14.Фундаментальный набор решений однородной системы уравнений.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ

линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений - базис векторного пространства действительных (комплексных) решений этой системы. (Система может состоять и из одного уравнения.) Более подробно это определение формулируется следующим образом.  Множество действительных (комплексных) решений {x₁(t),...,x_n(t)}(заданных на нек-ром множестве Е)линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений наз. Ф. с. р. этой системы уравнений (на множестве Е) при выполнении совокупности следующих двух условий: 1) если действительные (комплексные) числа С ₁,..., С _n таковы, что функцияC₁x₁(t)+...+C_nx_n(t) тождественно равна нулю на Е, то все числа С ₁,..., С _n равны нулю; 2) для всякого действительного (комплексного) решения х(t)рассматриваемой системы уравнений найдутся действительные (соответственно комплексные) числа С ₁,..., С _n (не зависящие от t)такие, что x(t) = C₁x₁(t)+...+C_nx_n(t) при всех  Если -произвольная невырожденная -матрица, а {x₁(t), ..., х _п(t)}есть Ф. с. р., то также есть Ф. с. р.; всякая Ф. <с. <р. получается таким преобразованием из данной Ф. с. р.  Если система дифференциальных уравнений имеет вид

где (или а (соответственно причем отображение суммируемо на каждом отрезке, содержащемся в - конечный или бесконечный интервал в то векторное пространство решений этой системы изоморфно (соответственно Следовательно, система (1) имеет бесконечно много Ф. с. р., и каждая такая Ф. с. р. состоит из пре шений. Напр., для системы уравнений   произвольная Ф. с. р. имеет вид

где -произвольные линейно независимые векторы-столбцы.  Всякая Ф. с. р. системы (1) имеет вид

  где - Коши оператор системы (1), - произвольное фиксированное число из интервала а x₁, . . ., х _п -произвольный фиксированный базис пространства (соответственно  Если система дифференциальных уравнений состоит из одного уравнения

  где функции   суммируемы на каждом отрезке, содержащемся в (где - конечный или бесконечный интервал в то векторное пространство решений этого уравнения изоморфно (соответственно Следовательно, уравнение (2) имеет бесконечно много Ф. с. р., и каждая из них состоит из kрешений. Напр., уравнение имеет Ф. с. р. общее действительноерешение этого уравнения дается формулой где C₁, С₂ - произвольные действительные постоянные.  Если система дифференциальных уравнений имеет вид

где (или ) и при всяком i = l, ..., k-1 отображение

  суммируемо на каждом отрезке, содержащемся в (где -конечный или бесконечный интервал в то пространство решений этой системы уравнений изоморфно (соответственно Ф. с. р. системы (3) существуют, и каждая из них состоит из kn решений.  Для линейных однородных систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старших производных, даже если коэффициенты системы постоянные, число решений, входящих в Ф. с. р. (т. е. размерность векторного пространства решений), вычисляется иногда не столь просто, как в вышеприведенных случаях. (В [1], з 11 рассмотрено такое вычисление для линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, не разрешенных относительно старших производных.)