![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 1. Векторная алгебра
- •§1. Основные понятия векторной алгебры
- •§2. Проекция вектора на ось.
- •§3. Координаты вектора
- •§4. Скалярное произведение векторов
- •§5. Векторное произведение векторов
- •§5. Смешанное произведение векторов
- •Глава 2. Прямая на плоскости
- •§1. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору
- •§2. Параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости
- •§3. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •§4. Расстояние от точки до прямой
- •§5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Глава 3. Плоскость в пространстве.
- •§1. Уравнение плоскости в пространстве
- •§ 2. Взаимное расположение плоскостей в пространстве
- •Глава 4. Прямая в пространстве
- •§1. Общие уравнения прямой в пространстве
- •§2. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве
- •§ 3. Переход от одного вида уравнения прямой к другому виду
- •§4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.
- •Глава 5. Взаимное расположение прямой и плоскости
§4. Расстояние от точки до прямой
Получим формулу, выражающую расстояние от заданной точки до заданной прямой.
Рис. 40.
Пусть на плоскости имеется прямая, заданная уравнением
и точка
,
не лежащая на этой прямой. Возьмем на
прямой произвольную точку
(Рис. 40). Тогда расстояние
от
точки
до прямой, как видно из рисунка, равно
,
где- нормаль к прямой. Используя полученную
выше формулу для проекции вектора на вектор
,
получаем
.
Так как
,
то
Поскольку точка
лежит на прямой, то
есть верное числовое равенство. Отсюда
.
Тогда, с учетом этого, для расстояния
получаем формулу
§5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Как установлено выше, уравнение любой прямой на плоскости можно записать в виде
.
Ниже, в этом параграфе будем рассматривать
только такие прямые, в уравнении которых
.
Множество этих прямых включает все
прямые на плоскости за исключением
прямых, параллельных оси
и
прямой, совпадающей с осью
.
В самом деле, если
,
то вектор нормали к прямой
коллинеарен орту оси
вектору
и значит прямая перпендикулярна оси
.
Если
,
то обе части уравнения
можно разделить на
.
Тогда получаем
,
или
.
Обозначим
.
Уравнение прямой принимает вид
.
Итак, уравнение любой не вертикальной прямой можно записать в виде
,
где
и
-фиксированные числа. Параметр
называется угловым коэффициентом
прямой. Уравнение прямой, записанное в
таком виде, называется уравнением прямой
с угловым коэффициентом.
Пример.
Уравнение прямой имеет вид
.
Записать уравнение этой прямой в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом.
Решение.
Разделив обе части уравнения на
,
получим после элементарных преобразований
.
Ниже вводится понятие угла наклона прямой.
Определение.
Пусть прямая на плоскости не
параллельна оси
и пересекает ось
в точке
(Рис. 41). Углом наклона прямой называется
угол, на который надо повернуть ось
вокруг точки
против часовой стрелки до совмещения
с
Рис. 41.
прямой. Если прямая параллельна оси
,
то по определению полагаем, что угол
наклона прямой равен нулю. Угол наклона
прямой
заключен
в пределах
.
Пусть прямая задана уравнением с угловым коэффициентом. Сформулируем в виде теоремы утверждение о связи углового коэффициента с углом наклона прямой.
Теорема.
Пусть прямая задана уравнением
.
Пусть
-
угол наклона прямой. Тогда справедливо
равенство
.
Рис. 42.
Доказательство.
Заметим, что так как прямая не
вертикальная, то
и
значит
определен. Рассмотрим сначала случай
(Рис. 42), когда угол наклона острый, т.е.
.
Возьмем на прямой две точки
и
как это показано на рисунке 42. Тогда в
прямоугольном треугольнике
длины катетов равны следующим значениям
.
Следовательно
.
Так как точки
и
лежат на прямой, то
.
Отсюда
.
Рассмотрим теперь случай (Рис. 43), когда
.
Рис. 43.
Снова возьмем на прямой две точки
и
как
показано на рисунке 43. Из рисунка следует,
что
.
Далее, из рисунка видно, что
Тогда
Так как
,
то
Таким образом, и в этом случае
Заметим, что в случае, когда
,
тангенс угла наклона прямой отрицателен
и значит
.
Наконец, если угол наклона равен нулю,
то есть прямая параллельна оси
,
то
С другой стороны, уравнение прямой в этом случае имеет вид
В самом деле, если уравнение
записать в виде
,
то видно, что вектор нормали к этой
прямой равен
.
Но если прямая параллельна оси
,
то вектор
коллинеарен вектору
.
Следовательно
.
Отсюда следует, что
и уравнение прямой имеет вид
.
Следовательно, и в этом случае
и
,
то есть
.
Пример.
Уравнение прямой имеет вид
.
Найти угол наклона прямой.
Решение.
Обозначим угол наклона через
.
Тогда
.
Следовательно
.
Запишем в виде теоремы условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.
Теорема
Пусть прямые
и
заданы уравнениями с угловым коэффициентом:
Эти прямые параллельны тогда и только
тогда, когда
(при условии, что
;
если
,
то прямые совпадают). Прямые перпендикулярны
тогда и только тогда, когда
.
Доказательство.
Уравнения прямых можно записать в виде
Вначале докажем условие
параллельности. Если прямые параллельны,
то векторы нормалей
и
коллинеарны, то есть существует такое
число
,
что
.
Отсюда следует равенство координат
.
Следовательно
и
.
Обратно, если
, то векторы нормалей равны и значит
прямые параллельны (при условии, что
.
Теперь рассмотрим условие перпендикулярности. Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы нормалей, то есть
.
Или, в координатах,
Что и требовалось доказать.
Пример.
Доказать, что прямые
перпендикулярны.
Решение.
Следовательно, прямые перпендикулярны.
Получим выражение для угла между прямыми в случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Утверждение сформулируем в виде теоремы.
Теорема.
Пусть прямые
и
заданы
уравнениями с угловым коэффициентом:
Тогда тангенс острого угла межу прямыми выражается по формуле
.
Доказательство.
Уравнения прямых запишем в виде
Здесь
и
- векторы нормалей между прямыми. Как
было показано выше, косинус острого
угла между прямыми можно найти по формуле
.
С учетом соотношения
получаем
Тогда, с учетом того, что тангенс острого угла есть число положительное, получаем
.
(т.е. инеарна вектору одит через точку
виде теоремы. рассматриваемых ниже.х