1.15. Линейные пространства
.pdfОстыловский А.Н. Лекция 15.
Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Свойства линейного пространства. Линейная зависимость. Базис. Теорема о равномощности базисов. Размерность. Замена базиса. Матрица перехода. Преобразование координат вектора при замене базиса.
15.1. Аксиомы линейного пространства. В предложении 1 лекции 10 были отмечены 8 свойств операций над матрицами. Таким же свойствам удовлетворяют операции сложения и умножения на числа векторов. Будем изучать абстрактное множество L с операциями "сложения\и "умножения\на числа, удовлетворяющими упомянутым свойствам 1)–8). О природе этих операций неизвестно ничего, кроме свойств 1)–8), поскольку нам неизвестно устройство множества L. Но если мы докажем какое-либо утверждение для L, то оно будет верно и для матриц, и для геометрических векторов, и для других конкретных структур на которых определены операции со свойствами 1)–8).
Определение 1. Непустое множество L называется линейным пространством над полем действительных чисел R, если на нём определены операции сложения двух элементов (x; y) ! x + y и
умножения (; x) ! x на числа. При этом предполагается, что для любых x; y; z 2 L и любых ; 2 R выполнены аксиомы
1 . x + y = y + x;
2 . (x + y) + z = x + (y + z);
3 . Существует такой элемент o 2 L (называемый нулевым), x + o = x x 2 L;
4 . Для любого x 2 L существует такой элемент ( x) 2 L (называемый противоположным), что x + ( x) = o;
5 . ( + )x = x + x;
1
6 . ( x) = ( )x;
7 . (x + y) = x + y; 8 . 1 x = x.
Элементы линейного пространства называют векторами. Примерами линейных пространств являются, как мы уже отме-
чали, множества геометрических векторов и множество (m n)- матриц. Рассмотрим ещё примеры.
Пример 1. Множество C[a;b] всех непрерывных на отрезке [a; b]
функций является линейным пространством относительно общепринятого сложения функций и умножения их на числа.
Пример 2. Множество всех последовательностей чисел является линейным пространством относительно общепринятого сложения последовательностей и умножения их на числа.
15.2. Свойства линейного пространства.
Теорема 1. В линейном пространстве:
1 существует единственный нулевой вектор o;
2 для каждого вектора x существует единственный противоположный вектор x.
Доказательство. 1 . Предположим, что кроме o существует ещё один нулевой элемент o0. Тогда, с одной стороны, o + o0 = o; с другой o + o0 = o0. Тогда o = o0.
2 . Предположим, что для некоторого x кроме ( x) существует ещё один противоположный элемент ( x)0. Тогда
( x) = |
o + ( x) = (( x)0 + x) + ( x) = |
= |
( x)0 + (x + ( x)) = ( x)0 + o = ( x)0: |
2
Теорема 2. Для любого x 2 L
1 0x = o;
2
2 ( 1)x = ( x).
Доказательство. 1 . Используя аксиомы 1–8, имеем:
0x + x = (0 + 1)x = 1 x = x:
Прибавляя к начальной и конечной частям этой цепочки равенств вектор ( x), получим 0x = o.
2 . x + ( 1)x = 1x + ( 1)x = (1 1)x = 0x = o: 2
Теорема 3. Для любых двух векторов a; b 2 L существует единственный вектор x 2 L, являющийся решением уравнения a + x = b и называемый разностью b a.
Доказательство. Проверим, что вектор b + ( a) является решением нашего уравнения. Имеем:
a + b + ( a) = (a + ( a)) + b = b:
Предположим, что уравнение a + x = b имеет два решения u и v, т.е. a + u = b и a + v = b. Тогда a + u = a + v. Прибавляя к обеим частям последнего равенства ( a), получим u = v. 2
Замечание. Теперь в линейном пространстве мы можем производить привычные со школы действия: переносить в другую часть равенства выражения с противоположным знаком, выносит общий числовой множитель за скобку, взаимно уничтожать одинаковые слагаемые в разных частях равенства и т.д.
15.3. Линейная зависимость.
Определение 4. Система векторов x1; x2; : : : ; xk линейного пространства L называется линейно зависимой если найдутся такие числа 1; 2; : : : ; k, не все равные нулю, что
1x1 + 2x2 + + kxk = o:
В противном случае система векторов x1; x2; : : : ; xk называется линейно независимой.
3
Замечание. Все утверждение о линейной зависимости системы векторов в арифметическом пространстве вместе с доказательствами дословно переносятся из лекции 10 на более общий случай линейного пространства.
15.4. Базис.
Определение 5. Упорядоченная система векторов e = (e1; e2; : : : ; en) линейного пространства L называется базисом
этого пространства, если выполнены условия:
1)система e = (e1; e2; : : : ; en) линейно независима;
2)любой вектор x 2 L представим в виде линейной комбинации векторов e1; e2; : : : ; en:
x = 1e1 + + nen: |
(1) |
Числа 1; : : : ; n при этом называются координатами вектора x в
базисе e. Столбец
23
1
= |
6 |
... 7 |
= [x]e |
(2) |
|
|
6 |
7 |
|
|
|
45
n
называется координатным столбцом вектора x в базисе e.
Из (1), (2) следует компактное представление
2 3
1
x = (e1; e2; : : : ; en) 6 ... 7 = e : (3)
6 7
4 5
n
Теорема 4. Координаты вектора в данном базисе определяют-
ся однозначно.
