Работа 29

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ

В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

С ПОМОЩЬЮ ОСЦИЛЛОГРАФА

Цель работы. Изучение с помощью электронного осцил­лографа электромагнитных колебаний, возникающих в коле­бательном контуре, содержащем индуктивность, емкость и активное сопротивление; изучение условий возникновения за­тухающих колебаний в контуре; расчет основных физических величин, характеризующих эти колебания.

ВВЕДЕНИЕ

На рис. 1 изображена электрическая схема простейшего колебательного контура с сосредоточенными параметрами, содержащего последовательно соединенные конденсатор ем­костью C, катушку индуктивностью L и активное сопротивле­ние R.

Рис. 1

Если в какой-либо момент времени одной из обкладок кон­денсатора сообщить электрический заряд или создать условия для возникновения в катушке электродвижущей силы (ЭДС) индукции, а затем убрать источники возбуждения, в кон­туре начнутся свободные электромагнитные колебания.

Исследуем характер колебаний, возникающих в идеали­зированном колебательном контуре в отсутствие сопротивле­ния R = 0 при сообщении конденсатору заряда qо.

Энергия электрического поля конденсатора емкостью C равна

,

где Uо = qо/С — максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора.

Под действием электрического поля начинается движение зарядов и конденсатор разряжается. В контуре возникает электрический ток

(1)

где dq(t) — изменение заряда на обкладках конденсатора. Знак минус показывает, что возникновение тока сопровож­дается уменьшением заряда на обкладках конденсатора (dq<0).

Энергия электрического поля конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля, создаваемого током в катушке. Возрастание тока (dI>0) в катушке индуктивно­стью L приводит к появлению в ней электродвижущей силы (ЭДС) самоиндукции (t), препятствующей изменению тока ( <0):

При полном разряде конденсатора его электрическое поле исчезает, а ток в контуре, наоборот, достигает максимального значения I_о. Максимального значения достигает и магнитное поле в катушке:

С этого момента начинается перезарядка конденсатора. Ток в контуре начинает убывать, вследствие чего ЭДС самоин­дукции изменяет знак, препятствуя убыванию тока. Энергия магнитного поля катушки уменьшается, а энергия электри­ческого поля конденсатора растет, стремясь к максимально­му значению, которому соответствует полная перезарядка конденсатора. В тот момент времени мгновенные значения электрического тока и энергии магнитного поля обращают­ся в нуль. Далее процесс повторяется в обратном порядке. В контуре устанавливаются незатухающие электромагнит­ные колебания.

Интервал времени между двумя последовательными мак­симумами колебаний (разность фаз—2) называется п е ­р и о д о м к о л е б а н и й T.

Заметим, что описанные выше колебания происходили бы бесконечно долго лишь при отсутствии испускания таким кон­туром электромагнитного излучения.

Если колебательный контур содержит активное сопро­тивление R, то при протекании по нему тока часть энергии выделяется в виде тепла

При этом уменьшаются с течением времени амплитудные значения тока в контуре и разности потенциалов на обклад­ках конденсатора. Колебания затухают.

Временная зависимость разности потенциалов на обклад­ках конденсатора U(t) = ₁-₂ наблюдается в данной рабо­те на экране осциллографа. Эту зависимость можно полу­чить теоретическим путем, используя закон Ома для участ­ка цепи, содержащей ЭДС. Для мгновенных значений токов и напряжений в таком контуре закон Ома запишется в виде

(2)

Преобразуем это уравнение, используя формулу (1) и со­отношение q=CU. Тогда уравнение (2) примет вид

(3)

Разделив обе части уравнения (3) на LC и введя обо­значения

где ₀ называется собственной циклической (круговой) часто­той контура, а  — коэффициентом затухания, получим диф­ференциальное уравнение

(4 )

решение которого дает искомую зависимость U(t).

Рис. 2

Следует отметить, что аналогичные дифференциальные уравнения могут быть получены для различного рода меха­нических, электромеханических и других колебательных си­стем, в которых отсутствуют внешние вынуждающие воз­действия, а силы сопротивления линейно зависят от скоро­сти движения (скорости изменения параметра системы, со­вершающей колебания). При этом энергия, внесенная в систему извне, непрерывно уменьшается в процессе колебаний, переходя, в конечном счете, в теп­ловую энергию.

Уравнение (4) есть линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для частного случая, когда <₀, его решение имеет вид

(5)

где ₀ — начальная фаза колебаний;  — циклическая частота затухающих колебаний:

На рис.2 показана зависимость U(t) для различных ре­жимов работы контура.

Выражение (5) описывает затухающий колебательный процесс (рис. 2,б) с периодом колебаний

(6)

Амплитудой затухающих колебаний называют величину

(7)

где U_o—максимально возможное значение амплитуды напря­жения: U_o = A(t = 0).

Вообще говоря, при   0 разность потенциалов U(t) не является строго периодической функцией времени: U(t)  U(t+T). Периодом колебаний в этом случае принято счи­тать минимальные промежутки времени между наибольши­ми значениями напряжения одного знака.

Как видно из формул (5) и (7) степень затухания коле­баний зависит от величины коэффициента затухания . Из (7) следует, что коэффициент затухания есть физическая величина, обратная времени , в течение которого амплиту­да колебаний уменьшается в е раз:

при

Таким образом, характер колебательного процесса опре­деляется соотношениями между электрическими параметра­ми контура R , L и C. Так, при  = 0 в контуре устанавлива­ются свободные незатухающие гармонические (колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или коси­нуса) колебания (рис. 2,а):

с периодом

(формула Томсона).

