4. Ошибки измерений физических величин

Результаты любых измерений а, следовательно, и вычисления, использующие эти данные, содержат те или иные ошибки.

Пусть истинное значение определяемой величины составляет "а". Предположим, что в результате проведённых нами прямых или косвенных измерений для определяемой нами величины получено значение "x". Тогда разность

D = | а - х | (1)

принято называть абсолютной ошибкой измерения. Размерность абсолютной ошибки совпадает с размерностью определяемой величины.

Для характеристики "качества" проведённых измерений приня­то вводить отношение абсолютной ошибки к значению измеряемой величины:

(2)

Это отношение называется относительной ошибкой измерения. На практике величина "а" неизвестна. В теории вероятностей показано, что наилучшим приближением к ней по результатам измерений служит среднеарифметическое:

(3)

Поэтому для абсолютной и относительной ошибок измерений пользуются формулами:

(4)

По происхождению все ошибки измерений можно условно разде­лить на методические, инструментальные и случайные ошибки измерений.

Методические ошибки определяются недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчётной формулы. Примером первых ошибок могут служить ошибки, возникающие при измерении сопротивлений с помощью мостика Уинстона. Проходящий через измеряемое и эталонное сопротивления электрический ток нагревает их, по разному изменяя величины их сопротивлений, так как материалы, из которых изготовлены эти сопротивления, в общем случае, разные. Для уменьшения ошибок измерений в данной работе рекомендуется сокращать время протекания тока в измерительной цепи, уменьшать величину ЭДС источника.

Примером ошибок, возникающих из-за неточности расчётной формулы, могут служить ошибки при проверке основного закона динамики вращательного движения на маховике Обербека. Для расчёта момента сил, действующего на маховик (крестовину), используется формула: , где М – момент сил, Р – вес груза, подвешенного на нити иr – радиус шкива. На самом деле, вместо силы тяжести груза Р следует в расчетную формулу подставлять силу натяжения нити Т , отличающейся от веса Р на величину m*a, где m -масса груза и а - ускорение груза при движении вниз. Отличие это невелико, так как ускорение груза а обычно мало по сравнению с ускорением свободного падения g, и методические ошибки, возникающие при замене силы Т на силу тяжести Р, оказываются меньше, чем ошибки из-за пренебрежения силами трения, которые можно отнести к инструментальным погрешностям.

Инструментальные ошибки определяются недостатками используемого прибора, качеством его изготовления, неправильным его применением и проявляются в том, что при измерениях одним и тем же прибором получают повторяющиеся результаты. Такая ситуация означает, что в данных измерениях, если они проводятся методически правильно, преобладающими являются инструментальные ошибки. В качестве примера инструментальной или, что то-же самое, приборной ошибки можно привести ошибки, возникающие при употреблении для измерений приборов, использующих различные нониусы (штангенциркули, микрометры, угломеры и т.д.). Для таких приборов в качестве приборной ошибки принимают цену деления нониуса. То же самое применимо при отсчёте интервалов времени с помощью секундомера. В этом случае приборная ошибка принимается равной це­не наименьшего деления.

В электроизмерительных приборах (вольтметрах, амперметрах и т.п.) инструментальная ошибка определяется классом прибора "К", который означает, что показания прибора в любой точке шкалы отличаются от истинного значения измеряемой величины не более, чем на "К" процентов от всей шкалы прибора. Так, например, при использовании вольтметра класса 0,5 со шкалой до 300 В отличие показаний прибора от истинного значения любого измеряемого нап­ряжения не превышает (0,5/100)·300 В = 1,5 В в любой точке шкалы. О знаке этой ошибки ничего сказать нельзя.

На результат измерений может влиять целый ряд факторов. Так, например, изменение положения глаз измеряющего при повторных измерениях может привести к ошибкам из-за параллакса при отсчёте результата. При использовании многопредельных приборов считывание показаний не по рабочей шкале приводит к грубым ошибкам, классифицируемым как промахи, которые хорошо заметны при анализе всей совокупности результатов измерений. Такие измерения обычно отбрасываются.

Следует упомянуть так же об ошибках, которые могут быть либо постоянными в процессе измерений, либо меняться по определённому закону. Так, например, использование прибора со смещённым "нулём" приводит к появлению постоянной систематической ошибки. При взвешивании тел на рычажных весах истинный вес тела мо­жет отличаться от полученного при измерениях вследствие нера­венства плеч коромысла, за счёт поправки на выталкивающую силу в воздухе, из-за изменения температуры в процессе измерений. В данном случае первая ошибка будет постоянна, вторая и третья будут меняться по определённому закону, так как выталкивающая сила зависит от объёма тела и гирь, влажности воздуха, измене­ний объёмов и т.д. Во многих случаях величину и знак системати­ческой ошибки можно установить с помощью наблюдений или измерений. Такие выявленные ошибки называют поправками. Поправки принято считать равными ошибке измерений, взятой с обратным знаком.

Систематические ошибки, связанные с неправильной градуировкой, с "уходом нуля" и т.п. могут быть выявлены при сравнении с эталонным прибором или измерением эталонной величины Систематические ошибки, связанные с неточностью метода, выявляются при анализе расчётных формул, рассмотрении пределов их применимости, анализе допущений, сделанных при выводе расчётных выражений. Возможности уменьшения систематических ошибок существенно зависят от объёма информации о природе этих ошибок и от усилий, которые необходимо затратить на их исключение. В простейшем случае, когда природа и величина ошибки известны, для их исключения пользуются поправками. Если происхождение систематической ошибки не установлено, а известно лишь максимальное значение, которое она может принимать, то говорят, что существует не исключаемый остаток систематической ошибки. Но самым опасным видом систематической ошибки может быть такой, о котором экспериментатор и не подозревает. Чтобы убедиться, что такой ошибки нет, проводят измерение каким-либо другим методом, совершенно отличным от используемого. Совпадение результатов убеждает, что неучтённых систематических ошибок нет.

