§4. Скалярное произведение векторов

Определение.

Пусть даны два ненулевых вектора и. Скалярным произведением векторовиназывается число, обозначаемоеи равное

,

где - угол между векторамии. Если хотя бы один из векторов нулевой, то полагаем, что. При обозначении скалярного произведения точка часто опускается.

Свойства скалярного произведения сформулируем в виде теоремы.

Теорема.

Свойства скалярного произведения.

1)

2)

3)

4)

5) Если ,и- орты осей координат, то

.

6) Если

,

,

то

.

7) Векторы ивзаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Свойства 1, 2, 3, 5 следуют непосредственно из определения скалярного произведения. Свойство 4 следует из теоремы 10 о проекции суммы векторов. Действительно,

.

Далее из свойств 4 и 5 получаем свойство 6. Имеем

В последних равенствах учтено, что

,

а

.

Рассмотрим свойство 7. Если векторы ивзаимно перпендикулярны, то

.

Если же

,

где - угол между векторами ииненулевые векторы, то. Отсюдаи значит векторыивзаимно перпендикулярны. Таким образом, чтобы ненулевые векторыибыли взаимно перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство.

Из определения скалярного произведения следует, что если иненулевые векторы, то

.

В свою очередь, зная координаты векторов, можно найти скалярное произведение и длины векторов. Таким образом, зная координаты векторов, можно найти косинус угла между векторами, а зная косинус можно найти и сам угол.

Пример.

.

Найти угол между векторами.

Решение.

Отсюда

.

§5. Векторное произведение векторов

Введем понятие определителя. С помощью определителя удобно записывать одно из свойств векторного произведения векторов. Кроме того, понятие определителя будет применяться при рассмотрении смешанного произведения векторов.

Матрицей размером называется таблица из чисел вида

Определителем этой матрицы называется число, обозначаемое в виде

и вычисляемое по формуле

.

Матрицей размера называется таблица вида

.

Определитель этом матрицы есть число, обозначаемое в виде

.

Этот определитель можно вычислить следующим образом. Выбирается какая-то строка или какой-то столбец. Возьмем, например первую строку. Тогда вычисление определителя проводится по формуле

То есть определитель есть сумма трех слагаемых. Каждое слагаемое образуется так. Последовательно берутся элементы выбранной строки или столбца (в данном случае выбрана первая строка) и умножаются на , где- номер строки, в которой находится данный элемент, а- номер столбца, в котором он находится. Затем полученное число умножается на определитель размером, который получается вычеркиваем строки и столбца, в которых расположен взятый элемент. Такой способ вычисления определителя называется разложением его по строке или по столбцу.

Пример.

Вычислить определитель, разложив его по 2-й строке.

Решение.

Введем понятие ориентации базиса пространства.

Определение.

Три ненулевых вектора ,иназываются компланарными, если они, будучи отложенными от одной точки, лежат в одной и той же плоскости. Будем говорить, что имеется упорядоченная тройка некомпланарных векторов, если все три вектора ненулевые и не лежат в одной плоскости (будучи отложенными от общей точки).

Заметим, что два вектора всегда лежат в одной плоскости. Третий же вектор может лежать, а может и не лежать в той плоскости, в которой лежат первые два вектора. Плоскость, в которой лежат два вектора, разбивает все пространство на два полупространства.

Определение.

Пусть имеется упорядоченная тройка некомпланарных векторов . Плоскость, в которой расположены векторыи, делит все пространство на два полупространства. Тогда третий векторнаходится в одном из этих полупространств. Упорядоченная тройка векторовназывается правой при условии, что если смотреть из полупространства, в котором расположен вектор, кратчайший поворот от векторак вектору(то есть от первого вектора ко второму) осуществляется против часовой стрелки. Если же кратчайший поворот откосуществляется по часовой стрелке, то упорядоченную тройку векторовназывают левой. Все тройки некомпланарных векторов делятся на правые и левые.

Рассмотрим тройку базисных векторов . В зависимости от взаимной ориентации векторов эта тройка может быть как правой, так и левой. В дальнейшем будем считать, что тройка базисных вектороввсегда правая. Такой ориентации базисных векторов соответствует ориентация осей координат, показанная на Рис. 27.

Рис. 27.

В этом случае говорят, что выбрана ориентация базиса в пространстве.

Далее вводится понятие векторного произведения векторов.

Определение.

Пусть даны два ненулевых неколлинеарных вектора и. Векторным произведением векторовиназывается вектор, обозначаемыйи удовлетворяющий следующим условиям:

1) Вектор перпендикулярен одновременно и векторуи вектору, а значит перпендикулярен и плоскости, в которой лежат эти векторы (если их отложить от общей точки).

2) , где- угол между векторамии.

3) Если вектор отложить от общей точки векторов(на рисунке 28 это точка), то векторнаправлен так, что если смотреть из конца вектора, то кратчайший поворот от векторак вектору(то есть от первого сомножителя ко второму) осуществляется против часовой стрелки. Можно также сказать что векторы,иобразуют правую тройку векторов. Таким образом, вектордолжен быть направлен так, как показано на Рис. 28.

Если хотя бы один из векторов инулевой или эти векторы коллинеарны, то по определению полагается, что

. При этом, формула

остается справедливой.

Рис. 28.

Свойства векторного произведения.

1)

2)

3) Если - число, то

4) Если тройка базисных векторов правая, то

5) Если

,

и тройка базисных векторов правая, то векторное произведение можно вычислить символически с помощью определителя, разлагая его по первой строке

.

6) Пусть даны два ненулевых неколлинеарных вектораи. Отложим их от общей точки и построим параллелограмм, как это показано на рисунке 29. Такой параллелограмм называется

Рис.29.

параллелограммом, построенным на векторах и. Тогда площадьэтого параллелограммаравна

,

а площадь треугольникаравна

Свойства 1, 3 и 4 следуют непосредственно и определения векторного произведения. Свойство 5 легко доказать, если справедливо свойство 2. В самом деле, разлагая определитель по 1-й строке, получим

С другой стороны, если справедливо свойство 2, то с учетом свойств 1, 3 и 4 получаем

Отсюда следует справедливость свойства 5.

Рассмотрим пример на свойство 5.

Пример.

.

Найти .

Решение.

Свойство 2 примем без доказательства.

Обратимся к свойству 6. Из элементарной геометрии известно, что площадь параллелограмма равна

,

где . Отсюда

и, следовательно,

.

Так как параллелограмм диагональю разбивается на два равновеликих треугольника, то

.

Пример.

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

.

Решение.

Найдем .

Тогда

.