При критическом сопротивлении (см. формулу (6))

 =₀ и период колебаний становится бесконечным. В контуре возникает апериодический процесс, когда напря­жение на конденсаторе асимптотически приближается к ну­лю (рис. 2, в).

При R<R_кр (т.е. при  < ₀) в контуре реализуется за­тухающий колебательный процесс (рис. 2,б).

При R>R_кр ( > ₀) циклическая частота  и период ко­лебаний Т становятся мнимыми величинами. Это соответст­вует апериодическому затухающему процессу разряда кон­денсатора на большое активное сопротивление (рис. 2,г).

Для характеристики затухающих колебаний наряду с ко­эффициентом затухания  используются и другие параметры: логарифмический декремент  и добротность контура Q.

Л о г а р и ф м и ч е с к и й д е к р е м е н т вводится как на­туральный логарифм отношения амплитуд колебаний, раз­деленных во времени периодом Т:

т.е. он равен величине, обратной числу колебаний (перио­дов) N = /T, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Д о б р о т н о с т ь к о н т у р а Q — важный параметр, ха­рактеризующий быстроту потери энергии, запасенной в кон­туре. По величине добротность равна умноженному на 2 отношению электромагнитной энергии, имеющейся в контуре W_L =LI₀²/2 , к потерянной за один период колебаний (в част­ности, рассеянной на активном сопротивлении контура). Для колебаний при малых  потери энергии на омическом сопротивлении за период Т в среднем равны W_R =RI₀²T/2. Тогда величина добротности

Q

Учитывая, что  = R/2L и  = T, получим

Q (8)

Для исследуемого контура при малом затухании ( << ₀) имеем  = ₀ и T = T₀ = 2.

Добротность в этом случае

Q (9)

Физическую величинуназывают в о л н о в ы м или х а р а к т е р и с т и ч е с к и м с о п р о т и в л е н и е м кон­тура.

Из соотношения (9) следует, что контур, имеющий боль­шое активное сопротивление, обладает малой добротностью, т. е. интенсивно теряет электромагнитную энергию, колеба­ния быстро затухают.

Все рассмотренные процессы относятся к колебательному контуру с сосредоточенными параметрами R, L и C. В реаль­ных колебательных контурах нельзя выделить ни одного участка цепи, не обладающего активным сопротивлением, ин­дуктивностью и емкостью, т. е. параметры R, L и С не явля­ются сосредоточенными, а распределены по участкам цепи, что усложняет анализ колебательных процессов. При этом также необходимо учитывать входные электрические парамет­ры измерительных приборов.

Схема установки и способ возбуждения и наблюдения колебаний

Рис. 3

На рис. 3 изображена схема установки для исследования затухающих колебаний в контуре RLC. Колебательный кон­тур состоит из последовательно соединенных конденса­торов С₁ и C₂ катушек L₁ и L₂, магазина сопротивле­ний R_м. Значения емкостей С₁ и C₂, индуктивностей L₁ и L₂, а также величины активного сопротивления катушек R_L и других элементов цепи Rц указаны на панели контура. С помощью ключей К₁ и К₂ можно изменять величины емко­сти и индуктивности контура. Разделительный конденсатор C₀ в контур не входит и его емкость при расчетах не учиты­вается.

Для возбуждения колебаний в данной работе использует­ся пилообразное напряжение генератора развертки луча ос­циллографа. Напряжение U снимается с выхода X-пластин, расположенного на задней панели (ЗП—рис. 3) осциллогра­фа, и подается к клемме B колебательного контура, перерас­пределяясь между конденсаторами С₀ , С₁ и C₂. Поскольку в схеме подобрано С₀ << С₁ и С₀ << С₂ то

т. е. все напряжение падает почти полностью на конденсаторе С_о.

Рис. 4

При линейном возрастании пилообразного напряжения развертки линейно возрастает напряжение на конденсаторе С₀: U_C0 = at (рис. 4,а, участок ab). Устанавливается постоянный ток зарядки конденсатора C₀:

(рис. 4,б, участок аb), и, следовательно, на участке ab линейно возрастающего напряжения ЭДС самоиндукции в ка­тушках L₁, L₂ не возникает: (рис. 4,в, участокab). Таким образом, в контуре напряжение отсутствует как на конденсаторах С₁, C₂, так и в катушках L₁ ,L₂, и колебаний не возникает.

В момент начала быстрого нелинейного спада пилообразного напряжения (участок bc) dU_C0/dt изменяется, т.е. и ток разрядки конденсатора С_о непостоянен (I  const), а следовательно, в катушках L1,L2 возникает ЭДС , которая и является источником энергии, вызывающим появле­ние затухающих колебаний (например, напряженияUс на конденсаторах С₁ и C₂, рис.4,г). Возникающие в контуре затухающие колебания (рис. 4,г) будут продолжаться и во время следующего периода нарастания напряжения развертки, смещающего луч по горизонтальной оси (X) экрана осцилло­графа. Их можно наблюдать на экране осциллографа при подаче напряжения Uс (клемма А контура) на вход Y осцил­лографа. Клемма «вход Y» расположена на передней панели осциллографа. Клемма Е («земля») контура соединяется с земляной клеммой осциллографа. Устойчивое изображение затухающих колебаний можно получить на экране осцилло­графа при правильном подборе частоты развертки, частоты синхронизации, усиления сигнала по вертикальной (Y) и го­ризонтальной (X) осям.

П р и б о р ы и п р и н а д л е ж н о с т и: панель с колеба­тельным контуром, магазин сопротивлений, электронный ос­циллограф, соединительные провода.