§2. Проекция вектора на ось.

Определение.

Будем говорить, что вектор (ненулевой) коллинеарен прямой, если он параллелен прямой или лежит на этой прямой.

Дадим определение оси.

Определение.

Осью называется пара геометрических объектов – прямая и коллинеарный ей вектор. Такой вектор называется направляющим вектором оси или направляющим вектором прямой.

Рис. 11

Направляющий вектор оси обычно располагают на самой прямой. Так как длина направляющего вектора несущественна, то на прямой указывают только конец направляющего вектора в виде стрелки, а начало направляющего вектора не указывает.

Таким образом, на прямой можно выбрать два противоположных направления. Поэтому иногда говорят, что ось – это прямая с выбранным направлением или направленная прямая.

Если направляющий вектор оси обозначен, например буквой , то саму ось (то есть пару – вектор плюс прямая) будем обозначать символом «ось» (см. Рис. 14)

Дадим определение орта оси.

Определение.

Если длина направляющего вектора оси равна единице, то такой направляющий вектор оси называется ортом оси. Если ось обозначена как «ось », то орт оси будем обозначать символом.

Определение.

Пусть вектор коллинеарен оси (т.е. либо параллелен оси, либо лежит на ней). Будем говорить, что векторсонаправлен с осью, если он сонаправлен с напраляющим вектором оси и противонаправлен с осью, если он противонаправлен направляющему вектору оси.

Определим угол между вектором и осью.

Определение.

Пусть даны ось и вектор. Угол между вектороми направляющим вектором осиназывается углом между вектором и осью.

Рис.12.

Заметим, что вектор всегда можно отложить от точки, лежащей на оси. Тогда этот вектор и ось образуют геометрический угол (Рис. 16). Величина угла (мера угла) между вектором и осью может находиться в пределах от 0 дорадиан или от 0^одо 180^о.

Введем важное понятие вектор-проекции вектора на ось.

Определение.

Пусть имеется ось и какая- то точка . Если точка не лежит на оси, то проекцией точкина ось называется точка пересечения с осью перпендикуляра, опущенного из точки

на эту ось. Если точка лежит на этой оси, то проекцией точкина ось называется сама эта точка.

Определение.

Пусть даны вектор и ось.

Обозначим черезпроекцию точкина ось, а черезпроекцию точкина ось. Векторназывается вектор-проекцией векторана ось(см. Рис. 17).

Таким образом, вектор лежит на оси и, следовательно, коллинеарен оси. Поэтому, еслине нулевой вектор, то он либо сонаправлен с осью, либо противонаправлен с ней. Если векторперпендикулярен оси, то его вектор-проекция является нулевым вектором.

Рис. 13.

Введем важное понятие проекции вектора на ось.

Определение.

Пусть вектор есть вектор-проекция векторана ось. Проекцией векторана осьназывается число, модуль которого равен длине вектора, а знак выбирается «+», если вектори ось сонаправлены и выбирается знак «-», если вектори ось противонаправлены. Проекция векторана осьобозначается символом. Таким образом,, если вектори осьсонаправлены и, если вектори осьпротивонаправлены.

Если , то полагаем по определению, что.

Определим также проекцию вектора на вектор.

Определение.

Пусть даны векторы и, причемненулевой вектор. Если через векторпровести прямую, то получим ось с направляющим вектором. Проекция векторана эту ось называется проекцией векторана вектори обозначается.

Проекцию вектора на ось можно выразить через длину вектора и косинус угла между вектором и осью. Имеет место следующая теорема.

Теорема 8.

Пусть даны вектор и ось. Пусть- угол между вектором и осью. Тогда

. (3)

Доказательство.

Обозначим через вектор-проекцию векторана ось. 1)Пусть. Тогда, как видно из рисунка 14, вектор-проекцияи осьсонаправлены. Следовательно, как видно из рисунка,

Рис. 14.

2) Пусть . В этом случае, как видно из рисунка 15,

Рис.15.

вектор-проекция и ось противонаправлены. Следовательно. Но, как видно из рисунка 18,

.

Здесь учтено, что . Тогда

.

3) Если , то. Следовательно, и в этом случае верна формула (3).

Рассмотрим теорему, устанавливающую связь вектор-проекции вектора на ось с его проекцией на эту же ось.

Предварительно введем понятие орта вектора.

Определение.

Пусть ненулевой вектор. Ортом векторабудем называть вектор единичной длины, коллинеарный и сонаправленный с вектором.Орт векторабудем обозначать как.

Из самого определения орта вектора следует, что для любого ненулевого вектора имеет место равенство

Имеет место следующая теорема.

Теорема 9.

Вектор-проекция любого вектора на ось равна произведению проекции вектора на эту ось на орт оси, то есть

, (4)

Где - вектор-проекция векторана ось,-орт оси.

Доказательство.

Рис. 16.

Как видно из рисунка 16, если сонаправлен с осью, то из определения проекции и вектор-проекции вектора на ось следует, что

.

Здесь учтено, что . Еслипротивонаправлен оси, то

.

В последних равенствах учтено, что и.

Рассмотрим связь проекции суммы векторов с проекциями слагаемых.

Теорема 10.

Пусть . Тогда для любыхи

Доказательство.

Пусть . Векторотложим от точкии обозначим его, т.е.. Проведем через векторпрямую. Получим ось, которую обозначим ось. Пустьи- вектор-проекции векторовина ось. Тогдаесть вектор-проекция векторана ось. При этом возможны следующие варианты:

1) исонаправлены с осью.

Рис. 17.

2) сонаправлен, апротивонаправлен оси.

3) противонаправлен , асонаправлен с осью.

4) противонаправлен осиипротивонаправлен оси.

Первый из возможных вариантов изображен на рисунке 18. Из рисунка видно, что

.

Следовательно

.

Оставшиеся варианты рассматриваются аналогично. Рассмотрим, например 2-й вариант. Из рисунка 18 видно, что

Рис. 18.

.

.

Следовательно

.

Из этого же рисунка видно, что

,

.

Отсюда следует, что

.