![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 1. Векторная алгебра
- •§1. Основные понятия векторной алгебры
- •§2. Проекция вектора на ось.
- •§3. Координаты вектора
- •§4. Скалярное произведение векторов
- •§5. Векторное произведение векторов
- •§5. Смешанное произведение векторов
- •Глава 2. Прямая на плоскости
- •§1. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору
- •§2. Параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости
- •§3. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •§4. Расстояние от точки до прямой
- •§5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Глава 3. Плоскость в пространстве.
- •§1. Уравнение плоскости в пространстве
- •§ 2. Взаимное расположение плоскостей в пространстве
- •Глава 4. Прямая в пространстве
- •§1. Общие уравнения прямой в пространстве
- •§2. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве
- •§ 3. Переход от одного вида уравнения прямой к другому виду
- •§4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.
- •Глава 5. Взаимное расположение прямой и плоскости
Глава 5. Взаимное расположение прямой и плоскости
Из элементарной геометрии известно, что возможны следующие варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая параллельна плоскости;
в) прямая пересекает плоскость в одной точке.
Выясним как по уравнениям прямой и плоскости определить их взаимное расположение.
Пусть плоскость
задана уравнением
,
а прямая
задана каноническим уравнением
.
Тогда нормаль к плоскости равна
.
Прямая проходит через точку
и имеет направляющий вектор
.
Если прямая лежит в плоскости, то
направляющий вектор прямой перпендикулярен
нормали к плоскости. Кроме того, точка
должна принадлежать плоскости и,
следовательно, тройка чисел
является решением уравнения плоскости.
Таким образом, если
(условие перпендикулярности векторов)
и тройка чисел
является решением уравнения плоскости,
то прямая лежит в плоскости. Если же
,
но тройка чисел
не является решением уравнения плоскости,
то прямая параллельна плоскости.
Если вектор
не
перпендикулярен вектору
,
то прямая пересекает плоскость в одной
точке. Рассмотрим на конкретном примере
задачу о нахождении координат точки
пересечения прямой и плоскости.
Пример.
Найти точку пересечения прямой
и плоскости
.
Решение.
Задачу удобно решать, если уравнение прямой записать в параметрическом виде
.
Так как точка пересечения прямой и плоскости принадлежит одновременно и прямой и плоскости, то ее координаты должны удовлетворять одновременно и уравнению плоскости и уравнениям прямой, то есть ее координаты должны удовлетворять системе уравнений
Решая систему, находим
. Следовательно, точка пересечения
прямой и плоскости имеет координаты
.
Если прямая пересекает плоскость
в одной точке и не перпендикулярна
плоскости, то углом между прямой и
плоскостью называется острый угол
(смотри
Рис.18) между прямой и проекцией прямой
на плоскость. Если прямая перпендикулярна
плоскости, то полагают, что
.
Если же прямая параллельна плоскости
или лежит в плоскости, то полагают, что
.
Выясним, как зная уравнения прямой и
плоскости, определить угол между прямой
и плоскостью.
Пусть плоскость
задана
уравнением
Рис. 37.
,
а прямая
задана каноническими уравнениями
.
Тогда вектор нормали к плоскости равен
,
а направляющий вектор прямой равен
.
Косинус острого угла
между нормалью к плоскости и направляющим
вектором прямой (Рис. 18) можно найти
используя скалярное произведение по
формуле
.
Отсюда
.
Тогда острый угол
между прямой и плоскостью равен (смотри
Рис. 18)
.
Рассмотрим пример.
Пример.
Найти угол между прямой
и плоскостью
.
Решение.
Направляющий вектор прямой и нормаль к плоскости равны
Тогда
.
Отсюда
.
Тогда острый угол между прямой и плоскостью равен
.