Доказательство. Пусть e = (e1; e2; : : : ; en) базис в линей-
ном пространстве L и
x = 1e1 + + nen; |
(4) |
4
x = 1e1 + + nen; |
(5) |
два разложения вектора x. Вычитая (15) из (5), получим
o = ( 1 1)e1 + + ( n n)en: |
(6) |
Так как система e = (e1; e2; : : : ; en) линейно независима, то отсюда следует
1 = 1; : : : ; n = n:
2
Следствие. При фиксированном базисе e = (e1; e2; : : : ; en) отображение ' : x ! [x]e есть взаимнооднозначное отображение из L в Rn.
Теорема 5. Соответствие удовлетворяет условиям:
1) (x + y) = (x) + (y); x; y 2 L;
2) ( x) = (x); x 2 L; 2 R:
Иными словами:
1’) [x + y]e = [x]e + [y]e, 2’) [ x]e = [x]e.
Доказательство. Упражняйтесь. 2
Замечание. Указанное в теореме 5 соответствие позволяет не различать при фиксированном базисе пространства L и Rn.
Иллюстрацией этого замечания служит полезная
Лемма. Векторы x1; : : : ; xn 2 L линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы в любом (некотором) базисе.
Доказательство. Упражняйтесь.
Определение 6. Линейное пространство L называется конечномерным, если в нём существует конечный базис.
Мы будем рассматривать только конечномерные пространства.
5
Теорема 6. Любые два базиса конечномерного линейного пространства L состоят из одинакового количества векторов.
Доказательство. Пусть e = (e1; : : : ; en) и f = (f1; : : : ; fm)
два базиса в L, причём m > n. Разложим векторы базиса f по векторам базиса e:
:f:1: : |
=: : : : :1:e:1: +: : : |
: : :+: : :1:e: :1;: |
9: |
||
|
1 |
|
|
n |
> |
|
1 |
|
|
n |
> |
|
|
|
|
|
= |
fm = me1 + + me1 |
> |
||||
Столбцы матрицы |
|
1 |
. |
1 |
; |
|
2 ...1 |
..... ...m3 |
> |
||
|
S = |
|
|||
|
|
6 1 |
.. m7 |
|
|
|
|
6 |
|
7 |
|
|
|
4 |
. |
5 |
|
|
|
n |
n |
|
суть координатные столбцы векторов f1; : : : ; fm в базисе e. Так как m > n, то порядок базисного минора матрицы S не превосходит n
и число m столбцов матрицы S больше порядка базисного минора. Тогда по теореме о базисном миноре столбцы матрицы S линейно зависимы. Тогда (см. упражнение 5) линейно зависимы и векторы f1; : : : ; fm. Противоречие. 2
Теперь мы можем корректно сформулировать
Определение 7. Число векторов в базисе линейного пространства L называется его размерностью и обозначается dim L.
15.5. Замена базиса. Матрица перехода. Преобразование координат вектора при замене базиса. Пусть e = (e1; : : : ; en) и e0 = (e01; : : : ; e0n) два базиса в линейном пространстве L. Разложим векторы базиса e по базису e0:
:e:10 : : |
=: : : |
: :1:e:1:+: : : : : |
+: : : :1:e:n: |
9: |
|
|
|
1 |
n |
> |
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
= |
|
en0 |
= ne1 + + nen |
> |
(7) |
||
> |
|
||||
|
|
|
|
> |
|
;
6
Используя немое суммирование эти соотношения можно переписать так
ej0 = jiei: |
|
|
||
Матрица |
|
.. |
|
3; |
S = [ ji] = |
1 |
1 |
||
2 ... |
... |
... |
||
|
1 |
. |
n |
7 |
|
6 1 |
.. n |
||
|
6 |
|
|
7 |
|
4 |
. |
|
5 |
|
n |
n |
|
(8)
(9)
столбцами которой служат координатные столбцы векторов базиса e0 в базисе e, называется матрицей перехода от базиса e к базису e0.
Соотношения (7), (8) можно записать в матричной форме
|
|
|
|
0 = |
|
|
S: |
(10) |
|
|
|
e |
e |
||||||
Умножив (10) справа на S 1, получим |
|
||||||||
|
|
= |
|
0S 1: |
(11) |
||||
|
e |
e |
|||||||
Отсюда |
|
||||||||
|
ej = jiei0; |
(12) |
где [ ji] = S 1.
Выясним теперь как связаны между собой координаты одного и
того же вектора в различных базисах. Пусть x 2 L и |
|
||||||||
x = |
|
= |
|
|
0 0: |
(13) |
|||
e |
e |
||||||||
Отсюда и из (10) следует |
|
||||||||
x = ( |
|
S) 0 = |
|
(S 0): |
(14) |
||||
e |
e |
Ввиду однозначности разложения вектора x по базису e получаем искомую связь
= S 0: |
(15) |
7
Домножив (15) на S 1 слева, получим |
|
0 = S 1 : |
(16) |
В компонентах (15) и (16), соответственно, примут вид |
|
i = ji 0j; |
(17) |
0i = ji j: |
(18) |
Соотношение (18) называют иногда аналитическим определением вектора. Говорят, что в линейном пространстве задан вектор, если каждому базису поставлена в соответствие упорядоченная n- ка чисел, причём при замене базиса компоненты её преобразуются по закону (18).
Упражнения
1. Пусть U линейное подпространство линейного пространства
L над полем R. Показать:
1)o 2 U;
2)x 2 U для любого x 2 U;
3) 1x1 + + nxn 2 U для любых 1; : : : ; n 2 R и любых x1; : : : ; xn 2 U;
4) U является линейным пространством над R.
2.Докажите, что система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из её векторов представим в виде линейной комбинации оставшихся.
3.Докажите, что всякая максимальная линейно независимая система в конечномерном линейном пространстве является базисом.
4.Докажите, что в конечномерном линейном пространстве всякую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса.
8