Если при многократных измерениях одной и той же физической величины её значения, с учётом методических, систематических и приборных ошибок оказываются разными, но мало отличающимися от среднеарифметического всех полученных значений, то говорят о случайных ошибках измерений. Эти ошибки, как правило, бывают больше инструментальных и могут иметь как положительный, так и отрицательный знаки. Улучшая условия измерений, случайные ошибки удаётся лишь уменьшить, но устранить их полностью нельзя. Учёт этих ошибок осуществляется путём статистической обработки результатов измерений, которые при многократных повторениях подчиняются следующим закономерностям:

1. Средние значения измеряемой величины при достаточно большом числе измерений , проведённых одинаково тщательно, остаются практически постоянными;

2. Частота появлений как положительных, так и отрицатель­ных отклонений от найденного среднего значения примерно одина­кова.

3. Частота больших отклонений от найденного среднего значения значительно меньше частоты появления малых отклонений.

Математическая статистика даёт формулы для расчёта вероят­ности появления того или иного результата "х" при измерениях некоторой физической величины с истинным значением "а":

(5)

где w(x) - функция распределения случайных величин, связанная с вероятностью получения значения "х" при измерении величины, истинное значение которой равно "а"; "е" - основание натуральных логарифмов, равное 2,72; "" - среднеквадратичное отклонение; "²" называют дисперсией.

Формула (3) носит название нормального закона распределения или закона Гаусса и полностью определяется заданием пара­метров

"а" и "".

На рисунке (1) изображена функция w(x) для различных зна­чений параметров "а" и "". Величина "а" представляет собой значение координаты "х", для которой w(x) достигает максимума. Величина "" связана с величиной интервала х, в пределах которого

заключено 0.68 всех измеренных значений "х".

Рис.1 Функция распределения w(x) для разных значений среднего значения «а» и величины среднеквадратичного отклонения σ

Основная задача измерений, при которых сказывается влияние случайных ошибок, состоит в том, чтобы определить значение искомой величины "а" и интервала разброса результатов измерения

Предполагая, что закон распределения случайных величин, кА

Такими можно считать результаты отдельных измерений, является нормальным, в теории вероятностей доказывается, что в качестве наивероятнейшей оценки истинного значения измеряемой величины "а" следует брать среднеарифметическое из результатов "n" измерений (3)

Для расчёта второго параметра нормального закона распределения - дисперсии - следует воспользоваться формулой:

(6)

Таким образом, из формулы (6) видно, что с увеличением числа измерений n вероятность отклонения величины дисперсии от её истинного значения уменьшается с увеличением числа измерений. Проведя несколько десятков измерений получим достаточно точное значение для дисперсии всей совокупности проведённых измерений. В теории вероятностей доказывается, что при этом погрешность оценки истинного значения определяемой величины "а" по формуле (3) связана с величиной дисперсии всей совокупности измерений следующим соотношением:

(7)

Здесь обозначено:  - среднеквадратичное отклонение для оценки величины "а" из произведённых измерений (по формуле (3

Величина  связана с интервалом ,в котором находится р% всех измерений, как проведённых, так и последующих. Так например, при=в интервалпри:

к = 1 попадает 68,3 % всех измерений

к = 2 попадает 95,4 % всех измерений

к = 3 попадает 99,7 % всех измерений.

Величину называют доверительным интервалом, а соответствующую долю Р всех измерений, попадающих в доверительный интервал называют доверительной вероятностью.

Выбор доверительной вероятности определяется целью измерений, т.е. тем, в какой степени нежелательны те случаи, когда истинное значение измеряемой величины выходит за пределы, полученные при оценке его доверительного интервала. Чем опаснее такие случаи, тем большую надёжность необходимо выбирать. У физиков принято приводить экспериментальные данные в виде плюс-минус одно среднеквадратичное отклонение, т.е.

(8)

Такая запись удобна тем, что содержит обе величины : и, но необходимо иметь в виду, что ей соответствует невысокая доверительная вероятность ( 68,3 % ).Как правило, х и σ оцениваются из результатов эксперимента, и доверительная вероятность оказывается несколько ниже.

При малом числе измерений существует конечная вероятность того, что истинное значение среднеквадратичного отклонения отличается от вычисленного по формуле (7). Поэтому при небольшом числе измерений n пользоваться ею нецелесообразно и для оценки величины σ пользуются соотношениями, вытекающими из распределения Стьюдента, которое при неограниченном увеличении числа измерений стремится к нормальному распределению (3).

Часто при расчётах используют табличные данные: фундаментальные физические постоянные, различные характеристики веществ и значения различных функций. Если для них не указана точность (доверительный интервал), то в качестве абсолютной ошибки табличного значения берут половину единицы наименьшего разряда этой величины. Так, например, для расчёта сопротивления проводника из нихрома по таблицам находим, что его удельное сопротивление  = 1 * 10^-6 Ом м, а для стали  = 1,0*10^-7 Ом м. Так как в таблице не указаны доверительные интервалы, то для нихрома ρ = 0,5*10^-6 Ом м, а для стали ρ = 0,05*10^-7 Ом м.

Для часто используемого в расчётах значения  = 3,14 абсолютная ошибка составит  = 0,002, так как точное значение  = 3,1415926.... Используемое значение ускорения свободного падения на широте Москвы g = 9,819141 , округлённое до значения g = 9,8 м с^-2, имеет g = 0,02 м с^-2, а округлённое до значения g = 9,81 м с^-2 имеет g = 0,009 м с^-2.