставив эти значения L и I в выражение и произведя преобразования, получим

Магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия локализована внутри соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью w, которую можно найти, разделив W на V. Произведя это деление, получим

Плотность энергии магнитного поля можно записать в виде .

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл .

25 Квазистационарный переменный электрический ток. Условие квазистационарности. Закон Ома для цепей квазистационарных токов. Активное и реактивное (емкостное, индуцированное) сопротивления, их зависимость от частоты тока.

В цепях постоянного тока распределение электрических зарядов на проводниках и токов на участках цепи стационарно, то есть неизменно во времени. Если на каком-то участке цепи происходят изменения силы тока или напряжения, то другие участки цепи могут «почувствовать» эти изменения только через некоторое время, которое по порядку величины равно времени τ распространения электромагнитного возмущения от одной точки цепи к другой.

Так как электромагнитные возмущения распространяются с конечной скоростью, равной скорости света c , то где l – расстояние между наиболее удаленными точками цепи. Если это время τ много меньше длительности процессов, происходящих в цепи, то можно считать, что в каждый момент времени сила тока одинакова во всех последовательно соединенных участках цепи. Процессы такого рода в электрических цепях называются квазистационарными.

Квазистационарные процессы можно исследовать с помощью законов постоянного тока, если применять эти законы к мгновенным значениям сил токов и напряжений на участках цепи.

.

Из-за огромного значения скорости света время установления электрического равновесия в цепи оказывается весьма малым. Поэтому к квазистационарным можно отнести многие достаточно быстрые в обычном смысле процессы. Например, быстрые колебания в радиотехнических цепях с частотами порядка миллиона колебаний в секунду и даже выше очень часто еще можно рассматривать как квазистационарные

Простыми примерами квазистационарных процессов могут служить процессы, происходящие в RC- и RL-цепях при подключении и отключении источника постоянного тока.

При рассмотрении электрических колебаний приходится иметь дело с токами, изменяющимися со временем. Токи, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности имеет вид , где Т — период изменений.

Квазистационарный ток - относительно медленно изменяющийся переменный ток, для мгновенных значений которого с достаточной точностью выполняются законы постоянных токов (прямая пропорциональность между током и напряжением.

Подобно постоянным токам, К. т. имеет одинаковую силу тока во всех сечениях неразветвлённой цепи

. Однако при расчёте К. т. (в отличие от расчёта цепей постоянного тока) необходимо учитывать возникающую при изменениях тока эдс индукции. Индуктивности, ёмкости, сопротивления ветвей цепи К. т. могут считаться сосредоточенными параметрами.

Соотношения, связывающие амплитуды переменных токов и напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности:

.

Соотношения (*) выражают закон Ома для участка цепи переменного тока, содержащего один из элементов R, L и C.

Физические величины R, и ωL называются активным сопротивлением резистора, емкостным сопротивлением конденсатора и индуктивным сопротивлением катушки.

26. Электрический колебательный контур. Частота собственных колебаний тока в контуре. Добротность колебательного контура.

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур (рис. 5.2.1).

Рисунок 5.2.1.

Последовательный RLC-контур.

.

Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения . После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L. При определенных условиях этот процесс может

иметь колебательный характер.

Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде

где– напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, – ток в цепи

В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре, может быть приведено к следующему виду, если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q(t):

Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0). Тогда

Здесь принято обозначение: Уравнение (*) описывает свободные колебания в LC-контуре в отсутствие затухания. Оно в точности совпадает по виду с уравнением свободных колебаний груза на пружине в отсутствие сил трения.

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими, то есть происходят по закону

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний

Амплитуда q₀ и начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний, который начнется в контуре (рис. 5.2.1) после переброса ключа K в положение 2, q₀ = Cε, φ₀ = 0.

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W_э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W_м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:

Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис. 5.2.3).

Рисунок 5.2.3.

Затухающие колебания в контуре.

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: F_тр = – βυ. Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению R в электрическом контуре. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид

Физическая величина δ = R / 2L называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция

которая содержит множитель exp (–δt), описывающий затухание колебаний. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.

.

Добротности Q колебательной системы:

где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ. Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:

Для RLC-контура добротность Q выражается формулой

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ω₀ идеального контура с теми же значениями L и C. Но при Q ≥ (5 – 10) этим различием можно пренебречь

27. Вынужденные колебания тока в LCR контуре, уравнение их описывающее. Явление электрического резонанса.

