![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Системы координат
- •2. Векторы и операци над веторами
- •5. Скалярное произведение. Свойства высчисления
- •Скалярное произведение в координатах.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.
- •6.Вексторное произведение. Свойства вычисления.
- •Свойства векторного произведения
- •7.Смешанное произведение.Свойста вычисления. Свойства смешанного произведения
- •8.Линейные образы на плоскости.
- •9. Кривые 2 порядка
- •10.Линейные образы в пространстве.
- •11. Поверхности второго порядка.
- •12.Матрицы, правило крамера.
- •Разложение по строке или столбцу
- •Правило Саррюса
- •Свойства определителей
- •Решение систем уравнений
- •Нахождение обратной матрицы
- •13. Теорема Крамера Капелли, метод гаусса
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
- •14.Фундаментальный набор решений однородной системы уравнений.
- •15.Функции. Последовательность как функция дискретного аргумента.
- •16. Бескоечно большие, бесконечно малые и ограниченные велечины и их свойства.
- •Предел функции
- •4.4. Правила предельного перехода
- •4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •4.6. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин и связь между ними
- •Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины
- •17.Арифметическое свойство придела.
- •18. Первый замечательный предел.
- •19.Второй замечательный предел.
- •20. Сравнение бесконечно малых величин. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых
- •Сравнение бесконечно малых функций
- •21.Неперывность ффункции, классификация точекк разрыва.
- •22.Производная и ее свойства.
- •Правила дифференцирования
- •Основные формулы дифференцирования.
- •23. Производная сложной и обратной функции.
- •24.Геометрический смысл производной.
- •25. Дефференциал.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •26. Теорема лагранжа о конечном приращении.
- •27. Теорема ролля Теорема Ролля
- •28. Теорема ферма Теорема Ферма
- •29.Теорема коши
- •30. Монотонность и экстремумы функции. Применение производной. Монотонность функции, основные понятия и определения
- •Связь монотонности функции с ее производной
- •31. Асимптоты. Точки перегиба. Построение графиков функций
- •32. Логарифмическое дифференцирование.
- •Случай независимой переменной
- •Случай зависимой переменной
- •34. Формула тейлора
- •Формула Тейлора
- •35. Функции нескольких переменных. Непрерывность. Дифференцируемость.
- •36. Повторное дифференцирование.
- •37. Геометрический смысл частных производных.
- •38. Дифференциал функции нескольких переменных.
- •39. Производная по направлению. Градиент.
- •40. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.
- •41. Экстремумы функции нескольких переменных.
- •42. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа
5. Скалярное произведение. Свойства высчисления
Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.
Скалярное
произведение векторов и
будем
обозначать как
.
Тогда формула
для вычисления скалярного произведения имеет
вид
,
где
и
-
длины векторов
и
соответственно,
а
-
угол между векторами
и
.
Из
определения скалярного произведения
видно, что если хотя бы один из умножаемых
векторов нулевой, то .
Вектор
можно скалярно умножить на себя. Скалярное
произведение вектора на себя равно
квадрату его длины, так как по определению .
Определение.
Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.
Формулу
для вычисления скалярного произведения можно
записать в виде
,
где
- числовая
проекция вектора
на
направление вектора
,
а
-
числовая проекция вектора
на
направление вектора
.
Таким образом, можно дать еще одно определение скалярного произведения двух векторов.
Определение.
Скалярным
произведением двух векторов и
называется
произведение длины вектора
на
числовую проекцию вектора
на
направление вектора
или
произведение длины вектора
на
числовую проекцию вектора
на
направление вектора
.
Это определение эквивалентно первому.
Скалярное произведение в координатах.
Покажем как скалярное произведение вычисляется через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве.
Определение.
Скалярным
произведением двух векторов на
плоскости или в трехмерном пространстве
в прямоугольной системе координат
называется сумма произведений
соответствующих координат векторов и
.
То
есть, для векторов на
плоскости в прямоугольной
декартовой системе координат формула
для вычисления скалярного произведения имеет
вид
,
а
для векторов
в
трехмерном пространстве скалярное
произведение в координатах находится
как
.
Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения. Покажем, что это определение эквивалентно первому.
Сначала
докажем равенства для
векторов
на
плоскости, заданных в прямоугольной
декартовой системе координат.
Отложим
от начала координат (точка О)
векторы и
.
Тогда
(при
необходимости обращайтесь к статьямоперации
над векторами и их свойства и операции
над векторами в координатах).
Будем
считать точки О, А и В вершинами
треугольника ОАВ.
По теореме
косинусов мы
можем записать .
Так как
,
то последнее равенство можно переписать
как
,
а по первому определению скалярного
произведения имеем
,
откуда
.
Вспомнив формулу
вычисления длины вектора по
координатам, получаем
Абсолютно
аналогично доказывается справедливость
равенств для
векторов
,
заданных в прямоугольной системе
координат трехмерного пространства.
Формула
скалярного произведения векторов в
координатах позволяет заключить, что
скалярный квадрат вектора равен сумме
квадратов всех его координат: на
плоскости ,
в пространстве
.
Свойства скалярного произведения.
Для
любых векторов и
справедливы
следующие свойства
скалярного произведения:
свойство коммутативности скалярного произведения
;
свойство дистрибутивности
или
;
сочетательное свойство
или
, где
- произвольное действительное число;
скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен
, причем
тогда и только тогда, когда вектор
нулевой.
Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.
Для
примера докажем свойство коммутативности
скалярного произведения .
По определению
и
.
В силу свойства коммутативности операции
умножения действительных чисел,
справедливо
и
,
тогда
.
Следовательно,
,
что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.
Следует
отметить, что свойство дистрибутивности
скалярного произведения справедливо
для любого числа слагаемых, то есть, и
,
откуда следует