![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Системы координат
- •2. Векторы и операци над веторами
- •5. Скалярное произведение. Свойства высчисления
- •Скалярное произведение в координатах.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.
- •6.Вексторное произведение. Свойства вычисления.
- •Свойства векторного произведения
- •7.Смешанное произведение.Свойста вычисления. Свойства смешанного произведения
- •8.Линейные образы на плоскости.
- •9. Кривые 2 порядка
- •10.Линейные образы в пространстве.
- •11. Поверхности второго порядка.
- •12.Матрицы, правило крамера.
- •Разложение по строке или столбцу
- •Правило Саррюса
- •Свойства определителей
- •Решение систем уравнений
- •Нахождение обратной матрицы
- •13. Теорема Крамера Капелли, метод гаусса
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
- •14.Фундаментальный набор решений однородной системы уравнений.
- •15.Функции. Последовательность как функция дискретного аргумента.
- •16. Бескоечно большие, бесконечно малые и ограниченные велечины и их свойства.
- •Предел функции
- •4.4. Правила предельного перехода
- •4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •4.6. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин и связь между ними
- •Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины
- •17.Арифметическое свойство придела.
- •18. Первый замечательный предел.
- •19.Второй замечательный предел.
- •20. Сравнение бесконечно малых величин. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых
- •Сравнение бесконечно малых функций
- •21.Неперывность ффункции, классификация точекк разрыва.
- •22.Производная и ее свойства.
- •Правила дифференцирования
- •Основные формулы дифференцирования.
- •23. Производная сложной и обратной функции.
- •24.Геометрический смысл производной.
- •25. Дефференциал.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •26. Теорема лагранжа о конечном приращении.
- •27. Теорема ролля Теорема Ролля
- •28. Теорема ферма Теорема Ферма
- •29.Теорема коши
- •30. Монотонность и экстремумы функции. Применение производной. Монотонность функции, основные понятия и определения
- •Связь монотонности функции с ее производной
- •31. Асимптоты. Точки перегиба. Построение графиков функций
- •32. Логарифмическое дифференцирование.
- •Случай независимой переменной
- •Случай зависимой переменной
- •34. Формула тейлора
- •Формула Тейлора
- •35. Функции нескольких переменных. Непрерывность. Дифференцируемость.
- •36. Повторное дифференцирование.
- •37. Геометрический смысл частных производных.
- •38. Дифференциал функции нескольких переменных.
- •39. Производная по направлению. Градиент.
- •40. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.
- •41. Экстремумы функции нескольких переменных.
- •42. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа
10.Линейные образы в пространстве.
11. Поверхности второго порядка.
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением
(1).
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c - сжатым. В случае, когда a=b=c, эллипсоид представляет собой сферу.
Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями
,
(2)
.
(3)
Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 2); гиперболоид, определяемый уравнением (3), - двуполостным (рис. 3); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и b) показаны на рис. 2. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 3. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при a=b являются поверхностями вращения.
Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями
,
(4)
,
(5)
где p и q - положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 4); параболоид, определяемый уравнением (5), - гиперболическим (рис. 5). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда p=q, параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Oz).
Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).
Выберем
какую-нибудь плоскость; обозначим ее
буквой .
Зададим, кроме того, некоторое положительное
число q.
Пусть М - произвольная точка пространства,
не лежащая на плоскости
,
-
основание перпендикуляра, опущенного
на плоскость
из
точки М. Переместим точку М по прямой
в
новое положение
так,
чтобы имело место равенство
и
чтобы после перемещения точка осталась
с той же стороны от плоскости ,
где она была первоначально (рис. 6). Точно
так же мы поступим со всеми точками
пространства, не лежащими на плоскости
;
точки, которые расположены на плоскости
,
оставим на своих местах. Таким образом,
все точки пространства, за исключением
тех, что лежат на плоскости
,
переместятся; при этом расстояние от
каждой точки до плоскости
изменится
в некоторое определенное число раз,
общее для всех точек. Описываемое сейчас
перемещение точек пространства называется
его равномерным сжатием к плоскости
;
число q носит
название коэффициента сжатия.
Пусть дана некоторая поверхность F; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях сотавят поверхность F’. Будем говорить, что поверхность F’ получено из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения).
ПРИМЕР. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид
может быть получен из сферы
в
результате двух последовательных
равномерных сжатий пространства к
координатным плоскостям: к плоскости Oxy с
коэффициентом сжатия и
к плоскости Oxz с
коэффициентом сжатия
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть производится равномерное сжатие
пространства к плоскости Oxy с
коэффициентом и
пусть
-
точка, в которую переходит при этом
точка
.
Выразим координаты x’,
y’, z’
точки М’ через координаты x,
y, z точки
М. Так как прямая MM’
перпендикулярна к плоскости Oxy,
то x’=x,
y’=y.
С другой стороны, так как расстояние от
точки М’ до плоскости Oxy равно
расстоянию от точки М до этой плоскости,
умноженному на число
,
то
.
Таким образом, мы получаем искомые выражения:
,
,
(6)
или
,
,
(7)
Предположим, что M(x; y; z) - произвольная точка сферы
.
Заменим здесь x, y, z их выражениями (7); получим
,
откуда
.
Следовательно, точка M’(x’; y’; z’) лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Oxz по формулам
,
,
;
тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.
Отметим еще, что однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, то есть они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.
Однополостный гиперболоид
имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:
,
;
,
,
где и
-
некоторые числа, не равные одновременно
нулю. Гиперболический параболоид
также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями
,
;
,
.
Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную линию L. Точка S называется вершиной конуса; линия L - направляющей.
Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при услвоии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).