Zbirnyk_zadach_z_Konstrukt_Geom

Вiнницький державний педагогiчний унiверситет iменi Михайла Коцюбинського

ЗБIРНИК ЗАДАЧ

З КОНСТРУКТИВНО ГЕОМЕТРI

Вiнниця 2006

Çìiñò

2.4Подвiйне вiдношення чотирьох точок прямо¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5Принцип дво¨стостi. Теорема Дезарга та ¨¨ застосування . . . . . . . . . . 21

2.6Повний чотиривершинник i повний чотиристоронник . . . . . . . . . . . . 23

2.7Проективнi перетворення площини (колiнеацi¨) . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8 Гомологi¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.9Проективне вiдображення прямо¨ на пряму i пучкiв прямих . . . . . . . . 29

2.10Методи зображень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

1ГЕОМЕТРИЧНI ПОБУДОВИ НА ПЛОЩИНI

1.1Метод геометричних мiсць

1.Побудувати коло даного радiуса, яке проходить через дану точку i дотика¹ться до дано¨ прямо¨.

2.Данi два кола. Побудувати таку точку, щоб кут мiж проведеними через не¨ дотич- ними до одного кола дорiвнював би α, а до другого β.

3.Побудувати коло за трьома його дотичними.

4.Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i висотою ha, ùî виходить з цi¹¨ вершини.

5.Побудувати трикутник за периметром 2p, кутом при вершинi A i висотою ha, ùî виходить з цi¹¨ вершини.

6.Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i радiусом r вписаного кола.

7.Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i точкою D перетину основи з бiсектрисою внутрiшнього кута при вершинi A.

8.Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i медiаною mb, проведено¨ до бiчно¨ сторони.

9.Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i вiдношенню бiчних сторiн: |b| : |c| = m : n, де m i n довжини заданих вiдрiзкiв.

10.Побудувати трикутник за основою a, висотою ha i точкою D перетину бiсектриси при вершинi з основою.

11.Побудувати трикутник ABC, за кутами при вершинах B i C i медiаною ma äî сторони BC.

12.Побудувати трикутник за основою i точками перетину основи з бiсектрисою i висотою.

13.Побудувати паралелограм за його сторонами i вiдношенням дiагоналей.

14.Побудувати паралелограм за його дiагоналями i вiдношенням сторiн.

15.Через точку A, що лежить в серединi кола S, провести хорду, яка при перетинi з даною хордою AB цього кола дiлиться навпiл.

16.Побудувати трикутник, якщо данi основа a, кут при вершинi A i |b|2 − |c|2 = |m|2, де m даний вiдрiзок.

17.Побудувати трикутник за основою a, висотою ha, i |b|2 − |c|2 = |m|2, де m даний вiдрiзок.

4

18.Через дану точку A провести даним радiусом r коло так, щоб дотична до не¨ з дано¨ точки B мала дану довжину l.

19. Побудувати коло, яке подiля¹ дане коло (O, R) навпiл i дотика¹ться дано¨ прямо¨

â äàíié íà íié òî÷öi.

20.Побудувати трикутник ABC за радiусом R описаного кола, кутом при вершинi A i |b|2 + |c|2 = |l|2, де l даний вiдрiзок.

21.Дано коло i точка на ньому. Провести хорду довжини l так, щоб сума (або рiзниця)

квадратiв вiдстаней вiд ¨¨ кiнцiв до дано¨ точки була рiвна квадрату довжини даного вiдрiзка P Q.

22.Побудувати паралелограм, двi сумiжнi вершини якого данi точки, а двi iншi належать даному колу.

23.Побудувати коло даного радiуса, що проходить через дану точку A, так, щоб це коло з iншо¨ дано¨ точки B було видно пiд даним кутом ϕ.

24.Побудувати коло, що проходить через двi данi точки i перетина¹ дане коло в двох точках A i B так, щоб пряма AB була паралельна данiй прямiй.

25.Побудувати паралелограм, знаючи одну сторону, висоту i кут мiж дiагоналями.

26.В дане коло вписати прямокутник так, щоб прямi, якi мiстять двi його сторони (сумiжнi або протилежнi), проходили через двi данi точки.

27.В дане коло вписати прямокутний трикутник, знаючи гострий кут i точку, через яку проходить пряма, що мiстить один з його катетiв.

28.Побудувати коло з центром в данiй точцi, яке перетина¹ дане коло пiд даним кутом.

29.Через точки A i B провести двi прямi, що перетинаються пiд кутом ϕ, так, щоб дане коло (O, r) вiдтинало на них рiвнi хорди.

30.Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i медiаною ma, ùî виходить з цi¹¨ вершини.

31.Побудувати трикутник за основою a, кутом при вершинi A i висотою mb, проведено¨ до бiчно¨ сторони.

32.Побудувати трикутник за периметром 2p, кутом при вершинi A i висотою hc, ùî виходить з вершини C.

33.Побудувати трикутник за кутом при вершинi A, висотою hb i ìåäiàíîþ ma.

34.Побудувати трикутник за кутом при вершинi A, радiусом вписаного кола та радiусом описаного кола навколо цього трикутника.

