4.4. Правила предельного перехода

1. Предел суммы (разности) двух функций, имеющих предел, равен сумме (разности) пределов этих функций:

.                   (4.4)

2. Предел произведения двух функций, имеющих предел, равен произведению пределов этих функций:

.                     (4.5)

3. Постоянный множитель можно вынести до знака предела:

.                                  (4.6)

4. Предел константы равен константе:

.                                      (4.7)

5. Предел отношения двух функций, имеющих предел, равен отношению пределов этих функций:

.              (4.8)

6. Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место

.                           (4.9)

Например,

,

.

Приведем примеры на применение правил предельного перехода:

1. ;

2. ;

3. 

4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

О п р е д е л е н и е 1. Функция y = f (x) называется бесконечно малой величиной (Б.М.В.) при , если ее предел равен нулю

                                  (4.10)

Геометрически это означает, что функция y = f (x) либо пересекает ось ОХ (рис. 65а), либо касается ее в точке x = a (рис. 65б).

а)	б)
Рис. 65

О п р е д е л е н и е 2. Функция y = f (x)  называется бесконечно малой величиной при , если для каждого положительного сколь угодно малого числанайдется положительное число, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству, будет выполняться неравенство .

О п р е д е л е н и е 3. Функция  y = f (x) называется бесконечно малой величиной при , если для каждого положительного сколь угодно малого числанайдется сколь угодно большое положительное числотакое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствубудет выполняться неравенство(рис. 66). .      (4.11)

Рис. 66

Геометрически: для всех значений х, которые , значения функции попадают в-окрестность нулевой точки:

Рис. 67

О п р е д е л е н и е 4. Функция y = f (x)   называется бесконечно большой величиной при , если для каждого положительного сколь угодно большого числа N найдется соответствующее сколь угодно малое положительное число  y = f (x)  такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство: .          (4.12) Геометрически: для всех значений х, попадающих в -окрестность точкиа , соответствующие значения функции будут по абсолютной величине больше сколь угодно большого числаN (рис. 67):

                                       (4.13)

О п р е д е л е н и е 5. Функция y = f (x)  называется бесконечно большой величиной при , если для каждого положительного сколь угодно большого числа N найдется соответствующее сколь угодно большое число K(N) такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство:

.                                                        (4.14)

Рис. 68

Геометрически: Функция y = f (x) будет бесконечно большой величиной при , если функция может принимать значения по абсолютной величине больше наперед заданного числаN (рис. 68): (4.15)

В ы в о д ы:

1. Функция  y = f (x) является бесконечно большой величиной, если

   или    .                      (4.16)

2. Данная запись (4.15) является символической.

3. Понятия бесконечно большая величина и бесконечно малая величина относятся только к характеру поведения функции, а не к ее величине вообще.