![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Системы координат
- •2. Векторы и операци над веторами
- •5. Скалярное произведение. Свойства высчисления
- •Скалярное произведение в координатах.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.
- •6.Вексторное произведение. Свойства вычисления.
- •Свойства векторного произведения
- •7.Смешанное произведение.Свойста вычисления. Свойства смешанного произведения
- •8.Линейные образы на плоскости.
- •9. Кривые 2 порядка
- •10.Линейные образы в пространстве.
- •11. Поверхности второго порядка.
- •12.Матрицы, правило крамера.
- •Разложение по строке или столбцу
- •Правило Саррюса
- •Свойства определителей
- •Решение систем уравнений
- •Нахождение обратной матрицы
- •13. Теорема Крамера Капелли, метод гаусса
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
- •14.Фундаментальный набор решений однородной системы уравнений.
- •15.Функции. Последовательность как функция дискретного аргумента.
- •16. Бескоечно большие, бесконечно малые и ограниченные велечины и их свойства.
- •Предел функции
- •4.4. Правила предельного перехода
- •4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •4.6. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин и связь между ними
- •Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины
- •17.Арифметическое свойство придела.
- •18. Первый замечательный предел.
- •19.Второй замечательный предел.
- •20. Сравнение бесконечно малых величин. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых
- •Сравнение бесконечно малых функций
- •21.Неперывность ффункции, классификация точекк разрыва.
- •22.Производная и ее свойства.
- •Правила дифференцирования
- •Основные формулы дифференцирования.
- •23. Производная сложной и обратной функции.
- •24.Геометрический смысл производной.
- •25. Дефференциал.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •26. Теорема лагранжа о конечном приращении.
- •27. Теорема ролля Теорема Ролля
- •28. Теорема ферма Теорема Ферма
- •29.Теорема коши
- •30. Монотонность и экстремумы функции. Применение производной. Монотонность функции, основные понятия и определения
- •Связь монотонности функции с ее производной
- •31. Асимптоты. Точки перегиба. Построение графиков функций
- •32. Логарифмическое дифференцирование.
- •Случай независимой переменной
- •Случай зависимой переменной
- •34. Формула тейлора
- •Формула Тейлора
- •35. Функции нескольких переменных. Непрерывность. Дифференцируемость.
- •36. Повторное дифференцирование.
- •37. Геометрический смысл частных производных.
- •38. Дифференциал функции нескольких переменных.
- •39. Производная по направлению. Градиент.
- •40. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.
- •41. Экстремумы функции нескольких переменных.
- •42. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа
Сравнение бесконечно малых функций
В
статье Методы
решения пределов были
подробно рассмотрены гиганты, которые
мерялись между собой порядком
роста,
и ситуацию контролировала самая большая
особь. Общество карликов устроено точно
так же, только соревнуются они в другой
весовой категории – порядке
малости.
Среди лилипутов тоже существуют свои
великаны, кто самый крупный – тот и
девушку танцует. Проясним ситуацию.
Рассмотрим следующую бесконечно малую
функцию:
Да,
совершенно понятно, что предел равен
нулю, но обратим внимание на довольно
любопытную вещь: в пределе находится
сумма функций ,
и некоторые из них будут стремиться к
нулю быстрее,
а некоторые – медленнее.
Об этом я уже немного рассказывал в
Примере №7 урока Методы
решения пределов.
Построим
последовательность ,
которая стремится к нулю, и вычислим
несколько значений трёхчлена
:
Очевидно,
что с уменьшением значений «икс»,
функция убегает
к нулю быстрее всех остальных (её значения
обведены красным цветом). Говорят, что
функция
более
высокого порядка малости,
чем функции
,
а также более
высокого порядка малости,
чем
.
Но быстро бегать в Стране лилипутов –
не есть доблесть, «тон задаёт» самый
нерасторопный карлик
,
который, как и полагается боссу, идёт к
нулю медленнее всех. Именно от него
зависит, насколько
быстро сумма
приблизится
к нулю:
Образно
говоря, бесконечно малая функция «поглощает»
всё остальное, что особенно хорошо видно
по итоговому результату третьей строки.
Иногда говорят, что
более
низкого порядка малости,
чем
и
их сумма.
В рассмотренном пределе, всё это, конечно, не имеет особого значения, ведь в результате всё равно получается ноль. Однако «лилипуты-тяжеловесы» начинают играть принципиально важную роль в пределах с дробями. Начнём с примеров, которые, пусть редко, но встречаются в реальных практических работах:
Пример 1
Вычислить
предел
Здесь
неопределённость ,
и из вводного урока о пределах
функций вспоминаем
общий принцип раскрытия данной
неопределённости: нужно разложить
числитель и знаменатель на множители,
а потом что-нибудь сократить:
На
первом шаге в числителе выносим за
скобки ,
а в знаменателе «икс». На втором шаге
сокращаем числитель и знаменатель на
«икс», устраняя тем самым неопределённость.
Указываем, что оставшиеся «иксы»
стремятся к нулю, и получаем ответ.
В пределе получилась баранка, следовательно, функция числителя более высокого порядка малости, чем функция знаменателя. Или короче: числитель более высокого порядка малости, чем знаменатель. Что это значит? Числитель стремится к нулю быстрее, чем знаменатель, именно поэтому в итоге и получился ноль.
Как
и в случае с бесконечно
большими функциями,
ответ можно узнать заранее. Приём
аналогичен, но отличается тем, что в
числителе и в знаменателе нужно МЫСЛЕННО
отбросить все слагаемые со СТАРШИМИ степенями,
поскольку, как отмечалось выше,
определяющее значение имеют медленные
карлики:
Пример 2
Вычислить
предел
Ноль
на ноль…. Давайте сразу узнаем ответ:
МЫСЛЕННО отбросим все старшие слагаемые
(быстрых карликов) числителя и
знаменателя:
Алгоритм
решения, точно такой же, как и в предыдущем
примере:
В
данном примере знаменатель
более высокого порядка малости, чем
числитель.
При уменьшении значений «икс», самый
медленный карлик числителя (и всего
предела)
становится
настоящим монстром по отношению к своему
более быстрому оппоненту
.
Например, если
,
то
–
уже в 40 раз больше…. не монстр ещё,
конечно, при данном значении «икс», но
такой уже субъект с большим пивным
животом.
И совсем простой демонстрационный предел:
Пример 3
Вычислить
предел
Узнаем
ответ, МЫСЛЕННО отбросив все старшие слагаемые
числителя и знаменателя:
Решаем:
В результате получено конечное число. Хозяин числителя ровно в два раза толще начальника знаменателя. Это ситуация, когда числитель и знаменатель одного порядка малости.
На
самом деле сравнение бесконечно малых
функций давно фигурировало на предыдущих
уроках:
Напоминаю заодно, что «икс» может стремиться не только к нулю, но и к произвольному числу, а также к бесконечности.