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями.

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Периодический внешний источник обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω₀.

Если частота ω₀ свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника.

Для установления стационарных вынужденных колебаний необходимо некоторое время Δt после включения в цепь внешнего источника. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока.

Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть RLC-цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 5.3.1): e(t) = ₀ cos ωt, где ₀ – амплитуда, ω – круговая частота.

Вынужденные колебания в контуре.

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 5.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому закон Ома можно записать для мгновенных значений токов и напряжений:

Величина– это перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую ЭДС самоиндукции катушки. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности.

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде

Частное решение уравнения имеет вид

, ,

Можно получить формулы для I,

Из выражения для I₀ видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии

или

Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω внешнего источника с собственной частотой ω₀ электрической цепи называется электрическим резонансом. При резонансе

При последовательном резонансе (ω = ω₀) амплитуды U_C и U_L напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:

Добротность RLC-контура:

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

28. Электромангитное поле. Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвелла в интегральной форме как обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея.

Электромагнитное поле – это неразрывно связанные между собой и порождающие друг друга переменные электрическое и магнитное поля.

Впервые понятие “электромагнитное поле” было введено и математически строго описано Джеймсом Клерком Максвеллом. Уравнения Максвелла были опубликованы им в 1873 году в книге “Трактат об электричестве и магнетизме”, т.е. почти 130 лет тому назад.

Громоздкий механистический вывод отдельных уравнений был опубликован в его более ранних статьях. В “Трактате” же Максвелл их вывел с помощью аппарата векторного анализа, показав, что переменные электрическое и магнитное поля находятся в неразрывной взаимосвязи, совокупность которых представляет собой единое электромагнитное поле. Основными векторами, характеризующими электромагнитное поле, являются индукция  B  и напряженность  H  магнитного поля, смещение  D  и напряженность  E  электрического поля и плотность электрического тока  J.  В указанных современных обозначениях система уравнений Максвелла, заключающая в себе теорию электромагнитного поля, записывается следующим образом.

В 60-х годах XIX в. английский ученый Дж. Максвелл (1831-1879) обобщил экспериментально установленные законы электрического и магнитного полей и создал законченную единую теорию электромагнитного поля. Она позволяет решить основную задачу электродинамики: найти характеристики электромагнитного поля заданной системы электрических зарядов и токов.      Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, всякое изменение магнитного поля во времени приводит к возникновению ЭДС индукции и появлению индукционного тока в проводниках, находящихся в этом магнитном поле.

Многочисленные опыты показали, что ЭДС  совершенно не зависит от проводника, его свойств (однородности, сопротивления). Опыт показывает, что в случае электромагнитной индукции сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре. Их возникновение также нельзя объяснить силой Лоренца, так как она на неподвижные заряды не действует. Следовательно, поле сторонних сил создается в самом пространстве, где происходит изменение магнитного поля и присутствие замкнутого проводника вовсе не обязательно: контур, в котором наводится ЭДС индукции, является лишь своего рода индикатором, обнаруживающим это поле.

Максвелл выдвинул гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, циркуляция которого и является причиной возникновения ЭДС электромагнитной индукции в контуре:

       (5.1)

      Уравнение (5.1) называют первым уравнением Максвелла. Смысл его заключается в том, что изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое, а последнее в свою очередь вызывает в окружающем диэлектрике или вакууме изменяющееся магнитное поле.

Поскольку магнитное поле создается электрическим током, то, согласно Максвеллу, вихревое электрическое поле следует рассматривать как некоторый ток, который протекает как в диэлектрике, так и в вакууме. Максвелл назвал этот ток током смещения. Механизм тока смещения будет рассмотрен ниже.

Можно показать, что циркуляция вектора вдоль любого замкнутого контура не равна нулю и след. электрическое поле, возбуждаемое переменным магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым.

29. Гипотеза Максвелла о токах смещения. Второе уравнение Максвелл как обобщение о циркуляции вектора магнитной индукции.

Ток смещения введен Максвеллом для установления количественных соотношений между переменным электрическим полем и вызываемым им вихревым магнитным полем.

Поскольку магнитное поле создается электрическим током, то, согласно Максвеллу, вихревое электрическое поле следует рассматривать как некоторый ток, который протекает как в диэлектрике, так и в вакууме. Максвелл назвал этот ток током смещения.