5

1.2Метод геометричних перетворень

35.Побудувати трапецiю за дiагоналями та основами.

36.Побудувати трапецiю за висотою, середньою лiнi¹ю, верхньою основою та кутом мiж дiагоналями.

37.Побудувати трикутник, знаючи три його медiани.

38.Побудувати трапецiю за чотирма ¨¨ сторонами.

39.Побудувати трикутник ABC за основою a, кутом при вершинi B i рiзницею (або сумою) бiчних сторiн.

40.Данi два концентричних кола i точка. Побудувати коло, що проходить через цю точку i дотика¹ться даних кiл.

41.В дане коло вписати квадрат так, щоб пряма, яка мiстить одну з його сторiн, проходила через дану точку.

42.Побудувати трикутник за двома кутами при основi i сумою висоти з основою.

43.В трикутник ABC вписати квадрат так, щоб двi його вершини лежали на основi трикутника, а двi iншi на бiчних сторонах.

44.Дано кут i всерединi нього коло. Побудувати коло, що дотика¹ться сторiн кута i даного кола.

45.Побудувати трикутник за двома кутами i сумою висоти, медiани i бiсектриси, що проведенi з третьо¨ вершини.

46.Побудувати паралелограм за сторонами i кутом мiж дiагоналями.

47.В дане коло вписати трикутник, сторони якого паралельнi сторонам даного трикутника.

48.Побудувати коло, що проходить через дану точку i дотика¹ться двох даних прямих.

49.Через двi данi точки провести двi паралельнi прямi так, щоб вони перетинали дану пряму в точках, вiдстань мiж якими задана.

50.Побудувати трапецiю за рiзницею основ, двом бiчним сторонам i однi¹ю дiагоналлю.

51.Побудувати рiвностороннiй трикутник так, щоб одна вершина належала даному колу, друга данiй прямiй, а третя вершина спiвпала з даною точкою A.

52.Данi два кола i пряма l. Побудувати рiвностороннiй трикутник так, щоб двi

його вершини належали даним колам, а висота, проведена через третю вершину, належала прямiй l.

6

53.Побудувати рiвнобедрений прямокутний трикутник так, щоб вершини гострих кутiв належали двом даним колам, а вершина прямого кута спiвпала з даною точкою.

54.Побудувати квадрат, якщо данi його центр i двi точки, що лежать на прямих, якi мiстять двi паралельнi сторони квадрата.

55.На данiй прямiй l побудувати точку X так, щоб:

а) сума |AX| + |BX|, де A i B данi точки, що не лежать на прямiй l, була найменшою;

б) рiзниця |AX| − |BX| була найбiльшою.

56.В даний трикутник вписати ромб з даним гострим кутом так, щоб двi його вершини лежали на однiй сторонi, а двi iншi вiдповiдно на двох iнших сторонах.

57.В даний трикутник вписати прямокутник, подiбний даному.

1.3Метод iнверсi¨

58.Дано квадрат, одна вершина якого спiвпада¹ з центром iнверсi¨, а протилежна вершина лежить на колi iнверсi¨. Побудувати фiгуру, яка йому iнверсна.

59.Дано квадрат, двi вершини якого лежать на колi iнверсi¨, а третя в центрi iнверсi¨. Побудувати фiгуру, йому iнверсну.

60.В коло вписати трикутник ABC. Взявши це коло за коло iнверсi¨, побудувати фiгуру, iнверсну вписаному трикутнику.

61.Данi два кола, що дотикаються одна одно¨ в точцi A. Взявши точку A за центр iнверсi¨, побудувати фiгуру, iнверсну двом колам.

62.Данi три кола, що мають спiльну точку A. Побудувати коло, яке дотика¹ться трьох даних кiл.

63.Побудувати коло, що проходить через двi данi точки i яке ортогональне до даного кола.

64.Через дану точку A провести коло, ортогонально до двох даних кiл.

65.Побудувати коло, яке дотика¹ться двох даних кiл, причому одного з них в данiй точцi A.

66.Побудувати коло, що проходить через двi данi точки i

а) дотика¹ться дано¨ прямо¨; б) дотика¹ться даного кола.

67.Побудувати коло, що проходить через дану точку A i дотика¹ться дано¨ прямо¨ i даного кола.

7

68.Побудувати коло, що дотика¹ться дано¨ прямо¨ i двох даних кiл.

69.Побудувати коло, яке проходить через дану точку i дотика¹ться двох даних кiл.

70.Побудувати коло, яке дотика¹ться трьох даних кiл (задача Аполлонiя).

71.Побудувати коло, що проходить через двi данi точки i перетина¹ дану пряму пiд даним кутом.

72.Побудувати коло, що проходить через двi данi точки i перетина¹ дане коло пiд даним кутом.

73.Побудувати коло, яке проходить через дану точку i перетина¹ два даних кола пiд заданими кутами.

1.4Алгебра¨чний метод

74.Через данi точки A i B провести коло, що вiдтина¹ на данiй прямiй d хорду, рiвну даному вiдрiзку.

