1.12. Базисный минор

Остыловский А.Н. Лекция 12.

Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы. Критерий равенства нулю определителя. Теорема о ранге матрицы. Нахождение ранга матрицы

12.1. Теорема о базисном миноре. Рассмотрим произвольную

(m n) матрицу A.

Определение 1.Минором матрицы A, построенным на строках с номерами i1, i2, : : : ; ik и столбцах с номерами j1, j2, : : : ; jk, называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы A, расположенные на пересечении указанных строк и столбцов.

Определение 2. Минор M произвольной матрицы называется базисным, если он отличен от нуля, а любой минор на единицу большего порядка, включающий в себя M, равен нулю (или такого минора не существует); строки и столбцы, на которых построен базисный минор, называются базисными.

Теорема 1 (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы; любая строка (столбец) является линейной комбинацией базисных.

Доказательство. Доказательство теоремы проведем для строкдля столбцов она доказывается аналогично.

Допустим, что базисные строки линейно зависимы. Тогда одна из них представима в виде линейной комбинации оставшихся. Значит и в базисном миноре соответствующая строка представима в виде линейной комбинации оставшихся строк с теми же коэффициентами. Но тогда базисный минор равен нулю. Противоречие.

Осталось доказать, что любая строка представима в виде линейной комбинации базисных строк. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что базисный минор M расположен в левом

1

верхнем углу матрицы (в противном случае строки и столбцы можно

соответствующим образом переставить), k его порядок. Добавим

к нему i-ю строку и j-й столбец:

Полученный определитель равен нулю. В самом деле, если i k

или j k, то в нем две одинаковые строки или два одинаковых

столбца; если же i > k и j > k, то он является минором (k + 1)-го

порядка, включающим в себя M, а значит, равен нулю по условию

теоремы.

Разложим этот определитель по последнему столбцу:

При этом числа A1j , A2j , ..., Akj и M не зависят от j (число M не зависит также и от i). Учитывая, что M 6= 0, положим

Тогда из (1) получим

Так как j здесь произвольное, коэффициенты 1, 2, k не зависят

от j, то выполняются n равенств

8

>>ai1 = 1a11 + 2a21 + + kak1;

>

>

>

><ai2 = 1a12 + 2a22 + + kak2;

> : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

>

>

>

>

>

:

ain = 1a1n + 2a2n + + kakn;

2

или в виде строк

hi

+2 a21; a22; : : : ; a2n +

h i

+ k ak1; ak2; : : : ; akn :

Таким образом, i-я строка есть линейная комбинация с коэффициентами 1,..., k базисных строк. 2

Следствие 1. Если минор M базисный, то любой минор большего порядка (если такой есть) равен нулю.

Доказательство. Рассмотрим произвольный минор N порядка p > k. По теореме о базисном миноре любая его строка ni равна линейной комбинации укороченных базисных строк (употребляем немое суммирование)

ni = is^as:

Поэтому

Но каждый из определителей (^as1 ; : : : ; ^asp ) равен нулю, поскольку из p его строк различных не более k. Следовательно, N = 0. 2

Следствие 2. Все базисные миноры имеют одинаковый порядок.

3

Доказательство немедленно получается из следствия 1. 2

12.2. Ранг матрицы.

Определение 3.Максимальной линейно независимой системой строк матрицы называется такая подсистема ее строк, что добавление к ней любой иной строки матрицы (если таковая существует) превращает ее в линейно зависимую.

Теорема 2. Число строк в любой максимальной линейно независимой системе строк матрицы равно порядку её базисного минора.

Доказательство. Пусть k порядок базисного минора матрицы A и a1; : : : ; as некоторая максимальная линейно независимая система её строк. Составим из них матрицу B.

Предположим, что s > k. Так как любой минор матрицы B является минором матрицы A, то порядок базисного минора матрицы

B не превосходит k. Поэтому в матрице B существует небазисная (для этого базисного минора) строка. По теореме о базисном миноре упомянутая строка есть линейная комбинация базисных. Противоречие.

Предположим, что s < k. Тогда произвольная строка b матрицы

A является линейной комбинацией строк a1; : : : ; as. В таком случае, любой минор порядка s + 1, выбранный в строках a1; : : : ; as; b равен нулю. Тогда базисный минор матрицы A имеет порядок s. Противоречие. Следовательно, s = k. 2

Определение 4. Строчным рангом матрицы называется наибольшее (максимальное) число её линейно независимых строк.

Ранг матрицы обозначается так: rang A.

Замечание. Аналогично доказывается, что наибольшее (максимальное) число линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый ранг) равно порядку ее базисного минора. Тем самым, наи-

4

большее (максимальное) число линейно независимых строк равно наибольшему (максимальному) числу линейно независимых столбцов и равно порядку базисного минора. Это число и называют рангом матрицы.

Следствие. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Доказательство. Если строки линейно зависимы, то одна из них равна линейной комбинации остальных, а значит определитель равен нулю. Обратно, если определитель (n n)-матрицы равен нулю, то rang A < n, а значит, ее строки линейно зависимы. 2

12.3. Нахождение ранга матрицы. Будем считать, что первая строка матрицы A ненулевая. Этого можно добиться переставляя нулевые строки на последние места ранг матрицы при этом не меняется. Теперь переставляя столбцы матрицы добьёмся того, чтобы первый элемент первой строки был ненулевой (столбцовый ранг, а значит и просто ранг матрицы при этом не изменился). Итак,

a11 6= 0.

Первую строку, помноженную на a21=a11 прибавим ко второй. Первую строку, помноженную на a31=a11 прибавим к третьей и т.д. Ранг матрицы не изменится, поскольку нулевые миноры останутся нулевыми, а ненулевые ненулевыми. Матрица примет вид

23

При необходимости, переставляя вторую строку с нижележащими и второй столбец со столбцами расположенными правее, добьёмся a022 6= 0. Домножая вторую строку на нужные числа и прибавляя

5

к нижележащим приведем матрицу к виду

23

a011 a021 : : : a0m1

67

60 a0022 : : : a00m27

67

Ранг матрицы при этих преобразованиях вновь не изменился, rang A = rang A00.

Продолжая описанный процесс далее, приведем матрицу A к ви-

где все числа bii отличны от нуля и rang A = rang B. Базисный минор матрицы B находится в её левом верхнем углу и имеет порядок r.

Упражнения

1. Пусть

h iT h i

x = x1; x2; : : : xn ; y = y1; y2 : : : yn ; B = xy:

Докажите, что rang A = 1.

23

1 2 3

6

б) Найдите коэффициенты разложения небазисной строки по базисным строкам и небазисного столбца по базисным столбцам.

в) Найдите все базисные миноры.

3. Пусть A и B квадратные матрицы порядка n, причем det A 6= 0. Докажите, что rang AB = rang BA = rang B.

7