1.9.Матрицы. Арифм. пр-ва
.pdfЛекция 9.
Остыловский А.Н. Матрицы. Арифметические пространства строк и столбцов. Матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Арифметические пространства. Линейные комбинации. Линейная оболочка. Линейная зависимость
9.1. Матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.
Таблица из чисел вида
|
2 a12 |
a22 |
: : : an2 |
3 |
|
|
6 |
a11 |
a21 |
: : : an1 |
7 |
A = |
: : : : : : : : : : : : : : : |
||||
|
6 |
|
|
|
7 |
|
6 am |
am |
: : : am |
7 |
|
|
6 |
1 |
2 |
n |
7 |
|
4 |
|
|
|
5 |
называется (m n) матрицей .
Числа, составляющие матрицу, называют элементами матрицы. Индексы i, j означают, что элемент aij расположен на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы.
Если m = 1, то матрица называется матрицей-строкой или просто строкой. Если n = 1, то матрица называется матрицейстолбцом или просто столбцом.
Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк ее порядком.
Для обозначения матрицы используют различные символы, например: A, A(n n), A = (aij), A = [aij] и т.п., или же она указывается явно в виде таблицы, в зависимости от того, какие характеристики матрицы нужно отметить. Элемент aij матрицы A иногда удобно обозначать символом fAgij. В некоторых случаях оба индекса ставят вверху или внизу. При этом первый индекс обозначает номер строки, а второй номер столбца.
1
Две матрицы одинаковых размеров называют равными, если равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.
Суммой (m n)-матриц A = [aij] и B = [bij] называется такая (m n)-матрица C = [cij], что cij = aij + bij.
Иными словами,
fA + Bgij = fAgij + fBgij:
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой
матрицей и обозначается через O.
Произведением (m n)-матрицы A = [aij] на число называется такая (m n)-матрица C = [cij], что cij = aij для всех i, j. Эта операция обозначается C = A.
Матрицу ( 1) A называют противоположной матрице A и обо-
значают A.
Сумма матриц B и A называется разностью матриц B и A и
обозначается B A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, если |
|
|
3# |
|
"3 |
|
1# |
|
A = " |
1 |
0 |
; B = |
3 |
; |
|||
|
2 |
1 |
0 |
|
1 |
2 |
1 |
|
то
" |
|
# |
0 |
10 |
4 |
2A 4B = |
12 |
: |
14 |
2 |
Из свойств сложения и умножения чисел легко следует
Предложение 1. Для любых (m n)-матриц A, B, C и любых чисел и выполнены равенства
1.A + B = B + A,
2.(A + B) + C = A + (B + C),
3.A + O = A,
4.A + ( A) = O,
2
5.1 A = A,
6.( )A = ( A),
7.( + )A = A + A,
8.(A + B) = A + B.
9.2. Арифметические пространства. Множество всех упорядоченных наборов из n вещественных чисел (a1; a2; : : : ; an), для которых определены операции сложения и умножения на число по правилам:
(a1; a2; : : : ; an) + (b1; b2; : : : ; bn) = (a1 + b1; a2 + b2; : : : ; an + bn);(a1; a2; : : : ; an) = ( a1; a2; : : : ; an);
называется векторным пространством строк и обозначается Rn. Элементы из Rn будем называть строками, векторами-строками
или просто векторами.
Поскольку строки складываются и умножаются на число по тем же правилам, что и (1 n)-матрицы, то для строк выполняются свойства 1)–8) предложения 1.
Аналогично определяется векторное пространство Rn столбцов высоты n. Индексы у элементов столбца принято записывать вверху:
2 3
a1 |
7 |
|
6a2 |
n |
|
6 |
7 |
|
a = 6 ... |
7 2 R : |
|
6 |
7 |
|
4 |
5 |
|
an
Свойства у пространств Rn и Rn абсолютно одинаковые, но в некоторых случаях использование их обоих дает синтаксическое удобство.
9.3 Линейные комбинации. Линейная оболочка. Пусть a1, a2, : : :, ak векторы из Rn и 1, 2, : : : , k
числа (k 1). Сумма
1a1 + 2a2 + + kak
3
называется линейной комбинацией векторов ai с коэффициентами i. Например,
(1; 2; 0; 1) + 3 (2; 0; 1; 0) 2 (1; 1; 1; 3) + 0 (2; 6; 8; 0) = (5; 0; 1; 7):
Если вектор a представлен в виде линейной комбинации
a = 1a1 + 2a2 + + kak;
то говорят, что вектор a разложен по векторам a1, a2, : : :, ak. Если все коэффициенты равны нулю, то линейная комбинация
называется тривиальной, в противном случае (т.е. если хотя бы один коэффициент отличен от нуля) нетривиальной. Тривиальная линейная комбинация, очевидно, всегда дает нулевой вектор. Однако и нетривиальная линейная комбинация может равняться нулевому вектору.