75.Знаючи площу трикутника та його периметр, побудувати коло, яке рiвне колу, вписаному в трикутник.

76.Всерединi трикутника ABC дана точка D. Провести пряму, яка розсiка¹

трикутних на двi рiвновеликих фiгури.

√

77. Побудувати вiдрiзок довжини x = 4 abcd, де a, b, c, d довжини даних вiдрiзкiв.

84.Побудувати паралелограм за його сторонами, якщо сторони паралелограма пропорцiйнi його дiагоналям.

8

85.Через середину бiчно¨ сторони трапецi¨ провести пряму, яка розтина¹ трапецiю на рiвновеликi чотирикутники.

86.Через двi данi точки провести коло, що дотика¹ться дано¨ прямо¨.

87.Побудувати правильний п'ятикутник за заданою його дiагоналлю.

88.Через точку, що належить сторонi трикутника, провести пряму так, щоб вона розтинала трикутник на двi рiвновеликi фiгури.

89.Прямою, що паралельна сторонi прямокутника, розсiкти його на подiбнi один одному прямокутники.

90.Через точку, що лежить всерединi прямого кута, провести пряму так, щоб точки ¨¨ перетину зi сторонами кута знаходились на найменш можливiй вiдстанi.

91.Побудувати круг, площа якого рiвна площi кiльця мiж двома даними концентричними колами.

92.Побудувати коло, що проходить через двi точки i дотика¹ться дано¨ прямо¨.

93.Побудувати пряму x, яка паралельна основам дано¨ трапецi¨ i перетина¹ бiчнi

сторони у внутрiшнiх точках, так, щоб утворенi при цьому двi трапецi¨ зi спiльною основою на прямiй x були рiвновеликi.

94.Побудувати квадрат, рiвновеликий даному трикутнику.

95.Побудувати рiвнобедрений прямокутний трикутник, рiвновеликий даному прямокутнику.

96.Побудувати квадрат, площа якого була б рiвна сумi площ двох даних прямокутникiв.

97.В дане коло вписати прямокутник, рiвновеликий даному квадрату.

98.В дане коло вписати прямокутник даного периметра.

99.Данi два кола, що дотикаються зовнiшнiм чином. Побудувати коло, яке дотика¹ться двох даних кiл i ¨х спiльно¨ зовнiшньо¨ дотично¨.

1.5Рiзнi задачi на побудову

100.Данi два концентричних кола. Побудувати квадрат ABCD так, щоб вершини A i B належали одному колу, а вершини C i D другому.

101.В дане коло вписати прямокутний трикутник так, щоб його катет був рiвний даному вiдрiзку i лежав на прямiй, що проходить через дану точку.

102.Побудувати пряму даного напрямку, на якiй два даних кола, вiдтинають вiдрiзок, рiвний даному.

103.Побудувати трикутник ABC, знаючи кут при вершинi B i медiани ma i mc.

9

104.Побудувати трапецiю за дiагоналями та бiчними сторонами.

105.Навколо даного кола описати ромб за даною його стороною.

106.В даний круговий сектор вписати коло.

107.Через дану точку провести коло, що перетина¹ кожне з двох даних кiл в дiаметрально протилежних точках.

108.Побудувати квадрат за чотирма точками, що належать його сторонам або ¨х продовженням.

109.Побудувати коло даного радiуса, що дотика¹ться до двох даних кiл.

110.Побудувати коло, яке видно з двох даних точок A i B пiд даними кутами α i β, так, щоб центр його знаходився на данiй прямiй d.

111.Побудувати коло, ортогональне до трьох даних кiл.

112.Через двi данi точки провести коло, ортогональне до даного кола.

113.Побудувати коло, що дотика¹ться даного кола в данiй точцi A i дано¨ прямо¨.

114.Побудувати коло, що дотика¹ться двох даних кiл, причому одного з них в данiй точцi.

115. Данi коло i три ¨¨ рiзнi точки A, B i C. В коло вписати трикутник так, щоб точки A, B i C належали прямим, що мiстять висоти трикутника.

116.Побудувати ромб, знаючи його дiагональ i радiус вписаного кола.

117.Дано прямокутний трикутник. Побудувати коло з центром, що належить одному з катетiв, так, щоб воно проходило через вершину прямого кута i дотикалось гiпотенузи.

118.Данi двi точки i коло. Провести через данi точки двi рiзнi паралельнi прямi так, щоб дане коло вiдтинало на них двi рiвнi хорди.

119.Данi три неколiнеарнi точки A, B i C. Побудувати кола з рiвними радiусами i центрами в точках A i B так, щоб ¨х спiльна дотична проходила через точку C.

2ПРОЕКТИВНА ГЕОМЕТРIЯ

2.1Проективний простiр. Координати точок на проективнiй прямiй i площинi

120.F22 двовимiрний векторний простiр над полем F2 лишкiв за модулем 2. Довести, що проективна пряма P (F22) мiстить точно три точки.

121.F23 тривимiрний векторний простiр над полем F2 лишкiв за модулем 2. Довести, що проективна площина P (F23) мiстить точно сiм точок.

10