§ 2. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Две плоскости могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по прямой. Ниже рассматривается вопрос о том, как по уравнениям плоскостей определить их взаимное расположение.

Пусть две плоскости изаданы своими уравнениями

и- нормали плоскостейи, соответственно.

Из элементарной геометрии следует, что плоскости совпадают или параллельны тогда и только тогда, когда их нормали коллинеарны, то есть существует число такое, что справедливо равенство

.

Если плоскости совпадают, то все точки у них общие. Поэтому любое решение уравнения одной плоскости будет также решением уравнения другой плоскости. Если это не выполняется, то плоскости параллельны.

Пример.

Даны две плоскости, заданные уравнениями

Определить взаимное расположение плоскостей.

Решение.

Векторы нормалей равны

.

Так как

,

то нормали коллинеарны и значит плоскости либо совпадают, либо параллельны. Легко проверить, что тройка чисел является решением первого уравнения и не является решением второго. Следовательно, плоскости параллельны.

Если векторы ине коллинеарны, то есть условиене выполняется ни при каком, то плоскости пересекаются по прямой. В этом случае можно поставить вопрос об угле, под которым они пересекаются. Пересекающиеся плоскости образуют двугранные углы, мерой которых являются мера соответствующего линейного угла. Так же как и в случае пересекающихся прямых на плоскости, пересекающиеся плоскости (если они не перпендикулярны) образуют острый и тупой двугранные углы, который в сумме составляют. Из элементарной геометрии следует, что линейные углы равны углам между векторами нормалей к плоскостям. При этом, если угол между нормалями острый, то этот угол равен острому двугранному углу (и соответствующему ему линейному углу), а если тупой, то он равен тупому двугранному углу, образованному плоскостями. Как известно, косинус угламежду нормалями можно найти по формуле

.

Если получаем, что , то угол- острый угол, равный острому двугранному углу между плоскостями. Если, торавен тупому двугранному углу между плоскостями.

Как и в случае пересекающихся прямых на плоскости, если поставить задачей найти острый угол между плоскостями, то можно получить следующее выражение для острого угла

.

Пример.

Даны плоскости, заданные уравнениями

Найти острый угол между плоскостями.

Решение.

Векторы нормалей равны

Следовательно, косинус острого угла равен

Наконец, рассмотрим условие перпендикулярности плоскостей. Как следует из элементарной геометрии, две плоскости будут взаимно перпендикулярными тогда и только тогда, когда взаимно перпендикулярны их нормали, то есть их скалярное произведение равно нулю

Пример.

Доказать, что плоскости

взаимно перпендикулярны.

Решение.

Векторы нормалей равны

Находим скалярное произведение

Следовательно, нормали перпендикулярны, а значит и плоскости взаимно перпендикулярны.