Множество V всех линейных комбинаций системы строк a1, a2,
: : :, ak называется линейной оболочкой этой системы и обозначается
ha1; a2; : : : ; aki = f 1a1 + 2a2 + + kak j i 2 R; i = 1; : : : ; kg:
Установим важнейшие алгебраические свойства линейной оболочки. Пусть x; y 2 V , т.е.
x = 1a1 + 2a2 + + nan;
y = 1a1 + 2a2 + + nan:
Тогда
x + y = ( 1 + 1)a1 + ( 2 + 2)a2 + + ( n + n)an 2 V;
x = 1a1 + 2a2 + + nan 2 V;
4
т.е. x + y и x снова элементы из V . Иными словами, линейная оболочка V замкнута относительно сложения своих элементов и умножения их на числа.
Отсюда следует, что если x1; x2; : : : ; xm 2 V , то
1x1 + 2x2 + + mxm 2 V
для любого натурального n и любых 1; 2; : : : ; m 2 R.
Среди всевозможных строк в пространстве Rn особую роль играют, так называемые, единичные строки
e1 = (1; 0; : : : ; 0); e2 = (0; 1; : : : ; 0); : : : ; en = (0; 0; : : : ; 1):
поскольку произвольная строка x = (x1; x2; : : : ; xn) может быть представлена и притом единственным образом в виде их линейной комбинации:
x= x1e1 + x2e2 + + xnen:
9.4.Линейная зависимость.
Определение. Система строк из Rn называется линейно зависимой, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке; в противном случае она называется линейно независимой.
Иными словами (докажите равносильность): система строк называется линейно независимой, если их линейная комбинация равна нулевой строке лишь в том случае, когда эта линейная комбинация тривиальна.
Примером линейно независимой системы строк может служить система единичных векторов-строк (докажите это).
Теорема 1. Система строк, содержащая нулевую строку, линейно зависима.
Доказательство. Пусть, например, a1 = 0. Тогда 1 a1 + 0
a2 + + 0 ak = 0. 2
5
Теорема 2. Система строк x1; x2; : : : xk, некоторая подсистема которой линейно зависима, сама линейно зависима.
Доказательство. Пусть, например, первые s строк x1; : : : xs, s < k, линейно зависимы, т.е. существуют такие числа 1; : : : ; s, что 1x1 + + sxs = 0 и при этом не все i равны нулю. Имеем:
1x1 + + sxs + 0xs+1 + + 0xk = 0:
Но это и означает по определению, что строки x1; x2; : : : xk линейно зависимы. 2
Теорема 3. Строки линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией остальных.
Доказательство. Если строки x1; : : : xk линейно зависимы, то существуют такие числа 1; : : : ; k, что 1x1 + kxk = 0, причем не все i равны нулю. Пусть, например, 1 6= 0. Тогда
x1 = 2 x2 k xk;1 1
т.е. строка x1 есть линейная комбинация оставшихся строк. Обратно, пусть, например, x1 = 2x2 + kxk. Тогда
1 x1 2x2 kxk = 0
и при этом коэффициент при x1 заведомо не равен нулю, т.е. система x1; : : : xk линейно зависима. 2
Теорема 4. Если строки x1; : : : xk линейно независимы, а строки x1; : : : xk; x линейно зависимы, то x линейная комбинация строк x1; : : : xk.
Доказательство. По условию существует нетривиальная равная нулевой строке линейная комбинация
1x1 + kxk + x = 0:
6
При этом 6= 0, так как в противном случае строки x1; : : : xk окажутся линейно зависимы. Тогда
x= 1 x1 k xk;
1
что и требовалось доказать. 2
Теорема 5. Любая подсистема линейно независимой системы сама линейно независима.
Доказательство получается обращением теоремы 2. 2
Для данной конкретной системы строк вопрос о наличии линейной зависимости не прост. Он будет рассмотрен ниже после изложения соответствующего аппарата.
Упражнения
Доказать:
1.Система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда линейно независима любая её подсистема.
2.Система векторов x1; x2; : : : xk линейно зависима тогда и только тогда, когда x1 = 0, либо некоторый вектор xs, 2 s k, есть линейная комбинация предыдущих.
3.Если какой-либо вектор единственным образом представляется
ввиде линейной комбинации векторов x1; x2; : : : xk, то эта система линейно независима.
4.Если система векторов линейно независима, то любой вектор её линейной оболочки единственным образом представляется в виде линейной комбинации векторов системы.
5.Если система векторов линейно зависима, то для любого вектора её линейной оболочки существует бесконечно много разложений по векторам системы.
7