![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 1. Векторная алгебра
- •§1. Основные понятия векторной алгебры
- •§2. Проекция вектора на ось.
- •§3. Координаты вектора
- •§4. Скалярное произведение векторов
- •§5. Векторное произведение векторов
- •§5. Смешанное произведение векторов
- •Глава 2. Прямая на плоскости
- •§1. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору
- •§2. Параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости
- •§3. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •§4. Расстояние от точки до прямой
- •§5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Глава 3. Плоскость в пространстве.
- •§1. Уравнение плоскости в пространстве
- •§ 2. Взаимное расположение плоскостей в пространстве
- •Глава 4. Прямая в пространстве
- •§1. Общие уравнения прямой в пространстве
- •§2. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве
- •§ 3. Переход от одного вида уравнения прямой к другому виду
- •§4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.
- •Глава 5. Взаимное расположение прямой и плоскости
§5. Смешанное произведение векторов
Определение.
Пусть даны три вектора
,
и
.
Смешанным произведением векторов
,
и
называется
число, обозначаемое
и определяемое равенством
.
Свойства смешанного произведения векторов.
Свойство 1.
Если
То
.
Это свойство смешанного произведения следует непосредственно из свойств векторного и скалярного произведения векторов:
.
Следовательно
.
С другой стороны, если разложить определитель
по третьей строке, то получим
.
Таким образом, смешанное произведение
можно представить указанным определителем.
Свойство 2.
.
Это свойство следует непосредственно из выражений векторного и скалярного произведений через координаты векторов и доказывается так же как и свойство 1.
Свойство 3.
,
т. е. при перестановке двух любых сомножителей смешанное произведение меняет знак. Это свойство проверяется непосредственно с помощью свойства 1.
Свойство 4.
Для того, чтобы векторы
,
и
были компланарны необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось равенство
.
Докажем это свойство.
Пусть векторы
,
и
ненулевые
и лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.
Покажем, что
.
В самом деле, вектор
перпендикулярен
плоскости, в которой лежат векторы
и
,
значит перпендикулярен вектору
,
так как он также лежит в этой плоскости.
Следовательно
.
Обратно, пусть
.
Если
,
и
ненулевые
векторы и
,
то вектор
перпендикулярен
.
Кроме того, вектор
перпендикулярен
вектору
и вектор
перпендикулярен
вектору
.
Следовательно, все три вектора
,
и
перпендикулярны одному и тому же вектору
и значит лежат в одной и той же плоскости
(будучи отложенными от общей точки).
Из последнего свойства в частности
следует, что если какие-то два из тройки
векторов
,
и
коллинеарны, то
,
так как в этом случае векторы
,
и
компланарны.
Введем понятие параллелепипеда, построенного на тройке векторов.
Определение.
Пусть ненулевые векторы
,
и
некомпланарны.
Отложим их от общей точки. Обозначим
,
,
плоскости, в которых лежат пары векторов
,
и
,
соответственно. Через конец вектора
проведем
плоскость, параллельную
,
через конец вектора
проведем
плоскость, параллельную плоскости
,
через конец вектора
проведем
плоскость, параллельную плоскости
.
Тогда,
,
,
и построенные
Рис. 30.
плоскости ограничивают параллелепипед
.
Этот параллелепипед называется
параллелепипедом, построенном на
векторах
,
и
.
Теперь сформулируем свойство 5 смешанного
произведения.
Свойство 5.
Если тройка векторов
правая, то
,
если же тройка
левая,
то
,
где
- объем параллелепипеда, построенного
на векторах
,
и
.
Докажем это свойство.
Пусть-правая
тройка векторов. По определению
Рис. 31.
.
где
-
угол между векторами
и
.
Построим на векторах
,
и
параллелепипед (Рис. 31). Объем этого
параллелепипеда равен
,
где
-
площадь основания
,
-
высота параллелепипеда. Так как
параллелограмм, то
.
Высота
в
случае, когда
правая
тройка, как видно из рисунка , равна
.
Следовательно, учитывая, что
,
получаем
,
где
-
угол между векторами
и
.
Таким образом,
.
Пусть теперь
- левая тройка векторов. Построим
параллелепипед на векторах
,
и
.
Как видно
Рис. 32.
из рисунка 32, в этом случае
,
где
-
угол между векторами
и
,
причем угол
в этом случае тупой и значит
отрицателен. Следовательно, в случае
левой тройки векторов
.
Замечание.
Независимо от того, является ли
тройка векторов
правой или левой, объем параллелограмма,
построенного на этих векторах, равен
.
В самом деле, если
-
правая тройка
неотрицательное число и значит
.
В случае, когда
левая тройка, число
отрицательно и. следовательно,
.
Пусть имеется тройка ненулевых
некомпланарных векторов
,
и
.
Отложим их от общей точки. Если
Рис. 33.
Концы векторов соединить отрезками,
как это показано на рисунке 33, то получим
треугольную пирамиду. Эта пирамида
называется пирамидой, построенной на
векторах,
и
.
В элементарной геометрии доказывается,
что объем этой пирамиды
равен одной шестой объема параллелепипеда,
построенного на векторах
,
и
.
Отсюда следует, что объем пирамиды равен
.
Рассмотрим пример на свойство 4.
Пример.
Доказать, что точки
,
,
и
лежат в одной плоскости.
Решение.
Точки
лежат в одной плоскости тогда и только
тогда, когда векторы
компланарны. Покажем, что выполнено
условие компланарности (свойство 4)
.
Найдем координаты векторов
Тогда, согласно свойству 1
.
Следовательно, векторы
коллинеарны (лежат в одной плоскости),
а значит точки
лежат в одной плоскости.