6. Расчёт ошибок прямых измерений

Если проведение неоднократных измерений физической величины даёт повторяющиеся результаты, то это означает, что в данных условиях преобладают приборные погрешности. В этих случаях погрешность прямых измерений определяется приборной погрешностью.

Если неоднократные измерения дают некоторый разброс результатов, то это означает присутствие случайных ошибок. Если число измерений неограниченно возрастает, то для определения среднего значения и дисперсии можно воспользоваться формулами (3) ... (7). На практике число измерений всегда ограничено, по­этому существует конечная вероятность того, что истинное значе­ние среднеквадратичного отклонения отличается от вычисленного по формуле (6). Поэтому при небольшом числе измерений для оценки величины 

пользуются соотношениями, вытекающими из так называемого распределения Стьюдента, которое при неограниченном увеличении числа измерений стремится к нормальному распределению (5).

В соответствии с этой методикой сначала находится среднеарифметическое значение измеряемой величины по формуле (3).

Следующим шагом для оценки точности найденного среднеарифметического значения будет вычисление вспомогательной величины S:

(9)

Из Таблицы 1 коэффициентов Стьюдента находим вспомогательный коэффициент , зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности Р. Этот коэффициент совместно с величиной S поз­воляет рассчитать доверительный интервал x.

Абсолютная погрешность значения искомой величины "а", найденной как среднеарифметическое из n измерений составит:

(10)

Искомая величина "а" представляется в виде:

(11)

Дисперсия всей совокупности измерений случайной величины "х" будет равна S².

7. Расчёт ошибок косвенных измерений

Пусть искомая величина А при выбранном методе косвенных измерений рассчитывается по формуле:

A = f(x₁ ,x₂ ,x₃ ,...,x_n ) (12)

где x₁,x₂,...,x_n - величины, найденные в результате прямых измерений, с учётом ошибок о которых шла речь выше. Из-за этих ошибок величина "А" так же будет определяться с ошибками.

Пусть X₁,X₂,...,X_N - значения f(x₁ ,x₂ ,x₃ ,...,x_n ), вычисленные для разных серий измерений (x₁,x₂,...,x_n).

Таблица 1

Таблица коэффициентов Стьюдента

Число измерений	Доверительная вероятность
	0.7	0.8	0.9	0.95	0.99	0.999
2	2.0	3.1	6.3	12.7	63.7	636.6
3	1.3	1.9	2.9	4.3	9.9	31.6
4	1.3	1.6	2.4	3.2	5.8	12.9
5	1.2	1.5	2.1	2.8	4.6	8.6
10	1.1	1.4	1.8	2.3	3.3	4.8
15	1.1	1.3	1.8	2.1	3.0	4.1
20	1.1	1.3	1.7	2.1	2.9	3.9

Абсолютной ошибкой косвенных измерений, по аналогии с аб­солютной ошибкой прямых измерений, называют разность между ис­тинным значением "А" и её значениями, полученными в результате измерений:

(13)

Размерность абсолютной ошибки совпадает с размерностью определяемой величины. Относительной ошибкой косвенных измерений называют отвлечённое число:

(14)

Иногда относительную ошибку выражают в процентах:

(15)

Для определения величины "А" в формулах (12)...(15) по теории

вероятностей следует брать величину Х, которую можно определить двумя способами:

1) А = Х = (Х₁ + Х₂ +...+Х_n)/n (16)

2) A = X = f(x₁ + x₂ +...+x_n) (17)

где x₁, x₂ ,..., x_n определяют по формуле (3). Если ошибки измерений малы, то оба способа дают практически тождественные результаты.

Рассмотрим способы нахождения ошибки величины А, опреде­лённой из косвенных измерений, по найденным значениям оши

бок прямых измерений. Выше отмечалось, что возможны различные соотношения между приборной систематической и случайными ошибками.

1-й случай. Преобладают приборные ошибки. В этом случае можно дать только оценку максимальной ошибки. Формулы для нахож­дения предельной ошибки косвенных измерений по внешнему виду совпадают с формулами дифференциального исчисления. В связи с этим для предельной абсолютной ошибки используется формула:

(18)

а для расчёта предельной относительной ошибки пригодна фор

- 19 -

мула:

(19)

Формулы для расчёта предельных ошибок некоторых часто встречающихся функций, когда приборные ошибки превышают случайные, приведены в Таблице 2. Эти выражения легко рассчитываются по формулам (18) и (19).

2-й случай. Преобладают случайные ошибки. Для определения среднеквадратичной ошибки теория вероятностей даёт следующую формулу:

(20)

Относительная ошибка вычисляется по формуле:

(21)

При выполнении промежуточных расчётов необходимо помнить, что число точных цифр в результате расчётов не может увеличиваться. Поэтому промежуточные результаты округляют, сохраняя

1...2 избыточных знака. При этом последующие цифры, меньшие

5,отбрасываются;если первая из отбрасываемых цифр больше 5,

то последняя из оставшихся цифр увеличивается на единицу. Ес

ли первая отбрасываемая цифра 5, то предыдущая цифра остаётся

без изменений, если она чётная, и увеличивается на единицу, если

она нечётная. Выражения для среднеквадратичной ошибки некоторых часто встречающихся функций приведены в Таблице 3. Для определения ошибок косвенных измерений используют большую из инструментальной или случайной ошибок прямого измерения.