По Максвеллу полный ток в цепи всегда замкнут, т.е. на концах проводников обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости. Введя понятие полного тока, Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора  (или ):

     (5.6)

Уравнение (5.6) называется вторым уравнением Максвелла в интегральной форме. Оно представляет собой обобщенный закон полного тока и выражает основное положение электромагнитной теории: токи смещения создают такие же магнитные поля, как и токи проводимости.

Созданная Максвеллом единая макроскопическая теория электромагнитного поля позволила с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но предсказать новые, существование которых было впоследствии подтверждено на практике (например, открытие электромагнитных волн).      Обобщая рассмотренные выше положения, приведем уравнения, составляющие основу электромагнитной теории Максвелла.  

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля:     

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут создаваться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями

Для полного описания явлений в электрических и магнитных полях к уравнениям Максвелла надо добавить теорему Гаусса, а также выражения, связывающие напряженности поля и индукции в однородных средах: ,          

где - объемная плотность заряда внутри замкнутой поверхности; - удельная проводимость вещества.    Для стационарных полей (E=const, B=const) уравнения Максвелла принимают вид     

т.е. источниками магнитного поля в данном случае являются только токи проводимости, а источниками электрического поля – только электрические заряды. В этом частном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрические и магнитные поля

30. Плоская электромагнитная волна, ее основные характеристики. Волновые уравнения и их решения. Скорость э-м волн.

Электромагнитные волны, электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью. Существование Электромагнитные волны было предсказано М. Фарадеем в 1832. Дж. Максвелл в 1865 теоретически показал, что электромагнитные колебания не остаются локализованными в пространстве, а распространяются в вакууме со скоростью света с во все стороны от источника. Из того обстоятельства, что скорость распространения Электромагнитные волны в вакууме равна скорости света, Максвелл сделал вывод, что свет представляет собой Электромагнитные волны

В 1888 максвелловская теория Электромагнитные волны получила подтверждение в опытах Г. Герца, что сыграло решающую роль для её утверждения.  Теория Максвелла позволила единым образом подойти к описанию радиоволн, света, рентгеновских лучей и гамма-излучения. Оказалось, что это не излучения различной природы, а Электромагнитные волны с различной длиной волны. Частота w колебаний электрического Е и магнитного Н полей связана с длиной волны l соотношением: l= 2pс/w Радиоволны, рентгеновские лучи и g-излучение находят своё место в единой шкале Электромагнитные волны (рис.), причём между соседними диапазонами шкалы Электромагнитные волны нет резкой границы. 

Особенности Электромагнитные волны, законы их возбуждения и распространения описываются Максвелла уравнениями. Если в какой-то области пространства существуют электрические заряды е и токи I, то изменение их со временем t приводит к излучению Электромагнитные волны

На скорость распространения Электромагнитные волны существенно влияет среда, в которой они распространяются. Электромагнитные волны могут испытывать преломление, в реальных средах имеет место дисперсия волн, вблизи неоднородностей наблюдаются дифракция волн, интерференция волн (прямой и отражённой), полное внутреннее отражение и другие явления, свойственные волнам любой природы. Пространств, распределение электромагнитных полей, временные зависимости E (t) и H (t), определяющие тип волн (плоские, сферические и др.), вид поляризации и другие особенности Электромагнитные волны задаются, с одной стороны, характером источника излучения, и с другой — свойствами среды, в которой они распространяются.

В случае однородной и изотропной среды, вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, уравнения Максвелла, приводят к волновым уравнениям

:  ; ,  описывающим распространение плоских монохроматических Электромагнитные волны:  

Е = E₀ cos (kr — wt + j)  

Н = H₀ cos (kr — wt + j).  Здесь e — диэлектрическая проницаемость, µ— магнитная проницаемость среды, E₀ и H₀ — амплитуды колебаний электрических и магнитных полей, w — частота этих колебаний, j — произвольный сдвиг фазы, k — волновой вектор, r — радиус-вектор точки;. 

Если среда неоднородна или содержит поверхности, на которых изменяются её электрические либо магнитные свойства, или если в пространстве имеются проводники, то тип возбуждаемых и распространяющихся Электромагнитные волны может существенно отличаться от плоской линейно-поляризованной волны. Волновой вектор , имеющий направление нормали к волновой поверхности.

