metritchni_proct

s

∞

+d((x1, x2, . . . , xn), (ai1, ai2, . . . , ain)) < P x2k + 2ε < ε.

k=n+1

Таким чином, множина

n

(ai1, ai2, . . . , ain, 0, 0, . . .), (a21, a22, . . . , a2n, 0, 0, . . .), . . .

o

(ar1, ar2, . . . , arn, 0, 0, . . .)

є скiнченною ε–сiткою для множини K, тобто множина K цiлком обмежена. Iз замкненостi i цiлком обмеженостi множини K випливає її компактнiсть.

1.147. Розв’язання. Насамперед зауважимо, що для кожної функцiї f A функцiя F C[a; b], як iнтеграл iз змiнною верхньою межею вiд неперервної функцiї, а отже, множина B є множина точок простору C[a; b]. В силу того, що множина A обмежена, iснує куля B(f◦, r), де f◦ ≡ 0 на вiдрiзку [a; b] така, що A B(f◦, r). Тодi для кожної функцiї f A

d(f◦, f) = max |f(x)| < r

a≤x≤b

або |f(x)| < r для всiх x [a; b].

Нехай F — довiльна функцiя з множини B. Тодi

xb

ZZ

aa

Звiдси випливає, що для всiх функцiй F B i для всiх

x [a; b] |F (x)| < r(b − a), тобто множина B рiвномiрно обмежена.

271

Нехай x0, x00 [a; b]. Тодi

x0 x0

Отже, якщо для будь-якого ε > 0 взяти δ = rε, то для всiх функцiй F B i будь-яких x0, x00 [a; b], якi задовольняють не-

рiвнiсть |x0−x00| < rε, виконується нерiвнiсть |F (x0)−F (x00)| < ε,

тобто множина B рiвностепенево неперервна. Рiвномiрна обмеженiсть i рiвностепенева неперервнiсть є гарантами вiдносної компактностi.

1.148. Вказiвка. Скориставшись теоремою Лагранжа, переконатись, що множина A є множина наперервних на вiдрiзку [a; b] функцiй, кожна з яких задовольняє умову Лiпшиця iз спiльною константою. Далi див. приклад 9. Цiкаво було б знайти умови, якi гарантують замкненiсть множини A.

1.149. Вказiвка. Довести, що метричний простiр (E, d) неповний i що множина E скрiзь щiльна в l2.

1.150. Вказiвка. Довести, що метричний простiр P[(н)−1; 1], d

неповний. Далi переконатись, що P[(н)−1; 1] скрiзь щiльна у C[(н)−1; 1]. Справдi, за аппроксимацiйною теоремою Вейєрштрасса для будь-якої неперервної на вiдрiзку [−1; 1] непарної функцiї f i будь-якого ε > 0 iснує многочлен P (x) такий, що для будьякого x [−1; 1] |f(x) − P (x)| < ε. Врахувавши непарнiсть функцiї f i те, що коли x [−1; 1], то i −x [−1; 1], з останньої нерiвностi маємо:

|f(−x) − P (−x)| = |f(x) − (−P (x))| < ε.

Склавши цi двi нерiвностi, маємо, що для будь-якого x [−1; 1]

272

причому многочлен 12 P (x) − P (−x) P[(н)−1; 1].

273

Лiтература

[1]Антоновский М. Я. , Архангельский А. В. Метрические пространства. – М.:Знание, 1972 – 48 с.

[2]Архангельский А. В. , Пономарёв В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. – М.:Наука, 1974.– 423с.

[3]Банах С. Курс функцiонального аналiзу. – К.:Рад.школа, 1948.

[4]Вайнберг М. М. Функциональный анализ.– М.:Просвещение, 1979. – 128 с.

[5]Виленкин Н. Я. , Балк М. Б. , Петров В. А. Математический анализ:Мощность, метрика, интеграл – М.:Просвещение, 1980. – 143 с.

[6]Давидов М. О. Курс математичного аналiзу: У 3 ч.– К.:Вища школа, 1992. – Ч.3 – 340 с.

[7]Дороговцев А. Я. Математический анализ:У 2 ч. К.:Либiдь, 1994. – Ч.2 – 302 с.

[8]Дороговцев А. Я. Математический анализ: Сборник задач.

– К.: Вища школа, Головное изд-во, 1987.– 497 с.

274

[9]Зорич В. А. Математический анализ: В 2 ч.– М.: Наука, 1984. – 640 с.

[10]Канторович Л, В. , Акилов Г. П. Функциональный анализ.

–М.: Наука, 1977. – 742 с.

[11]Кириллов А. А. , Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. – М.: Наука, 1979. – 380 с.

[12]Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. – М.: Мир, 1969. – 447 с.

[13]Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972. – 496 с.

[14]Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т –. М.: Высшая школа, 1989. – Т.3. – 352 с.

[15]Кудрявцев Л. Д. , Кутасов А. Д. , Чехлов В. И. , Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу: Функции нескольких переменных. – М.: Наука, 1995. – 496 с.

[16]Люстерник Л. А. , Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. – М.: Высшая школа, 1982. – 271 с.

[17]Maurin K. Analysis: In 3 p. – Warshawa PWN, 1976. – 427 p.

[18]Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу.

–М.: Просвещение, 1981. – 272 с.

[19]Петров В. А. , Виленкин Н. Я. , Граев М. И. Элементы функционального анализа в задачах. – М.: Просвещение, 1978. – 128 с.

275

[20]Шварц Л. Анализ: В 2 т. – М.: Мир, 1972. – Т.1 – 824 с.

[21]Шилов Г. Е. Математический анализ. –М.: ГИЗФМЛ, 1960. – 388 с.

[22]Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. – 751 с.

276