Р а б о т а 30

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

Цель работы: Изучение вынужденных колебаний в последовательном контуре, определение добротности контура и внутреннего сопротивления генератора синусоидальных колебаний.

Приборы и принадлежности: колебательный контур, генератор синусоидальных колебаний, электронный осциллограф, соединительные провода.

ВВЕДЕНИЕ

Вынужденные колебания в последовательном контуре, содержащем емкость C, индуктивность L и активное сопротивление R, можно вызвать, если включить последовательно с элементами контура источник тока, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону (рис. 1)

 = ₀·cost. (1)

Для получения дифференциального уравнения, описывающего вынужденные колебания, запишем для этого контура правило Кирхгофа:

, (2)

где U – напряжение на конденсаторе.

Имея в виду, что U = q/C, получаем

;

П

одставим эти выражения в уравнение (1):

.

Рис. 1

Разделив обе части полученного равенства на LC и введя обозначения и , получим дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний:

, (2)

где  – коэффициент затухания; ₀ – собственная циклическая частота колебаний (при R=0).

Известно, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение уравнения (2) имеет вид

, (3)

где ,  – начальная фаза колебаний напряжения на конденсаторе.

В уравнении (3) первый член убывает с течением времени по экспоненте и при достаточно большом t им можно пренебречь. Таким образом, решение дифференциального уравнения, описывающего вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре, имеет вид

. (4)

Подставив уравнение (4) и (2), можно убедиться, что дифференциальное уравнение обращается в тождество при

(5)

и

. (6)

Эти соотношения можно получить и методом векторных диаграмм. Если , то

, а .

Подставив эти выражения в (2), получаем

.

Векторная диаграмма, соответствующая этим колебаниям, представлена на рис. 2.

Легко видеть, что

,

Откуда

, ,

что соответствует ранее приведенным соотношениям (5) и (6). Таким образом, амплитуда и начальная фаза колебаний напряжения на конденсаторе зависят от частоты вынуждающей ЭДС.

Исследуя уравнение (5) на экстремум, имеем, что разность потенциалов на конденсаторе достигнет максимума при частоте вынуждающей ЭДС, равной

. (7)

При этом максимальное значение амплитуды

. (8)

Соотношение (8) имеет смысл только при .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний напряжения при изменении частоты вынуждающей ЭДС называется резонансом. Частота, при которой наступает это явление, называется резонансной частотой.

Кривая зависимости U₀ от  при заданном значении коэффициента затухания называется резонансной кривой. На рис. 3 представлено семейство резонансных кривых 1, 2, 3, соответствующих различным значениям коэффициента затухания ₁, ₂, ₃, при этом ₃>₂>₁.

Как видно из уравнения (5) и рис. 3, U₀ = ₀ при любом значении коэффициента затухания, если  = 0. Кроме того, резонансная частота при увеличении коэффициента затухания смещается в сторону меньших значений, а амплитуда напряжения, соответствующего резонансу, убывает с увеличением . Следует отметить, что максимальное значение тока в рассматриваемом контуре достигается при одной и той же частоте  = ₀ при любых значениях .

Остроту резонансных кривых характеризует добротность контура. При слабом затухании добротность контура Q можно определить как величину, равную произведению 2 на отношение запасенной в катушке индуктивности энергии W₀ к энергии тепловых потерь W_R в контуре за время, равное периоду T:

.