Длина волны , - период колебаний, - скорость , - частота колебаний

В изотропном пространстве скорость распространения гармонических Электромагнитные волны, т. e. фазовая скорость . При наличии дисперсии скорость переноса энергии с (групповая скорость) может отличаться от v.

31. Перенос энергии электромагнитной волной . Вектор плотности потока энергии - вектор Умова-Пойтинга.

Электромагнитные волны переносят энергию. Плотность потока энергии можно получит, умножив плотность энергии на скорость волны. Если волна распространяется в вакууме, то ее скорость рана скорости света с. Плотность энергии э-м поля состоит из плотности энергии магнитного поля и электрического поля

.

В данной точке пространства векторы Е и Н изменяются в одной фазе. Учтя, что в вакууме ε=µ=1, найдем соотношение меду Е и н

и след. плотности энергий электрического и магнитного полей в каждый момент времени одинаковы. Можно записать формулу для плотности потока энергии

.

Умножив полученное выражение на с получим модуль плотности потока энергии Вектор Пойнтинга (также вектор Умова-Пойнтинга) — вектор плотности потока энергии электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга S можно определить через векторное произведение двух векторов:

(в системе СГС),

(в системе СИ),

где E и H — вектора напряжённости электрического и магнитного полей соответственно. (в комплексной форме)

Этот вектор по модулю равен количеству энергии, переносимой через единичную площадь, нормальную к S, в единицу времени. Своим направлением вектор определяет направление переноса энергии волны.

Поскольку тангенциальные к границе раздела двух сред компоненты E и H непрерывны, то вектор S непрерывен на границе двух сред.

Плотность количества движения (импульса) электромагнитного поля определяется вектором . В этом соотношении проявляется материальность электромагнитного поля.

32. Плоская и сферическая электромагнитная волна : амплитуда, частота, период, длина волны, фаза.

Электромагнитные колебания - периодические или почти периодические изменения заряда, силы тока, магнитной индукции, напряжения и других электрических и магнитных величин.

Амплитуда поля не может непосредственно наблюдаться или измеряться, так как поле очень быстро меняется во времени с частотой и , а любые приемники излучения имеют значительно большее, чем период колебаний, время инерции .

Поэтому регистрируется лишь усредненная во времени величина - интенсивность поля .

Из уравнений Максвелла следует, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды поля , то есть равна квадрату модуля комплексной амплитуды (произведению комплексной амплитуды на величину, комплексно сопряженную ей):

Фаза колебаний - физическая величина, определяющая при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени.

Фаза колебаний выражается в угловых единицах или долях периода колебаний.

Длина волны λ- расстояние на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний

или расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2π. (м или его производных мкм и др.)

Частота колебаний (1/с).

Амплитуда - максимальное значение периодически изменяющейся величины.

Период колебаний - время одного полного колебания.

Частота колебаний - количественная характеристика периодического колебательного процесса, равная числу полных колебаний, совершаемых в единицу времени.

Частота колебаний: - обратно пропорциональна периоду колебаний; - измеряется в герцах.

Плоские волны (plane waves) называются так потому, что они имеют плоские волновые фронты (рис.1.4.2).

Рис.1.4.2. Плоские волны.

Волновой фронт - это поверхность в пространстве, на которой или фаза имеет одинаковые значения:

Различным значениям постоянной соответствуют разные волновые фронты. Если менять , то волновой фронт будет перемещаться в пространстве, переходя из одного состояния в другое. Поле распространяется в сторону увеличения .

Направление распространения света перпендикулярно волновым фронтам, как показано на рис.1.4.2.

Уравнение плоской волны имеет следующий вид:

Для плоской волны амплитуда постоянна, меняется только фаза, который можно записать как уравнение плоскости:

Плоские волны замечательны тем, что любое сложное поле можно представить в виде совокупности плоских волн. Поэтому эти волны являются универсальным базисом для описания световых полей.

Сферические волны (spherical waves) имеют волновой фронт в виде концентрических сфер (рис.1.4.3).

Рис.1.4.3. Сферические волны.

Уравнение сферической волны:

Уравнение эйконала сферической волны:

где - это длина радиус-вектора точки в пространстве.

Сферические волны так же, как и плоские, могут быть использованы для представления сложных полей, кроме того, плоские волны можно считать частным случаем сферической волны с бесконечно малой кривизной волнового фронта.

Шкала электромагнитных волн

Электромагнитные волны классифицируются по длине волны или связанной с ней частотой волны. Отметим также, что эти параметры характеризуют не только волновые, но и квантовые свойства электромагнитного поля. Соответственно в первом случае электромагнитная волна описывается классическими законами, изучаемыми в данном томе, а во втором - квантовыми законами, изучаемыми в томе 5 настоящего пособия.

Рассмотрим понятие спектра электромагнитных волн. Спектром электромагнитных волн называется полоса частот электромагнитных волн, существующих в природе.

Спектр электромагнитного излучения в порядке увеличения частоты составляют:

1) Радиоволны;

2) Инфракрасное излучение;

3) Световое излучение;

4) Рентгеновское излучение;

5) Гамма излучение.

Различные участки электромагнитного спектра отличаются по способу излучения и приёма волн, принадлежащих тому или иному участку спектра. По этой причине, между различными участками электромагнитного спектра нет резких границ.

Радиоволны.

Радиоволны представляют собой электромагнитные волны, длины которых превосходят 0.1мм( частота меньше 3 10¹²гц = 3000 Ггц).

Радиоволны делятся на:

1. Сверхдлинные волны с длиной волны больше 10км( частота меньше 3 10⁴гц=30кгц);

2. Длинные волны в интервале длин от10км до 1км( частота в диапазоне 3 10⁴ гц ^-3 10⁵гц=300кгц);

3. Средние волны в интервале длин от1км до 100м(частота в диапазоне 3 10⁵ гц -310⁶гц=3мгц);

4. Короткие волны в интервале длин волн от 100м до 10м (частота в диапазоне 310⁶гц-310⁷гц=30мгц);

5. Ультракороткие волны с длиной волны меньше 10м(частота больше 310⁷гц=30Мгц).

Ультракороткие волны в свою очередь делятся на :

а) метровые волны;

б) сантиметровые волны;

в) миллиметровые волны;

г) микрометровые.

Волны с длиной волны меньше, чем 1м(частота меньше чем 300мгц) называются микроволнами или волнами сверхвысоких частот(СВЧ - волны).

Инфракрасное и световое излучения.

Инфракрасное, световое, включая ультрафиолетовое, излучения составляют оптическую область спектра электромагнитных волн в широком смысле этого слова. Близость участков спектра перечисленных волн обусловило сходство методов и приборов, применяющихся для их исследования и практического применения.

Исторически для этих целей применяли линзы, дифракционные решетки, призмы, диафрагмы, оптически активные вещества, входящие в состав различных оптических приборов (интерферометров, поляризаторов, модуляторов и пр.).

С другой стороны излучение оптической области спектра имеет общие закономерности прохождения различных сред, которые могут быть получены с помощью геометрической оптики, широко используемой для расчетов и построения, как оптических приборов, так и каналов распространения оптических сигналов.

Оптический спектр занимает диапазон длин электромагнитных волн в интервале от 210^-6м= 2мкм до 10^-8м=10нм (по частоте от1.510¹⁴гц до 310¹⁶гц).

Верхняя граница оптического диапазона определяется длинноволновой границей инфракрасного диапазона, а нижняя коротковолновой границей ультрафиолета

Ширина оптического диапазона по частоте составляет примерно 18 октав¹, из которых на оптический диапазон приходится примерно одна октава(); на ультрафиолет - 5 октав (), на инфракрасное излучение - 11 октав ().

В оптической части спектра становятся существенными явления, обусловленные атомистическим строением вещества. По этой причине наряду с волновыми свойствами оптического излучения проявляются квантовые свойства.

Рентгеновское излучение возникает при торможении быстрых заряженных частиц (электронов, протонов и пр.), а также в результате процессов, происходящих внутри электронных оболочек атомов.

Гамма излучение является следствием явлений, происходящих внутри атомных ядер, а также в результате ядерных реакций. Граница между рентгеновским и гамма излучением определяются условно по величине кванта энергии ², соответствующего данной частоте излучения.

Рентгеновское излучение составляют электромагнитные волны с длиной от50 нм до 10^-3нм, что соответствует энергии квантов от 20эв до 1Мэв.

Гамма излучение составляют электромагнитные волны с длиной волны меньше 10^-2нм, что соответствует энергии квантов больше 0.1Мэв.